第七章 证明（必备知识+4大易错+易错训练）（知识清单）数学北师大版2024八年级上册

第七章 证明 清单01 定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 清单02 公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 清单03 平行线的判定 1）判定方法一：同位角相等，两直线平行. 2）判定方法二：内错角相等，两直线平行. 3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行. 4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b 5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2.（用共面知识可证明，此处不证） 清单04 平行线的性质 1） 两直线平行，同位角相等; 2） 两直线平行，内错角相等; 3）两直线平行，同旁内角互补. 注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系. 易错点1 平行线中的旋转问题 1. **忽略“旋转后直线位置关系”**：易默认旋转后两线仍平行，实则旋转角度可能让直线相交，需先判断旋转后是否仍满足“同位角相等”等平行条件。 2. **漏算“旋转产生的多解情况”**：旋转方向（顺时针/逆时针）或旋转中心不同，会导致角度、线段长度等结果不同，需全面分析所有可能情形，避免漏解。 例题1．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在直线上取两点，作射线和射线，且，固定两点，按图示方向和速度分别转动．当与第1次平行时，转动时间为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的性质，先理解速度和旋转方向，以及与第1次平行，运用同旁内角互补，两直线平行进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设转动时间为时，与第1次平行， 如图所示： 当，则与第1次平行， 依题意， ∴ 解得， 故答案为： 易错点2 平行线判定与性质中的多结论问题 1. **混淆判定与性质逻辑**：易把“由角等推平行”（判定）和“由平行推角等”（性质）弄反，比如用性质条件证平行，导致逻辑链错误。 2. **漏用隐含条件**：常忽略对顶角相等、邻补角互补等隐含角关系，无法串联已知与结论，导致关键角的等量关系缺失，无法判定或推导。 例题2．（24-25七年级下·全国·期中）如图，E在线段的延长线上，，，，连接交于G，的余角比大，K为线段上一点，连接，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行线的判定和性质，余角的定义，角平分线的定义．由，得出，可判断①；由得出，结合，可判断②；根据的余角比大，，可判断③；设，，根据角平分线的定义及角的和差关系，分别表示出和，即可判断④． 【详解】解：，， ， ；故①正确； ， ， ， 平分；故②正确； 的余角比大，， ， ；故③正确； 设，， ，， ， ， 平分， ， ， 解得， 即；故④正确； 综上可知，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 易错点3 平行线的判定与性质综合问题 1. **逻辑链断裂**：不会串联判定与性质，比如用判定证出平行后，忘了用性质推角的关系，或反之，导致解题中途卡住。 2. **辅助线添加不当**：遇“折线”“拐角”类图形，常漏加或错加平行线辅助线，无法构造“同位角、内错角”，找不到角的传递桥梁。 例题3．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动． (1)图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图，交于点O，，垂足为点O，．则的度数为___________． (2)图2为“传统的筷子”抓法及其示意图，为上一点，射线与交于点I，射线交于点E．若，则与所在的直线存在的位置关系是___________． (3)图3为“丁字型”抓法及示意图，，射线交于点M，交于点与交于点G，射线交于点H． ①若，，求的度数． ②若，当，垂足为点G时，请直接写出x，y，z的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】本题考查平行线的性质，垂线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据邻补角的性质求出，再根据垂直的定义即可解答； （2）根据平行线的性质得到，，据此证明即可； （3）①根据平行线的性质和对顶角相等得到，再根据三角形内角和定理可得答案； ②根据平行线的性质和对顶角相等得到，则可求出，再由垂线的定义得到，平行线的性质得到，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ②． ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 易错点4 平行线中的拐点问题 1. **辅助线添加错误**：不会过拐点作已知平行线的平行线，或作线后漏标字母、错连线段，导致无法构建“内错角”“同旁内角”等关键角关系。 2. **角的关系算反**：推导时混淆角的“和”与“差”，比如“铅笔头模型”错用角差、“锯齿模型”错用角和，违背拐点模型的角度规律。 例题4．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）【问题情境】 （1）若将具有图特征的图形称为“平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：若，为，之间一点，则______． 【问题迁移】 （2）已知直线，点，在直线上，点，在直线上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点． 如图，当点在点的左侧时，若，，请你结合（）中“平行凸折线”的性质，求的度数； 如图，当点在点的右侧时，设，，请写出的度数并说明理由（用含，的式子表示）． 【答案】（）；（），，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理推论，熟练掌握平行线的性质及结合图形进行角的和差运算是解题的关键． （）过点作，根据平行线的性质进行证明，即可得到结论成立； （）由平行线的性质，角平分线的定义，结合（）的结论，即可求出答案； 由平行线的性质，角平分线的定义，结合（）的结论，即可求出答案． 【详解】解：（）如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）如图， ∵平分， ∴， ∴，        由平行凸折线的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； ，理由如下， 如图， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， 由平行凸折线性质可得：， ∴， ∴． 一、单选题 1．如图，已知题设：直线，，以及三个结论：①；②；③，则这些结论中，与题设组成的命题是真命题的有（    ） A．① B．② C．①② D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，平行线的性质，垂线，根据平行线的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理等逐个判定即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴，（两直线平行，同位角相等）， 故①正确； ∵， ∴， ∴， 故②正确； 无法说明， 故③错误； 综上所述，与题设组成的命题是真命题的有①②， 故选：C． 2．如图①，是一款护眼灯的实物图，图②为示意图，其中，垂足为B，可绕点A旋转，可绕点D旋转．当时，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意，结合图形，得到，，代入已知条件中，，即可得到结果． 【详解】解：如图，过A点作， ， ∴， ， ， ， 即， ，， ， 故选：C． 3．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． ①根据平行线的传递性可以判断出来； ②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得， 即，联立可求得结果； ③根据以及，可求得结果； ④根据即以及，可求得结果； 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴， 故①正确 ②∵， ∴ ∴，即， ∵， ∴ ∴， 即， 故②正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 即， 将代入， 化简可得：， 故③正确； ④：∵，， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴故④不正确； 正确的有个：①②③， 故选：A． 二、填空题 4．如图，，O是AB上一点，直线与所夹的，要使，直线绕点O按逆时针方向至少旋转 °． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质和角度的计算．根据平行线的性质求出再根据角度的计算即可得到答案． 【详解】解：如图，， ∵， ∵ 即直线绕点O按逆时针方向至少旋转， 故答案为：． 5．如图，相交于点，．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，再由，得到，即可推出． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 6．月日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图，这是某款机器人跑步瞬间的姿态，图为其平面示意图，其中，，．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，垂直定义，由，，则，延长至，过作，则有，所以，，，通过角度和差可得，，又，则，最后通过角度和差即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，延长至，过作， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 7．已知：如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质和对顶角的知识， （1）根据平行线的性质得和，即可得； （2）根据平行线的性质得，结合对顶角得，即可求得． 【详解】（1）证明：． ∴． 又， ∴， 则； （2）解：． ∴． 又， ∴． 8．如图，已知，与交于点，点、分别在、上，连结、，，． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)，，求的度数． 【答案】(1)，详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据题意，结合图形，得到，利用同位角相等，两直线平行，证得结论； 根据题意，先计算出，再得到，利用两直线平行，内错角相等，得到结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 9．如图所示，点B，C在线段的异侧，点E，F分别在线段，上，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由．（不必写出每步推理的依据） (2)若， ①求的度数（用含的式子表示）． ②若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角相等，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 由已知推出，根据内错角相等两直线平行即可得出结论； （2）①根据对顶角相等结合已知可以求出，得出，根据两直线平行同旁内角互补即可得到；②根据已知得到，解出，再根据两直线平行同旁内角互补即可得出结果． 【详解】（1）解：位置关系：，理由如下： 因为，，， 所以， 所以； （2）①因为，， 所以， 所以，所以， 即， 所以的度数为； ②因为，， 所以，解得， 因为， 所以，即． 10．（1）如图①，点在上，．求证：； （2）如图②，，平分的延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数； （3）如图③，，的度数与（2）中求出的相同，平分平分，作，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2）100° （3） 【分析】（1）延长交于点．利用同角的补角相等得到，利用平行线的判定得，由性质得，则有，即可判定平行； （2）作，则，结合角平分线得到，进一步得到，再次利用角平分线得到，则．设，有．结合已知有即可； （3）过点E作，设直线和射线相交于点G．由角平分线得和由平行得，，．由（2）可知，则．结合平行得，即可列出求解即可． 【详解】（1）证明：如答图①，延长交于点． ， ， ， ∴， ， ∴， ． （2）解：如答图②，作． ， ∴， ． 平分， ． ， ∴， ， ∴， ． 平分， ， ， ， ． 设， ． 比大60°， ， ，解得， 的度数为100°． （3）解：如答图③，过点E作，设直线和射线相交于点G． 平分，平分， ， ， ， ，，． 由（2）可知， ， ． ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查同角的补角相等、平行线的判定和性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，解题的关键是熟悉平行线的判定和性质以及角平分线的定义，熟练掌握辅助线是解题的关键． 11．如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持． (1)和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）； (2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若点A在点B左侧，当时，若设，，直接写出α与β之间的数量关系． 【答案】(1)否 (2)图见解析，，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定． （1）根据角的定义即可解答； （2）根据平行线的性质求得，计算得到，利用平行线的判定定理即可证明； （3）分四种情况讨论，画出图形，利用平行线的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点P位于点Q的左侧， ∴点P与点Q不共点， ∴和没有公共顶点， ∴和不可能为对顶角， 故答案为：否； （2）解：补全图形，如图， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：分以下四种情况： 当点A在点B左侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B左侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 综上，α与β之间的数量关系为或或． 12．如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质得出，，根据，计算求解即可； （2）根据（1）中的结论先得到：，，再由角平分线的定义即可得出结论； （3）作的角平分线交于点，由邻补角的角平分线互相垂直得到，由根据两直线平行，同旁内角互补得到与的关系，再由（2）题的结论即可得出与的数量关系即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，， ， 的度数为； （2）解：由（1）得：， 同理：， 平分，平分， ，， ， ； ， ； （3）解：，理由如下， ∵平分， ， 平分， ， ，即， ，即， ， ，即， ， 由（2）得：， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第七章证明 思维导图 1定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术 语的意义的句子叫做定义 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题 清单01定义与命题 3.真假命题：正确的命题与不正确的命题 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公 认的真命题叫做公理 清单02公理与定理 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理 判定方法一：同位角相等，两直线平行 证明 判定方法二：内错角相等，两直线平行 判定方法三：同旁内角互补，两直线平行 清单03平行线的判定 在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直 线，则这两条直线平行 平行线的传递性：若1"3,23，则1112. 1.两直线平行，同位角相等 2.两直线平行，内错角相等 清单04平行线的性质 3.两直线平行，同旁内角互补 知识清单 清单01定义与命题 1定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义 要点诠释： (1)定义实际上就是一种规定 (2)定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题， 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： (1)命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是己知事项，结论是由己知事项推 出的事项，一般地，命题都可以写成”如果…那么…”的形式，其中“如果”开始的部分是条件，“那么 ”后面是结论 (2)命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不 能保证结论正确，即结论不成立 清单02公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理， 要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件， “求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（己知）出发，根据已给出的定义、公理、己经证明的定 理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 清单03平行线的判定 1)判定方法一：同位角相等，两直线平行 2)判定方法二：内错角相等，两直线平行 3)判定方法三：同旁内角互补，两直线平行 4)在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c,且b⊥c,则a∥b 5)平行线的传递性：若1∥，2∥1，则1∥.（用共面知识可证明，此处不证) 清单04平行线的性质 1)两直线平行，同位角相等： 2)两直线平行，内错角相等： 3)两直线平行，同旁内角互补 注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系 易错总结 2/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易错点1平行线中的旋转问题 1.*忽略“旋转后直线位置关系”*：易默认旋转后两线仍平行，实则旋转角度可能让直线相交，需先判 断旋转后是否仍满足“同位角相等”等平行条件。 2.**漏算“旋转产生的多解情况”*：旋转方向（顺时针/逆时针）或旋转中心不同，会导致角度、线段长 度等结果不同，需全面分析所有可能情形，避免漏解。 例题1.(24-25七年级下·河南安阳阶段练习)如图，在直线MN上取两点P,Q,作射线PA和射线QB, 且∠APQ=∠BQP=60°，固定P、Q两点，按图示方向和速度分别转动PA、QB.当PA与QB第1次平行时， 转动时间为 B 3o 易错点2平行线判定与性质中的多结论问题 1.*混淆判定与性质逻辑**：易把“由角等推平行”（判定）和“由平行推角等”（性质）弄反，比如用性 质条件证平行，导致逻辑链错误。 2.**漏用隐含条件*：常忽略对顶角相等、邻补角互补等隐含角关系，无法串联己知与结论，导致关键角 的等量关系缺失，无法判定或推导。 例题2.(24-25七年级下·全国期中)如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D,∠B=∠D, EF∥HC,连接FH交AD于G,∠FGA的余角比∠DGH大I6°，K为线段BC上一点，连接CG,使 ∠CKG=∠CGK,在LAGK内部有射线GM,GM平分LFGC.则下列结论：①AD∥BC;②GK平分 ∠AGC;③∠FGA=37°；④∠MGK=18.5°.其中正确的结论是 G M 易错点3平行线的判定与性质综合问题 3/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.*逻辑链断裂*：不会串联判定与性质，比如用判定证出平行后，忘了用性质推角的关系，或反之，导 致解题中途卡住。 2.*辅助线添加不当*：遇“折线”“拐角”类图形，常漏加或错加平行线辅助线，无法构造“同位角、内 错角”，找不到角的传递桥梁。 例题3.(24-25七年级下·河北邯郸期末)筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生 活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符 合餐桌礼仪的要求.某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动. 图1 图2 图3 (I)图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图，AB交CD于点O,EF⊥AB,垂足为点O,∠B0C=150°.则 ∠FOD的度数为 (②)图2为“传统的筷子”抓法及其示意图，AB∥CD∥GH,F为AB上一点，射线HI与AB交于点I,射线 FE交CD于点E.若∠H=∠DEF,则FE与HI所在的直线存在的位置关系是 (3)图3为丁字型抓法及示意图，AB∥CD,射线FE交AB于点M,交CD于点E,FG与AB交于点G,射 线GH交CD于点H. ①若∠CEF=105°，∠AGF=30°，求LEFG的度数. ②若∠CEF=x,∠EFG=y,∠GHD=z,当FG⊥GH,垂足为点G时，请直接写出x,y,z的数量关系。 易错点4平行线中的拐点问题 1.*辅助线添加错误*：不会过拐点作己知平行线的平行线，或作线后漏标字母、错连线段，导致无法构 建“内错角”“同旁内角”等关键角关系。 2.**角的关系算反*：推导时混淆角的“和”与“差”，比如“铅笔头模型”错用角差、“锯齿模型”错用 角和，违背拐点模型的角度规律。 例题4.(24-25七年级下，贵州贵阳阶段练习)【问题情境】 (1)若将具有图①特征的图形称为平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：若AB∥CD,E为 4/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB,CD之间一点，则∠E+∠A+∠C= B D 图① 图② 图③ 【问题迁移】 (2)已知直线m∥n,点A,B在直线m上，点C,D在直线n上，连接AD,BC,BE平分∠ABC, DE平分∠ADC,且BE,DE所在的直线交于点E, ①如图②，当点D在点C的左侧时，若∠ADC=80°，∠BED=160°，请你结合(1)中平行凸折线”的性 质，求∠ABC的度数； ②如图③，当点D在点C的右侧时，设LABC=a,∠ADC=阝，请写出∠BED的度数并说明理由（用含 a,B的式子表示). 易错训练 一、单选题 1.如图，已知题设：直线∥2,1⊥14，以及三个结论：①∠1=∠4；②∠1+∠3=90°；③∠1=∠3，则 这些结论中，与题设组成的命题是真命题的有() 4 13 A.① B.② C.①② D.①②③ 2.如图①，是一款护眼灯的实物图，图②为示意图，其中AB⊥BC,垂足为B,AD可绕点A旋转，DE可 绕点D旋转.当∠DAB=140°时，若DE∥BC,则∠ADE的度数为() 5/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DE BC 图① 图② A.110 B.120 C.130 D.140 3.如图，已知：ABII CD,CD‖EF,AE平分∠BAC,AC⊥CE,有下列结论：①AB‖EF;② 2∠1-∠4=90°；③2∠3-∠2=180°；④2∠3+∠4=300°.其中正确的结论有() A ⊙ 72 D E -F A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 二、填空题 4.如图，∠A=80°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹的∠AOD=82°，要使0D∥AC,直线0D绕点 O按逆时针方向至少旋转°. B C 5.如图，AD、BC相交于点F,AB=AD,AC=AE,∠1=∠2=35°.若AB∥ED,则∠BFD的度数 是 6.4月19日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大.如图1，这是某款机器人跑步 瞬间的姿态，图2为其平面示意图，其中∠ABC=144°，∠ABD=3∠CBD,∠BDF=132°.若 AB∥DE∥HG,FG⊥HG,则∠DFG的度数为 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H G 图1 图2 三、解答题 7.已知：如图，BC∥AD,BE∥AF. D A (1)求证：∠A=∠B; (2)若∠D0B=135°，求∠A的度数. 8.如图，已知AF∥BD,AB与DF交于点G,点E、C分别在DG、DB上，连结EC、AC, ∠2=∠DGB,∠1=∠2， B F (1)判断CE与AB是否平行，并说明理由； (2)LFAB=2LBAC,∠3=72°，求∠ACE的度数 9.如图所示，点B,C在线段AD的异侧，点E,F分别在线段AB,CD上，∠I=∠2，∠3=∠C, ∠BFC=a. 7/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 H G (I)判断AB与CD的位置关系，并说明理由.（不必写出每步推理的依据） (2)若∠2+∠4=180°， ①求∠C的度数（用含a的式子表示）. ②若a-30°=2∠C,求∠B的度数. 10.(1)如图①，点E在BC上，∠A=∠D,∠ACB+∠BED=180°.求证：AB∥CD; (2)如图②，AB∥CD,BG平分∠ABE,GB的延长线与∠EDF的平分线交于点H,若∠DEB比∠DHB大 60°，求∠DEB的度数； (3)如图③，AB∥CD,∠DEB的度数与(2)中求出的相同，BM平分∠EBK,DN平分∠CDE,作 BP∥DN,求∠PBM的度数. D F D G B B 图① 图② 图③ 11.如图1，直线MN上点P位于点Q的左侧，点A,B位于MN的上方，点C,D位于MN的下方，在点 A,B,C,D位置变化的过程中始终保持∠CPD=∠AQB=45°. M N M 图1 图2 备用图 (I)∠AQB和LCPD是否可能为对顶角 (填“是”或“否”)； (②)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当PC∥BQ时，请在图2中补全图形，试判断AQ与PD的位置 关系，并说明理由； 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)若点A在点B左侧，当PC∥AQ时，若设∠DPQ=a,∠BQN=B,直接写出a与B之间的数量关系. 12.如图，AB∥CD,点E是直线CD上一点，点P是平行线AB、CD之间一点，连接AP、EP, B A E 图1 图2 图3 【问题提出】 (1)如图1，过点P作FP∥AB,若∠BAP=37°，∠DEP=18°，求∠APE的度数： 【问题初探】 (2)如图2，AM平分∠BAP,EM平分∠DEP,AM与EM相交于点M,若∠P=80°，求∠M的度数； 【衍生拓展】 (3)如图3，AM平分∠BAP,EM平分∠DEP,AM与EM相交于点M,EO平分∠CEP,过点E作 EN∥AM,请探究∠NEQ与∠P之间的数量关系，并说明理由. 9/9