第二章 实数（知识清单）数学北师大版2024八年级上册

第二章 实数 一、实数的概念和性质 和 统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都 ，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即 ； （2）任何一个实数的平方是非负数，即 ； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 二、平方根与立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有 平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根； 一个正数有一个 ；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零； 重要结论 三、二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2.二次根式满足条件：（1）必须含有 ；（2）被开方数必须是 . 3.二次根式有无意义的条件 ①二次根式有意义：被开方数为 ，即； ②二次根式无意义：被开方数为 ，即； 4.二次根式的性质 ①二次根式（）的 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． ②二次根式的性质： （） ③二次根式的性质： 四、最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数 ，（2）被开方数中 2.同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后 的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把 ， ，合并的依据式乘法分配律，如 五、二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ② ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用： （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则： （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3.二次根式的加减法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成 ，再将 的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ① ：将各个二次根式化成最简二次根式； ② ：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③ ：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样： ， ， ，有括号的先算 （或先去掉括号） 易错点1 利用二次根式的性质化简 易错点总结 忽略二次根式中被开方数的非负性，比如在化简\sqrt{a^2}时，直接得出a，而未考虑a的正负；对二次根式性质的运用条件把握不准。 注意事项 化简前先明确被开方数的取值范围；运用性质时严格遵循条件。计算过程中仔细判断符号，多进行分类讨论，做完后检查化简结果是否符合二次根式的定义和性质。 例1-1：已知，化简： ． 例1-2：把中根号外的a移入根号内，则 ． 易错点2 复合二次根式的化简 易错点总结 一是忽略对被开方数整体的分析，盲目拆分。二是没有考虑化简结果的形式，化简不彻底， 或者在开方运算时，没有注意到算术平方根的非负性，出现符号错误。 注意事项 化简前仔细观察被开方数的特征，寻找合适的拆分组合；牢记算术平方根的非负性，在开方运算时，对结果进行符号判断和验证，确保化简结果最简且符合数学规则。 例2：先阅读下列解答过程： 材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使， 即，，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ， 请根据材枓解答下列问题： (1)填空：①______；  ②______． (2)化简：（诸写出计算过程）； (3)化简：． 易错点3 与二次根式运算有关的新定义型题 易错点总结 一方面，对新定义理解不透彻，没准确把握运算规则就盲目套用。比如新定义中规定了特定的运算优先级，却按常规四则运算顺序进行计算 。另一方面，忽略新定义的适用条件，在不符合条件的情况下使用新定义运算，导致结果错误。 注意事项 拿到题目后，反复研读新定义，圈画关键信息，明确运算规则与适用范围。在解题过程中，每一步运算都对照新定义检查，做完后再次核对是否符合新定义的要求，确保运算的准确性。 例3：定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 易错点4 与二次根式运算有关的规律题 易错点总结 其一，归纳规律时样本数量不足，仅依据少数几个计算结果就匆忙得出结论，导致规律总结错误。例如，只计算了前两三个二次根式的运算结果就总结通用规律。其二， 没有深入分析数字或式子结构的特征，忽略了隐藏条件或变化趋势，像没发现根式中被开方数的底数或指数的变化规律。 注意事项 尽可能多地列举运算结果，扩大观察样本，提高规律准确性。同时，仔细剖析二次根式的结构，包括被开方数、系数等部分的变化，从多角度思考，确保准确归纳出规律。 例4：特例感知 化简：； 解：； (1)请在横线上直接写出化简的结果： ①______；②______． 观察发现 (2)第个式子是（为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）． 拓展应用 (3)从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算： ①； ②． 一、单选题 1．若，则可化简为（ ） A． B． C． D． 2．现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C． D． 3．一组数据按一定规律排列：，2，，，，，，…这组数据的第n项是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是 ． 5．现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数，都有，则的值为 ． 6．已知实数a的取值范围是，化简代数式．的值为 三、解答题 7．观察下列各式： ； ； ． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用m（m为正整数，）表示的等式：__________； (3)利用上述规律计算：． 8．定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 9．阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 10．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数 一、实数的概念和性质 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； （2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 二、平方根与立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零； 重要结论 三、二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 3.二次根式有无意义的条件 ①二次根式有意义：被开方数为非负数，即； ②二次根式无意义：被开方数为负数，即； 4.二次根式的性质 ①二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． ②二次根式的性质：（） ③二次根式的性质： 四、最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 五、二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3.二次根式的加减法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 易错点1 利用二次根式的性质化简 易错点总结 忽略二次根式中被开方数的非负性，比如在化简\sqrt{a^2}时，直接得出a，而未考虑a的正负；对二次根式性质的运用条件把握不准。 注意事项 化简前先明确被开方数的取值范围；运用性质时严格遵循条件。计算过程中仔细判断符号，多进行分类讨论，做完后检查化简结果是否符合二次根式的定义和性质。 例1-1：已知，化简： ． 【答案】 【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值．根据二次根式的性质和绝对值的意义化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 例1-2：把中根号外的a移入根号内，则 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式要有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 易错点2 复合二次根式的化简 易错点总结 一是忽略对被开方数整体的分析，盲目拆分。二是没有考虑化简结果的形式，化简不彻底， 或者在开方运算时，没有注意到算术平方根的非负性，出现符号错误。 注意事项 化简前仔细观察被开方数的特征，寻找合适的拆分组合；牢记算术平方根的非负性，在开方运算时，对结果进行符号判断和验证，确保化简结果最简且符合数学规则。 例2：先阅读下列解答过程： 材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使， 即，，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ， 请根据材枓解答下列问题： (1)填空：①______；  ②______． (2)化简：（诸写出计算过程）； (3)化简：． 【答案】(1)①；② (2) (3)1 【知识点】复合二次根式的化简、分母有理化 【分析】本题主要考查了化简二次根式，分母有理化： （1）①仿照题意求解即可；②根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据例题把，变成，然后根据阅读材料进行化简； （3）先根据阅读材料将分母进行化简，然后分母有理化，再合并同类二次根式化为最简形式． 【详解】（1）解：①∵，，即，， ∴； ②； （2）解：解： ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：； （3）解： ． 易错点3 与二次根式运算有关的新定义型题 易错点总结 一方面，对新定义理解不透彻，没准确把握运算规则就盲目套用。比如新定义中规定了特定的运算优先级，却按常规四则运算顺序进行计算 。另一方面，忽略新定义的适用条件，在不符合条件的情况下使用新定义运算，导致结果错误。 注意事项 拿到题目后，反复研读新定义，圈画关键信息，明确运算规则与适用范围。在解题过程中，每一步运算都对照新定义检查，做完后再次核对是否符合新定义的要求，确保运算的准确性。 例3：定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 易错点4 与二次根式运算有关的规律题 易错点总结 其一，归纳规律时样本数量不足，仅依据少数几个计算结果就匆忙得出结论，导致规律总结错误。例如，只计算了前两三个二次根式的运算结果就总结通用规律。其二， 没有深入分析数字或式子结构的特征，忽略了隐藏条件或变化趋势，像没发现根式中被开方数的底数或指数的变化规律。 注意事项 尽可能多地列举运算结果，扩大观察样本，提高规律准确性。同时，仔细剖析二次根式的结构，包括被开方数、系数等部分的变化，从多角度思考，确保准确归纳出规律。 例4：特例感知 化简：； 解：； (1)请在横线上直接写出化简的结果： ①______；②______． 观察发现 (2)第个式子是（为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）． 拓展应用 (3)从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算： ①； ②． 【答案】(1)①；② (2) (3)①；② 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算是解题的关键． （1）利用分母有理化求解作答即可； （2）根据，求解作答即可； （3）①利用（2）的结论，结合平方差公式计算即可；②先分母有理化，再逆用同分母的加减法则变形后，结合互为相反数的和为零，计算即可． 【详解】（1）①解：， 故答案为：； ②解：， 故答案为：； （2）解：， ∴的化简结果为； （3）解： ； ②解： ． 一、单选题 1．若，则可化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式有意义判断出，根据进一步确定出，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：，， ， ， ，， ， 故选：D． 2．现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根和立方根，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解：， ， 故选：A． 3．一组数据按一定规律排列：，2，，，，，，…这组数据的第n项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律及二次根式的化简，解题的关键是从符号变化和根号内数字的规律两方面分析数据的排列特征． 观察数据的符号，奇数项为负、偶数项为正，可确定符号规律；将各项化为统一的二次根式形式，分析根号内数字与项数的关系，进而得出第n项的表达式． 【详解】将数据统一化为二次根式形式： 第1项：； 第2项：； 第3项：； 第4项：； 由此可见，符号规律为，根号内的数字为2n， ∴这组数据的第n项是． 故选：C． 二、填空题 4．按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是 ． 【答案】33 【分析】本题主要考查数式规律问题、算术平方根等知识点，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 根据已知数总结规律，然后利用规律即可解答． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； …… 第9个数是． 故答案为：33． 5．现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数，都有，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，掌握相关运算法则是解题关键．根据新定义运算计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．已知实数a的取值范围是，化简代数式．的值为 【答案】6 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．根据二次根式的性质，结合，进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：6． 三、解答题 7．观察下列各式： ； ； ． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用m（m为正整数，）表示的等式：__________； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键． （1）（2）根据已知等式的规律可得结论； （3），在根据已知等式的规律可得答案． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）． 8．定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 【答案】(1)是的完整平方根，奸恶计息 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：（1）是的完整平方根， 理由如下： 即． ∴是的完整平方根． （2）∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是整数， ∴，． （3）∵是完整根式， ∴不妨设，其中，都是整数． 由（2）得，，． ∴． ∵，都是整数， ∴为完全平方数． ∴一定是完全平方数． 9．阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解； （2）根据题干所给例子得出结论即可； （3）根据（2）中得出的规律计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：（为自然数）； （3）解：． 10．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 【答案】（1）；；（2）或；（3） 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式； （2）根据题意，展开得到，然后根据，m，n为正整数进行求解； （3）先设，m，n为正整数，再由例题的方法求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：；． （2） 由 得， 又，m，n为正整数 或 （3）设，m，n为正整数 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$