26.4第1课时 生活中的最值问题教学课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦生活中的最值问题，核心是将实际问题转化为二次函数问题。通过复习二次函数顶点坐标、开口方向等基础题导入，搭建从旧知到新知的学习支架，衔接实际问题应用。 其亮点是以跳水、矩形菜园等生活实例为载体，培养数学眼光观察现实，通过建立函数模型、分析定义域发展数学思维推理，用函数表达式和图像强化数学语言表达。如矩形菜园问题结合墙长限制求最值，帮助学生提升应用能力，为教师提供结构化教学资源。

生活中的最值问题 R·九年级上册 学习目标 1.学会把实际问题转化为数学问题，体验数学来源于生活又可应用于生活. 2.把最值问题转化成二次函数问题. 2 复习导入 用你认为最简单的方法求出顶点坐标，说出开口方向，对称轴及最值. （1）y=x2-4x-5 （2）y=-x2+x+ 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 向上 x=2 （2，-9） y最小值=-9 向下 y最大值= 探究新知 例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h=－4.9t²+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.） 知识点一 已知二次函数解析式 解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为运动员重心的最大高度. 即运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m. 函数h=－4.9t²+2.8t+11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员在竖直方向上的运动过程吗？ (0.3, 11.4) . 一般地，当a>0(a<0)时，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点有最低（高）点，也就是说，当 x= 时，二次函数有最小（大）值 . 归 纳 利用二次函数图象解决最值问题时需要注意哪些问题？ 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)的关系近似为h=30t－5t2 (0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 根据题意，结合图象可知，小球在抛物线的顶点时为最大高度. 练习 【选自教材P52 练习第2题】 解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度. h＝30t-5t2 (0≤t≤6) 即小球运动的时间是3s时，小球最高，且最大高度是45m. 例2 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少? 知识点二 建立二次函数模型 (0< x <10). 因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m². 解：设垂直于墙的边长为xm， 则平行于墙的边长为(20−2x)m， 矩形菜园的面积 ， 即 20-2x x x 思考 如果例2中墙的长度为8m，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ (0< x <10) (5,50) 解：平行于墙的边长20-2x ≤ 8， 解得 x ≥ 6. 所以6 ≤ x <10. 当x=6时， S最大值=-2×62+20×6=48 20-2x x x (6 ≤ x <10) 6 因此，当垂直于墙的边长为6m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为48m². 【选自教材P52 练习第1题】 利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函 数关系式； 2.确定自变量的取值范围； 3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范 围画草图； 4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围 内的最大值或最小值. 随堂练习 1.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+BD=10， 当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？ 解：设AC=x,四边形ABCD面积为y, 则BD=(10-x). 即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大. 2.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(如图所示)，墙长为18m，这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解：设矩形的长为x m,面积为y m2,则矩形的宽为 m. ∴0<x≤18. 3.如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？ 解：令AB长为1，设AE=x，正方形EFGH的面 积为y，则AH=1-x. 即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小. 4.已知矩形的周长为36 cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，圆柱的侧面积最大？ 解：设矩形的长为xcm，圆柱的侧面积为ycm2， 则矩形的宽为(18-x)cm，绕矩形的长或宽旋转，圆柱的侧面积相等. 有y=2πx(18-x)=-2π(x-9)2+162π(0＜x＜18). 当x=9时，y有最大值为162π. 即当矩形的长、宽各为9cm时，圆柱的侧面积最大. 5.如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD=10，当AC，BD的长是多少时，四边ABCD的面积最大？ 解:设四边形ABCD的面积为S，AC的长为x，则BD的长为10-x. 所以当 时，S取最大值， 当AC，BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大. A B D C 2.图形面积最值问题： 由图形面积公式直接计算列出关系式，再利用二次函数的性质分析、解决问题. 1.运动问题： （1）运动中的距离、时间、速度问题，这类问题多根据运动规律中的公式求解； （2）物体的运动路线（轨迹）问题，解决这类问题的思想方法是建立合适的平面直角坐标系，根据已知数据求出运动轨迹（抛物线）的解析式，再利用二次函数的性质分析、解决问题. 课堂小结 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 课后作业 $