第二章 实数（四大考点+四大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了“实数”章节核心内容，涵盖平方根与立方根、无理数与实数分类、二次根式的概念性质及运算四大知识范畴，搭建了从基础概念辨析到运算规则掌握再到易错点突破的递进式学习支架。 清单通过“知识点结构化梳理+易错点分类突破”构建知识体系，如对比平方根与立方根的区别，标注二次根式双重非负性为高频考点，培养学生的抽象能力和运算能力。特别设计“易错点总结+注意事项+对点训练”模块，如“复合二次根式化简”强调配方步骤和正负判断，不同水平学生可针对性提升，教师可直接用于课堂精讲和分层练习设计，提升教学效率。

第二章 实数 知识点一 平方根和立方根 1. 算术平方根 若 ，则 是 的算术平方根，记作 。算术平方根一定是非负数，0 的算术平方根是 0。只有非负数才有算术平方根。 1. 平方根 若 ，则 叫做 的平方根。正数有两个平方根，互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。书写格式：正数平方根为 。 1. 重要公式 ，（重点易错：开方出来必须非负） 1. 立方根 若 ，则 为 的立方根，记作 。任意实数都有唯一立方根：正数立方根为正，负数立方根为负，0 的立方根为 0。满足 。 1. 平方根与立方根最大区别 · 平方根：负数无；两个互为相反数；结果非负。 · 立方根：全体实数都有；一数一立方根；符号与原数一致。 知识点二 无理数与实数 1. 有理数 整数和分数统称有理数，对应有限小数、无限循环小数，可以写成分数形式。 1. 无理数 无限不循环小数叫做无理数，不能写成分数。四类常考：① 开方开不尽的数；② 含 的数；③ 无限不循环构造小数；④ 部分特殊根式。 1. 实数分类 实数 = 有理数 + 无理数 1. 实数核心性质 实数和数轴上的点一一对应；实数都有相反数、绝对值、倒数；有理数的运算法则、运算律全部适用于实数。 1. 实数大小比较 数轴右侧数更大；正数大于 0 大于负数；两负数比较，绝对值大的反而小；根式比较可平方后比较。 知识点三 二次根式的相关概念和性质 1. 定义与有意义条件 形如 的式子叫二次根式。双重非负性：被开方数 ，根式结果 （考试高频考点）。 1. 最简二次根式标准（必须同时满足） ① 被开方数不含分母；② 被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 1. 同类二次根式 几个二次根式化成最简后，被开方数相同，即为同类二次根式，可以合并。 1. 三大基本性质 ① ② ③ 积、商的开方性质：， 知识点四 二次根式的运算 1. 二次根式加减 口诀：先化简、再合并。先全部化为最简二次根式，再只合并同类二次根式，非同类不能合并。 1. 二次根式乘除 · 乘法： · 除法： 运算后必须化简为最简根式。 1. 分母有理化 目的：去掉分母中的根号，是二次根式化简必考步骤。单根式分母直接分子分母同乘根式；多项式分母利用平方差公式有理化。 1. 混合运算规则 运算顺序与有理数一致：先乘方开方、再乘除、最后加减；有括号先算括号内；可灵活使用交换律、结合律、平方差、完全平方公式简便运算。 1. 最终答题要求 所有二次根式计算题，结果必须是最简二次根式，含分母根号、未开尽方全部扣分。 易错点1 二次根式化简求值 易错提醒 易错点总结 1. 混淆两个核心公式：把 直接等于 ，忽略绝对值，符号出错。 2. 忽略二次根式双重非负性（被开方数≥0、根式值≥0），导致取值范围、参数求解错误。 3. 根式加减运算中，对非同类二次根式强行合并，化简错误。 3. 含字母根式化简时，不判断字母正负，直接去根号。 5. 求值题不化简直接代值，计算量大、极易算错、步骤扣分。 注意事项总结 1. 牢记公式区别：；（必考）。 2. 只要出现二次根式，先保证被开方数非负，利用非负性求参数。 3. 根式运算原则：先化简为最简二次根式，只有同类根式可合并。 4. 含字母开根号：先判正负，再去绝对值，不能盲目开方。 5. 求值严格遵守：先化简、后代入，负数、分数代入必须加括号。 【对点训练】1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次根式乘除混合运算的方法计算即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ． 易错点2 勾股定理与实数 易错提醒 易错点总结 1. 勾股计算得出根式结果，不化简、不分母有理化，答案不标准扣分。 2. 混淆边长与边长平方，算出平方值直接当作边长写答案。 3. 三角形边长为无理数时，不会比较大小，误判斜边，公式代错边。 4. 折叠、最短路径、网格题中，算出实数结果不整理，留有未开尽方、分母带根号。 注意事项总结 1. 几何计算含根式，最终结果必须是最简二次根式。 2. 求边长必须开方，求面积、平方关系不用开方，看清题目要求。 3. 无理数比大小：优先比较平方值，避免近似小数出错。 4. 勾股与实数综合题，最后必须检查：无分母根号、无开不尽方、格式规范。 【对点训练】2．如图，的网格中每个小正方形的边长均为1，请你在网格上分别按照要求设计一个顶点都在格点上的直角三角形． (1)直角三角形的三边中有一边长是无理数； (2)直角三角形的三边中有两边长是无理数； (3)直角三角形的三边长都是无理数． 【答案】(1) 如图①，即为所求； (2) 如图②，即为所求； (3) 如图③，即为所求； 【分析】（1）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）； （2）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）； （3）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 易错点3 复合二次根式的化简 易错提醒 易错点总结 1. 不会拆分 型复合根式，盲目开方。 2. 找不出满足和、积条件的两个数，配方错误。 3. 化简后正负判断错误，忽略算术平方根结果必须为正。 4. 多层根式运算顺序混乱，从外层开始化简，导致全盘错误。 注意事项总结 1. 复合根式标准配方：，满足 ，。 2. 先凑”2 倍根号”结构，没有 2 倍先变形构造，再配方化简。 3. 化简结果一定为正数，配方后舍去负根。 4. 多层根式：由内向外逐层化简，每层都化为最简根式再计算。 【对点训练】3．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照例题即可求解； （2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算； （3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵ ， 而，则 ∴； （3）解： ． 易错点4 与实数相关的规律题 易错提醒 易错点总结 1. 只观察数字变化，忽略符号、根号结构、循环特征。 2. 奇偶项规律不同，不分类讨论，统一通项公式写错。 3. 无理数、根式序列不会整理结构，找不到变化规律。 4. 写出规律公式后不验证，代入前几项对不上仍直接使用。 注意事项总结 1. 实数规律四要素：符号、根号内数字、系数、项数奇偶性。 2. 正负交替统一用 或 表示。 3. 根式规律保持结构统一，先整理最简根式再找变化。 4. 通项公式写出后，必须代入 、 验证无误。 【对点训练】4．阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）略 （2）解：理由如下： ； （3）解：原式． 易错点5 新定义下的实数运算 易错提醒 易错点总结 1. 惯性使用常规运算，不按题目新定义公式计算。 2. 负数、根式、分数代入新定义公式时，位置代反、漏括号、符号错乱。 3. 多层嵌套新运算，顺序颠倒，先算外层再算内层。 4. 运算结束后不化简根式，结果不规范，遗漏分母有理化。 注意事项总结 1. 新定义题核心：题目规则优先，禁止自创运算。 2. 固定解题步骤：抄写新公式→对应位置代数→实数运算→根式化简。 3. 所有负数、根式参与运算必须加括号，规避符号错误。 4. 多层运算从内到外，最终结果务必化为最简二次根式。 【对点训练】 5．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： ，等． (1)【猜想】___________，并证明你的猜想； (2)【推理证明】请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． (3)【创新应用】按此规律，若（，为正整数），求的平方根. 【答案】(1)解：， 证明如下： . (2)解：， 证明如下： （，为正整数）； (3) 【分析】（1）根据题中“穿墙”的定义，猜想符合定义的结果并证明即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示，再证明即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值，进一步求解平方根． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴， ∴． 一、单选题 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简二次根式的定义：满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即为最简二次根式，对各选项逐一化简判断即可． 【详解】解：对于选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，故A不是最简二次根式； 对于选项B：，被开方数含能开得尽方的因数，故B不是最简二次根式； 对于选项C：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，故C是最简二次根式； 对于选项D：，被开方数含能开得尽方的因数，故D不是最简二次根式． 2．已知若n为整数且则n的值为（     ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】D 【分析】本题根据已知平方数确定的范围，结合题目给出的不等式即可求出整数的值，用到正数大小比较与算术平方根大小比较的关系：若正数，则． 【详解】∵ ，， 又∵ ， ∴ ， 即 ． ∵ ，且为整数， ∴ ． 3．下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．是分数 C．是无理数 D．无限小数是无理数 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义，平方根的定义，无理数与有理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、的平方根是，原说法错误，不符合题意； B、是无理数，而分数属于有理数，故不是分数，原说法错误，不符合题意； C、是无理数，原说法正确，符合题意； D、无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，原说法错误，不符合题意． 4．实数a，b是连续整数，如果 那么的值是（     ） A．9 B．7 C．8 D．11 【答案】D 【分析】找到与26相邻的两个完全平方数，确定的范围，进而得到连续整数和的值，计算即可． 【详解】解：， ，即 ， ，且，是连续整数， ，， ． 5．定义：对于任意的实数，，当时，有；当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先比较参与运算的两个数的大小，再根据给定对应法则代入计算，化简算术平方根和立方根即可得到结果． 【详解】解：由题意得，运算中， ，满足， 按定义得， 代入计算. 二、填空题 6．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，其中等号右边是通常的减法及乘法运算．如．请计算______． 【答案】 【分析】根据给出的定义新运算，列出算式求解． 【详解】解：． 7．小明编写了一个程序，如图．若输入，则输出的数为___________． 【答案】 【分析】根据流程图和实数运算法则即可求解． 【详解】解：输入， 则， 然后， 4的倒数为， 然后得到， ∴输出的数为． 8．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 【答案】 【分析】根据数阵中数字的特点总结规律求解即可． 【详解】解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的算术平方根， 且第1行的第1个数是1的算术平方根，而， 第2行的第1个数是3的算术平方根，而， 第3行的第1个数是7的算术平方根，而， 第4行的第1个数是13的算术平方根，而， …… 第8行的第1个数是的算术平方根，即， 第6个数是的算术平方根，即． 9．若一个正数的两个不同平方根是和，则的立方根为________． 【答案】 【分析】根据正数的两个不同平方根互为相反数的性质，列方程求出的值，再计算的立方根即可. 【详解】解： 一个正数的两个不同平方根互为相反数， ， 去括号，合并同类项得 ， 解得， ， 的立方根为. 10．若是整数，正整数的最小值是_______． 【答案】2 【分析】先化简二次根式，根据二次根式的性质，若二次根式的结果为整数，则被开方数需为完全平方数，据此找出满足条件的最小正整数． 【详解】解：， 是整数，是正整数， 必须是完全平方数， ∴最小的正整数为． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 12．如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题： (1)如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数． (2)如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）利用勾股定理求出，即可得出答案． （2）过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点． 【详解】（1）解：∵点表示的数是， ∴， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点， ∴， ∴点表示的数为． （2）解：∵，，， ∴， ∴点即为所求． 13．阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 【答案】(1) (2) (3)A0纸的长为，宽为 【分析】（1）根据系列纸的面积规律即可求出答案； （2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案； （3）设纸的宽为，则长为，则，运算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知， A0纸的面积为1平方米， A1纸的面积为平方米， A2纸的面积为平方米， A3纸的面积为平方米， A4纸的面积为平方米， A5纸的面积是平方米． （2）解：如图， 由折叠的性质可知，由材料一可知，在图3折叠得到正方形中， ，即A4纸的长宽之比为； （3）解：设纸的宽为，则长为， 依题意得， ， ∵， ∴， ∵（负值不合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：纸的长为，宽为． 14．类比探究：小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若_______________，则叫的五次方根，记作_______________； ②32的五次方根为_______________； (2)若，则_______________； (3)求的值：． 【答案】(1)① ，；② (2) (3)或 【分析】（1）根据题干内容，模仿作答①②即可； （2）先结合四次方根以及绝对值的非负性，且，得，，故，，最后代入计算，即可作答． （3）先移项，然后方程两边同时除以3，整理得，即可作答． 【详解】（1）解：①根据题干给出的二次方根、三次方根、四次方根的定义，类比可得，若 ，则x叫a的五次方根，记作． ②∵， ∴32的五次方根为2． （2）解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，． 15．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：______________________________； (2)写出第个等式：______________________________；（用含的等式表示） (3)根据上面的结论计算： ． 【答案】(1) (2) （为正整数） (3) 【分析】（1）根据规律写出第个等式； （2）根据规律写出第个等式； （3）根据规律把各项展开，再根据运算法则进行计算． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， 第个等式：； （2）解：第个等式：（为正整数）； （3）解： ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数 知识点一 平方根和立方根 1. 算术平方根 若 ，则 是 的____________，记作_______。算术平方根一定是非负数，0 的算术平方根是 _______。只有_______才有算术平方根。 1. 平方根 若 ，则 叫做 的_______。正数有_______个平方根，互为_______；0 的平方根是 _______；负数没有平方根。书写格式：正数平方根为 _______。 1. 重要公式 ，（重点易错：开方出来必须非负） 1. 立方根 若 ，则 为 的_______，记作 _______。任意实数都有唯一立方根：正数立方根为_______，负数立方根为_______，0 的立方根为 0。满足 。 1. 平方根与立方根最大区别 · 平方根：负数无；两个互为_______；结果_______。 · 立方根：全体实数都有；一数一立方根；符号与原数一致。 知识点二 无理数与实数 1. 有理数 _______和_______统称有理数，对应有限小数、无限循环小数，可以写成分数形式。 1. 无理数 ______________叫做无理数，不能写成分数。四类常考：① 开方开不尽的数；② 含 的数；③ 无限不循环构造小数；④ 部分特殊根式。 1. 实数分类 实数 = 有理数 + 无理数 1. 实数核心性质 实数和数轴上的点一一对应；实数都有相反数、绝对值、倒数；有理数的运算法则、运算律全部适用于实数。 1. 实数大小比较 数轴右侧数更大；正数大于 0 大于负数；两负数比较，绝对值大的反而小；根式比较可平方后比较。 知识点三 二次根式的相关概念和性质 1. 定义与有意义条件 形如 的式子叫_______。双重非负性：被开方数 _______，根式结果 _______（考试高频考点）。 1. 最简二次根式标准（必须同时满足） ① 被开方数不含_______；② 被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 1. 同类二次根式 几个二次根式化成最简后，被开方数相同，即为同类二次根式，可以合并。 1. 三大基本性质 ① ② ③ 积、商的开方性质：， 知识点四 二次根式的运算 1. 二次根式加减 口诀：先化简、再合并。先全部化为最简二次根式，再只合并同类二次根式，非同类不能合并。 1. 二次根式乘除 · 乘法： · 除法： 运算后必须化简为最简根式。 1. 分母有理化 目的：去掉分母中的根号，是二次根式化简必考步骤。单根式分母直接分子分母同乘根式；多项式分母利用平方差公式有理化。 1. 混合运算规则 运算顺序与有理数一致：先乘方开方、再乘除、最后加减；有括号先算括号内；可灵活使用交换律、结合律、平方差、完全平方公式简便运算。 1. 最终答题要求 所有二次根式计算题，结果必须是最简二次根式，含分母根号、未开尽方全部扣分。 易错点1 二次根式化简求值 易错提醒 易错点总结 1. 混淆两个核心公式：把 直接等于 ，忽略绝对值，符号出错。 2. 忽略二次根式双重非负性（被开方数≥0、根式值≥0），导致取值范围、参数求解错误。 3. 根式加减运算中，对非同类二次根式强行合并，化简错误。 3. 含字母根式化简时，不判断字母正负，直接去根号。 5. 求值题不化简直接代值，计算量大、极易算错、步骤扣分。 注意事项总结 1. 牢记公式区别：；（必考）。 2. 只要出现二次根式，先保证被开方数非负，利用非负性求参数。 3. 根式运算原则：先化简为最简二次根式，只有同类根式可合并。 4. 含字母开根号：先判正负，再去绝对值，不能盲目开方。 5. 求值严格遵守：先化简、后代入，负数、分数代入必须加括号。 【对点训练】1．计算： (1) (2) 易错点2 勾股定理与实数 易错提醒 易错点总结 1. 勾股计算得出根式结果，不化简、不分母有理化，答案不标准扣分。 2. 混淆边长与边长平方，算出平方值直接当作边长写答案。 3. 三角形边长为无理数时，不会比较大小，误判斜边，公式代错边。 4. 折叠、最短路径、网格题中，算出实数结果不整理，留有未开尽方、分母带根号。 注意事项总结 1. 几何计算含根式，最终结果必须是最简二次根式。 2. 求边长必须开方，求面积、平方关系不用开方，看清题目要求。 3. 无理数比大小：优先比较平方值，避免近似小数出错。 4. 勾股与实数综合题，最后必须检查：无分母根号、无开不尽方、格式规范。 【对点训练】2．如图，的网格中每个小正方形的边长均为1，请你在网格上分别按照要求设计一个顶点都在格点上的直角三角形． (1)直角三角形的三边中有一边长是无理数； (2)直角三角形的三边中有两边长是无理数； (3)直角三角形的三边长都是无理数． 易错点3 复合二次根式的化简 易错提醒 易错点总结 1. 不会拆分 型复合根式，盲目开方。 2. 找不出满足和、积条件的两个数，配方错误。 3. 化简后正负判断错误，忽略算术平方根结果必须为正。 4. 多层根式运算顺序混乱，从外层开始化简，导致全盘错误。 注意事项总结 1. 复合根式标准配方：，满足 ，。 2. 先凑”2 倍根号”结构，没有 2 倍先变形构造，再配方化简。 3. 化简结果一定为正数，配方后舍去负根。 4. 多层根式：由内向外逐层化简，每层都化为最简根式再计算。 【对点训练】3．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 易错点4 与实数相关的规律题 易错提醒 易错点总结 1. 只观察数字变化，忽略符号、根号结构、循环特征。 2. 奇偶项规律不同，不分类讨论，统一通项公式写错。 3. 无理数、根式序列不会整理结构，找不到变化规律。 4. 写出规律公式后不验证，代入前几项对不上仍直接使用。 注意事项总结 1. 实数规律四要素：符号、根号内数字、系数、项数奇偶性。 2. 正负交替统一用 或 表示。 3. 根式规律保持结构统一，先整理最简根式再找变化。 4. 通项公式写出后，必须代入 、 验证无误。 【对点训练】4．阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 易错点5 新定义下的实数运算 易错提醒 易错点总结 1. 惯性使用常规运算，不按题目新定义公式计算。 2. 负数、根式、分数代入新定义公式时，位置代反、漏括号、符号错乱。 3. 多层嵌套新运算，顺序颠倒，先算外层再算内层。 4. 运算结束后不化简根式，结果不规范，遗漏分母有理化。 注意事项总结 1. 新定义题核心：题目规则优先，禁止自创运算。 2. 固定解题步骤：抄写新公式→对应位置代数→实数运算→根式化简。 3. 所有负数、根式参与运算必须加括号，规避符号错误。 4. 多层运算从内到外，最终结果务必化为最简二次根式。 【对点训练】 5．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： ，等． (1)【猜想】___________，并证明你的猜想； (2)【推理证明】请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． (3)【创新应用】按此规律，若（，为正整数），求的平方根. 一、单选题 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．已知若n为整数且则n的值为（     ） A．43 B．44 C．45 D．46 3．下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．是分数 C．是无理数 D．无限小数是无理数 4．实数a，b是连续整数，如果 那么的值是（     ） A．9 B．7 C．8 D．11 5．定义：对于任意的实数，，当时，有；当时，，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，其中等号右边是通常的减法及乘法运算．如．请计算______． 7．小明编写了一个程序，如图．若输入，则输出的数为___________． 8．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 9．若一个正数的两个不同平方根是和，则的立方根为________． 10．若是整数，正整数的最小值是_______． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 12．如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题： (1)如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数． (2)如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法） 13．阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 14．类比探究：小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若_______________，则叫的五次方根，记作_______________； ②32的五次方根为_______________； (2)若，则_______________； (3)求的值：． 15．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：______________________________； (2)写出第个等式：______________________________；（用含的等式表示） (3)根据上面的结论计算： ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $