26.4实际问题与二次函数（第2课时最大利润问题）（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决最大利润问题，课堂导入通过回顾上节课二次函数最值求解步骤（建立模型、确定范围、求最值、解释意义），搭建学习支架，衔接实际利润问题的转化与建模。 其亮点在于以商品定价实例（分涨价、降价）引导学生分类讨论建立函数模型，培养模型意识（数学语言）和推理能力（数学思维），巩固训练结合实例强化应用，帮助学生用数学眼光观察现实，提升解决实际问题能力，也为教师提供结构化教学流程和丰富例题。

第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 第2课时 最大利润问题 学 习 目 标 1 2 3 掌握利润问题中基本量之间的关系，能将实际利润问题转化为二次函数模型. 能根据涨价、降价两种不同情况分别建立函数解析式，并结合自变量取值范围求最大利润； 经历 “分析利润关系→建立二次函数模型→分类讨论求解→得出最优方案” 的过程，进一步提升数学建模能力。 新课引入 回顾 上节课我们学习了用二次函数解决实际最值问题，你还记得求取实际问题中最值的一般步骤和依据吗？ 1. 建立二次函数模型 2. 确定自变量取值范围 3. 求解函数最值： (1)若顶点横坐标在自变量取值范围内，利用求出； (2)若横坐标不在取值范围内，根据二次函数的单调性求出. 4. 解释实际意义 今天我们继续学习二次函数在商业中的应用 —— 最大利润问题. 3 新知探究 探究1 最大利润问题 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件。市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价 1 元，则每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，则每星期可多卖出 20 件。已知商品的进价为每件 40 元. (1)如何定价才能使利润最大？ (2)最大利润是多少？ 想一想 你还记得利润问题中的基本公式吗？ 利润 = 售价 - 进价 总利润 = 每件利润 × 销售量 售价、销售量、每件利润和总利润都会随着价格调整而变化. 调整价格包括涨价和降价两种情况，下面我们线讨论涨价情况。 固定不变 4 新知探究 设每件涨价元，则每星期售出商品的利润随之变化。 售价：元 销售量：件 根据总利润公式列出函数解析式： 即 想一想 涨价元后，每件商品的售价是多少？每件利润是多少？销售量会发生什么变化？ 每件利润： 元 5 新知探究 讨论 可以取任意实数吗？为什么？ 学生讨论后回答： ①涨价的金额不能是负数，所以 ②销售量不能是负数，所以，解得 因此，自变量的取值范围是，且为整数。 顶点横坐标 在涨价的情况下，张价 5元，利润最大，最大利润是 6250 元 因为,所以当时，有最大值。 最大利润(元) 此时定价为 确定自变量取值范围 求取最值 6 新知探究 讨论 参考涨价的求解过程，试求出降价时最大利润是多少？ 设每件降价元，每星期售出商品的利润为元 ① 写出与之间的函数解析式。 ② 确定自变量的取值范围。 ③ 求出降价情况下的最大利润。 售价：元 每件利润：元 销售量：件 想一想 降价元后，每件商品的售价、每件利润和销售量分别是多少？ 小组合作任务 7 新知探究 ①结合总利润的公式可得： 函数解析式： ②自变量取值范围： 且， 解得，且为整数。 ③顶点横坐标 因为为整数，所以当或时，取得最大值。 当时，（元） 当时，（元） 此时定价为元或元 8 新知探究 思考 比较涨价和降价两种情况的最大利润，我们应该如何定价才能使利润最大？ 涨价情况下的最大利润是 元 降价情况下的最大利润是 元 所以定价为 元时，利润最大，最大利润是 6250 元。 在解决这类需要分类讨论的利润问题时，我们需要分别求出每种情况下的最大利润，然后进行比较，最终得出最优方案。 9 知识小结 思考 利润问题中的基本公式是什么？ 解决最大利润问题的一般步骤是什么？ 基本公式：总利润 = 每件利润 × 销售量 解题步骤： 1.分析题意，确定变量 2.分类讨论，建立模型 3.确定范围，求解最值 4.比较结果，得出方案 10 新知巩固 最大利润问题 若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（   ） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 【分析】将二次函数化为，由二次函数的性质，即可求解；掌握二次函数最值的求法是解题的关键． 解： ， 当时， （万元）； 故选：B． 11 巩固训练1 已知解析式求最大利润 某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，则这种商品每天的最大利润为（    ） A．50元 B．60元 C．40元 D．30元 【分析】根据二次函数解析式可知二次函数开口向下，则在对称轴处取得最大值. ∴当时，有最大值，最大值为60， ∴这种商品每天的最大利润为60元， 故选B． 解：∵某种商品每天的销售利润元与单价 之间的函数关系式为 ，， 12 巩固训练1 已知解析式求最大利润 变式题 某种商品每天的销售利润（元）与单价（元）之间的函数关系式为．则这种商品每天的最大利润为（　　） A．0.1元 B．3元 C．25元 D．75元 可知其函数图像开口向下，其顶点坐标为， 即当单价元时，该商品每天的最大利润为元． 故选：C． 解：对于该商品每天的销售利润与单价之间的函数关系式 ， 13 巩固训练2根据实际销售列函数关系式 某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨元（为整数），每个月的销售利润为y元，那么y与x的函数关系式是_____________． 【分析】依据每件利润，销售数量，总利润之间的关系可得函数关系式，根据每件售价不能高于72元，可得解析式与自变量的取值范围． 解：根据题意可得：涨价后的售价为元，销售量为件， ∴， ∵每件售价不能高于72元， ∴， 故答案为： ． 14 变式题 巩固训练2根据实际销售列函数关系式 “十一”黄金周，某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元），满足关系：．写出商场卖这种商品每天的销售利润 y与每件的售价x之间的函数关系式是___________． 解：根据题意，销售一件商品的利润为： 元，销售量为m件， ∴ ， 故答案为：． 15 巩固训练3文字叙述类销售问题 某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解. 解：设每件涨价元，每周可获利元，所售件数是件，每件的利润是元 ， 当时，有最大值，最大值为：6250， 答：当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元． 根据题意得： ， 16 巩固训练3文字叙述类销售问题 变式题 某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． (1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ （1）解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得： ， 解得：，， ∵要尽可能让利于顾客，只能取， ∴售价应为（元）， 答：每千克特产商品的售价应为18元； 17 巩固训练3文字叙述类销售问题 变式题 (2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ （2）解：设每天获得的利润为W，销售价格为，则 ∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元． 18 课堂总结 本节课你学到了什么？ 19 感谢聆听! 20 $