专题02 有理数的运算重难点题型汇编（14大基础题型+2大提升题型）（高效培优期末专项训练）数学浙教版2024七年级上学期

专题02 有理数的运算重难点题型汇编 （14大基础题+2大提升题） 【题型导航】 【经典基础题】 题型1 有理数的加法............................................................................ 1 题型2 有理数加法在生活中的应用............................................................................ 2 题型3 省略加法和括号的形式............................................................................ 2 题型4 有理数的加减运算............................................................................ 3 题型5 有理数的加减混合实际应用............................................................................ 3 题型6 有理数的乘法运算............................................................................ 6 题型7 用科学记数法表示绝对值大于1的数............................................................................ 6 题型8 有理数的乘方运算............................................................................ 6 题型9 有理数的乘方应用.......................................................................... 6 题型10 有理数的四则混合运算............................................................................ 6 题型11 程序流程图与有理数计算........................................................................... 7 题型12 有理数运算与卡片问题............................................................................ 8 题型13 求近似数的精确度............................................................................ 8 题型14 求一个数的近似数............................................................................ 8 【优选提升题】 9 题型1 有理数的乘法与定义问题............................................................................ 9 题型2 有理数的四则混合运算的实际应用............................................................................ 11 【经典基础题】 题型1 有理数的加法. 1．(　　) A． B． C． D． 2．在古代数学名著里，记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1表示计算的过程，按照这种方法，图2的计算过程表示的算式为（   ） A． B． C． D． 3．古代数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，根据刘徽的这种表示法，图①表示算式，则图②表示算式（    ）      A． B． C． D． 题型2 有理数加法在生活中的应用 1．一辆玩具赛车在一条水平直线上先向东行驶，再向西行驶，规定向东行驶为正，向西行驶为负，下列算式能表示赛车相对于起点位置的是（  ） A． B． C． D． 2．某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，向北或向南行驶了八段行程，傍晚最终到达B地，当天汽车的行驶记录（单位：km）如下（约定向北为正方向）： ，，，，，，，． (1)B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1km平均耗油a升，那么这天汽车共耗油多少升？ 题型3 省略加法和括号的形式. 1．算式写成省略加号的和式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．把算式写成省略加号的和的形式为（　　） A． B． C． D． 题型4 有理数的加减运算 1．数轴上与的距离等于2的数是（    ） A． B． C．或 D．5或1 2．点A，O，B是数轴上的三个点，其中O是原点，点A表示的数为，且． 则点B所表示的数为 ． 3．已知，且，则中最大的数是（    ） A． B． C． D．不确定 4．某市一天早晨的气温是中午比早晨上升了傍晚又比中午下降，则这天傍晚的气温是 ． 题型5 有理数的加减混合实际应用 1．自2014年至2024年（除2020年外），《熊出没》系列电影每年均安排在春节档，至今已上映了十部．下表将这十部《熊出没》的电影票房与当年动画票房冠军的票房作比较： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2021 2022 2023 2024 《熊出没》的票房 2.5 2.9 5.2 6.1 7.2 6.0 10.0 15.0 20.1 动画票房冠军的票房 2.5 10.0 15.3 6.1 50.4 6.0 10.0 15.0 20.1 票房差 0 0 0 0 0 注：票房单位均为“亿元”，票房差指《熊出没》的电影票房与当年动画票房冠军的票房之差． (1)上表中__________，__________，__________； (2)《熊出没》系列电影最高票房出现在哪一年？并指出《熊出没》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份； (3)据统计这十部《熊出没》电影总票房为78.4亿元，求这十年动画票房冠军的总票房． 题型6 有理数的乘法运算 1．计算： ． 2．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： (1)． (2)． 3．分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（   ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 4．从，，，7，5，a（，且a为整数）这6个数中取其中3个不同的数作为因数，则它们积的最小值为（   ） A． B． C．168 D．无法确定 5．老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子，进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下： 其中步骤错误的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．某商家向农户订购了20箱苹果，以每箱25千克为标准质量装箱，超过的千克数用正数表示，不足的千克数用负数表示，结果记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 1.2 2 箱数 1 2 4 5 3 4 1 (1)在这20箱苹果中最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准质量比较，20箱苹果总计超过或不足多少千克？ 7．为了学生的卫生安全，学校准备给每班学生每人配一只水杯，每只水杯原价3元，几个超市搞促销： 苏果超市 天正超市 华联超市 一律八折 买八送一 每满50元送10元，不满不送 四（2）班想买40只水杯，到哪家超市购买较合算，请写出你的理由． 8．甲乙二人分别从、两地同时出发，相向而行．出发时他们的速度比是，他们第一次相遇后，甲的速度提高了，乙的速度提高了，这样，当甲到达地时，乙离地还有14千米，那么、两地间的距离是多少千米？ 9．规定关于任意正整数x，y的一种新运算：． 例如：若，则． 请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，化简：．（用含a的代数式表示） 题型7 用科学记数法表示绝对值大于1的数 1．2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 2．截至2024年12月6日，全国家电以旧换新数据平台显示，八大类家电产品带动销售约2020亿元．数“2020亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 题型8 有理数的乘方运算 1．已知实数x，y满足，则代数式的值为 ． 题型9 有理数的乘方应用. 2．1米长的小棒，第一次截去，第二次截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（      ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型10 有理数的四则混合运算 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)． 5．计算： (1) ； (2) ； 6．计算： (1) (2) (3) (4) 题型11 程序流程图与有理数计算 1．按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A．0 B．7 C．14 D．49 2．如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C． D． 3．如图是小南设计的的一个运算程序，当她输入1时，输出的结果是 ． 题型12 有理数运算与卡片问题 1．以下有5张数字卡片，请你按要求取出卡片，解决下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 ． (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方混合运算，使运算结果为24（每个数字只能用一次），请写出两种符合要求的运算式子： ① ．         ② ． 题型13 求近似数的精确度 2．2024年浙江省中考考生约54.9万人，该近似数“54.9万”精确到了（   ） A．十分位 B．十位 C．千位 D．万位 3．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家、科学家，他首次将圆周率π精算到小数第七位，即．π取近似值3.1416是精确到（    ） A．百分位 B．千分位 C．万分位 D．十万分位 题型14 求一个数的近似数 1．用四舍五入法将数18.49精确到个位，其近似值为 ． 2．用四舍五入法，把精确到百分位，取得的近似值是 ． 3．用计算器计算得到，则用四舍五入法取近似数为 （精确到）． 【优选提升题】 题型1 有理数的乘法与定义问题 1．在体育课中，我们经常根据“立正，向右转，向左转、向后转”这些口令进行相应的运动，这些运动是可以连续进行的，现规定：把连续执行2个口令的结果，叫作这2个口令相加所得到的和，并用“”表示相加．例如：向右转向左转立正，向左转向左转向后转，等等．分别用数字符号0，1，，2表示立正，向右转，向左转，向后转，可以建立如下的体育口令加法运算表． 0（立正） 1（向右转） （向左转） 2（向后转） 0（立正） 0 1 2 1（向右转） 1 2 0 n （向左转） 0 2 1 2（向后转） 2 x y m 请完成下面问题： (1)上述表格中， ， ， ． (2)若用字母a表示任何一种体育口令，则 ． (3)判断这种体育口令的加法运算是否满足交换律和结合律？请举例验证（各举一个例子即可）． 2．钟表中蕴含着有趣的数学运算． 例如，现在是 10 时，问 4 小时以后是几时？ 虽然 ，但在表盘上看到的是 2 时． 如果用符号“ ”表示钟表上的加法，则 ． 若问 3 时之前 5 小时是几时，就得到钟表上的减法概念，若用符号“ ”表示钟表上的减法，则 ． （注：此处用 0 时代替 12 时）． 根据上述材料解决下列问题： (1) _____， _____． (2)在有理数运算中，相加得 0 的两个数互为相反数． 如果在钟表运算中沿用这个概念，那么 5 的相反数是多少？ (3)规定在钟表运算中也有 ，对于钟表上的任意数字 ， ， ，若 ，判断 是否一定成立，若一定成立，说明理由； 若不一定成立，写出一组反例加以说明． 3．一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 题型2 有理数的四则混合运算的实际应用 1．某数学兴趣小组利用假期对某奶茶店元旦期间网上下单和门店下单两种促销方式进行研究．根据以下素材，探索完成任务． 如何制定奶茶订购方案？ 素材1 某款奶茶每杯原价15元． 素材2 门店下单优惠方案：每购买9杯奶茶，免费赠送1杯奶茶．配送方式：自取． 素材3 网上下单优惠方案：奶茶店对于网上首次下单的用户立即送4张优惠券，且当次可用（每单最多只能用一张优惠券，余下的优惠券下一单满足条件仍可继续使用，网上优惠券门店下单不可用）． 4张优惠券分别为：无门槛优惠券1张，面额2元．双人优惠券2张，满25元可用，面额3元，大额优惠券1张，满450元可用，面额60元．配送方式：自取． 问题解决 任务1 若通过门店下单方式购买34杯奶茶，则需花费多少元？ 若在网上下1个订单订购这34杯奶茶至少花费多少元？ 任务2 若可以通过多订单组合订购这34杯奶茶，求出最省钱的订购方案并计算此订购方案的总费用．（多订单组合是指可多次下单） 2．在某次研学活动中，小慧负责订购全班48位同学的营养午餐，每份营养午餐的单价为20元，现有如下两种订购方式： 订购方式 优惠活动 配送费 方式一： 电话订购 每购买10份，免费赠送1份 免费 方式二： 外卖APP下单 1．9.2折优惠 2．红包立减折扣，一个订单只允许使用一个红包． 注：优惠可叠加使用 订单总价满20元起送，每单配送费2元 (1)若小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，则需花费多少元？ (2)若小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费多少元？ (3)小聪同学说，在同样条件下他能以更低的价格买到，你认为可能吗？如果可能，请制定购买方案，并算出费用（写出一个即可）；若不可能，请说明理由． 3．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米? (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱? / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的运算重难点题型汇编 （14大基础题+2大提升题） 【题型导航】 【经典基础题】 题型1 有理数的加法............................................................................ 1 题型2 有理数加法在生活中的应用............................................................................ 2 题型3 省略加法和括号的形式............................................................................ 4 题型4 有理数的加减运算............................................................................ 4 题型5 有理数的加减混合实际应用............................................................................ 6 题型6 有理数的乘法运算............................................................................ 7 题型7 用科学记数法表示绝对值大于1的数............................................................................ 1 题型8 有理数的乘方运算............................................................................ 12 题型9 有理数的乘方应用.......................................................................... 12 题型10 有理数的四则混合运算............................................................................ 13 题型11 程序流程图与有理数计算........................................................................... 15 题型12 有理数运算与卡片问题............................................................................ 17 题型13 求近似数的精确度............................................................................ 18 题型14 求一个数的近似数............................................................................ 18 【优选提升题】 19 题型1 有理数的乘法与定义问题............................................................................ 19 题型2 有理数的四则混合运算的实际应用............................................................................ 23 【经典基础题】 题型1 有理数的加法. 1．(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键．根据有理数的加法法则直接计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．在古代数学名著里，记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1表示计算的过程，按照这种方法，图2的计算过程表示的算式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，由图1可以看出白色表示正数，黑色表示负数是解题的关键．先由图1可得白色表示正数，黑色表示负数，然后观察图2列式即可． 【详解】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数， ∴图2表示的过程是在计算． 故选：A． 3．古代数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，根据刘徽的这种表示法，图①表示算式，则图②表示算式（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加法，解题的关键是理解“正负术”的定义是解题的关键． 【详解】解：由“正负术”的定义可得：， 故选：D． 题型2 有理数加法在生活中的应用 1．一辆玩具赛车在一条水平直线上先向东行驶，再向西行驶，规定向东行驶为正，向西行驶为负，下列算式能表示赛车相对于起点位置的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数加法的应用，能准确理解正负数的意义是解题关键．根据正负数是表示一对意义相反的量、有理数的加法求解即可得． 【详解】解：由题意得：赛车相对于起点位置的是， 故选：B． 2．某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，向北或向南行驶了八段行程，傍晚最终到达B地，当天汽车的行驶记录（单位：km）如下（约定向北为正方向）： ，，，，，，，． (1)B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1km平均耗油a升，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)南，5千米 (2)升 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数的运算，绝对值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）首先根据正、负数运算的方法，把当天的行驶记录相加；然后根据正、负数的意义，判断出地在地的哪个方向，它们相距多少千米即可． （2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，然后根据乘法的意义，用汽车汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出该天共耗油多少升即可． 【详解】（1）解： ， ， 地在地正南方向，它们相距； （2） ， 汽车行驶平均耗油升， 汽车行驶平均耗油升， 即这天汽车共耗油升． 题型3 省略加法和括号的形式. 1．算式写成省略加号的和式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了省略加法和括号的形式，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 利用去括号法则省略括号后即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 2．把算式写成省略加号的和的形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用有理数的加减法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 题型4 有理数的加减运算 1．数轴上与的距离等于2的数是（    ） A． B． C．或 D．5或1 【答案】C 【分析】此题考查了数轴上两点间的距离和有理数的加法与减法，根据题意列式计算即可． 【详解】解：根据题意可得， 或， 即数轴上与的距离等于2的数是或， 故选：C 2．点A，O，B是数轴上的三个点，其中O是原点，点A表示的数为，且． 则点B所表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的加减计算，先求出的长，进而求出的长，再根据数轴上两点距离计算公式即可得到答案． 【详解】解：∵O是原点，点A表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴点B表示的数为或， 故答案为：或． 3．已知，且，则中最大的数是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算．根据有理数的加减运算法则可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴最大的数是． 故选：C 4．某市一天早晨的气温是中午比早晨上升了傍晚又比中午下降，则这天傍晚的气温是 ． 【答案】 【详解】本题主要考查了有理数的加减混合运算，先根据题意，列出算式，再把算式写成省略加号和的形式，进行简便计算即可，解题的关键是理解题意，列出算式． 【解答】解：由题意得：， ， ， ， ∴这天傍晚的气温是， 故答案为：． 题型5 有理数的加减混合实际应用 1．自2014年至2024年（除2020年外），《熊出没》系列电影每年均安排在春节档，至今已上映了十部．下表将这十部《熊出没》的电影票房与当年动画票房冠军的票房作比较： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2021 2022 2023 2024 《熊出没》的票房 2.5 2.9 5.2 6.1 7.2 6.0 10.0 15.0 20.1 动画票房冠军的票房 2.5 10.0 15.3 6.1 50.4 6.0 10.0 15.0 20.1 票房差 0 0 0 0 0 注：票房单位均为“亿元”，票房差指《熊出没》的电影票房与当年动画票房冠军的票房之差． (1)上表中__________，__________，__________； (2)《熊出没》系列电影最高票房出现在哪一年？并指出《熊出没》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份； (3)据统计这十部《熊出没》电影总票房为78.4亿元，求这十年动画票房冠军的总票房． 【答案】(1)；；0 (2)熊出没》系列电影最高票房出现在2024年，《熊出没》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份有2014年，2018年，2021年，2022年，2023年，2024年 (3)亿元 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数减法的实际应用： （1）根据票房差等于对应年份《熊出没》的票房减去对应年份动画票房冠军的票房列式计算即可； （2）根据表格可得2024年为熊出没》系列电影最高票房的年份，票房差为0的年份即为《熊出没》系列电影夺得当年动画票房冠军的年份； （3）用这十部《熊出没》电影总票房加上所有票房差的绝对值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴； （2）解：由表格中的数据可知，《熊出没》系列电影最高票房出现在2024年，《熊出没》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份有2014年，2018年，2021年，2022年，2023年，2024年； （3）解：亿元， ∴这十年动画票房冠军的总票房为亿元 ． 题型6 有理数的乘法运算 1．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数乘法的计算能力，关键是能准确理解并运用有理数乘法法则进行正确地计算． 运用有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2025 【分析】本题考查有理数的乘法运算律： （1）仿照第一位同学的解法解答； （2）仿照第二位同学的解法解答． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 3．分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（   ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 根据乘法分配律逐个判定即可 【详解】解：①，故①适合运用分配律来简化计算； ②不适合运用分配律来简化计算； ③，故③适合运用分配律来简化计算； ④，故④适合运用分配律来简化计算； 故选：D． 4．从，，，7，5，a（，且a为整数）这6个数中取其中3个不同的数作为因数，则它们积的最小值为（   ） A． B． C．168 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．根据有理数的乘法解决此题． 【详解】解：∵要使它们积的最小， ∴要取奇数个负数，且绝对值尽可能的大， ∴取，7，5， ∴积的最小值为． 故选A． 5．老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子，进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下： 其中步骤错误的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则进行判断即可． 【详解】解： ∴出错的是乙． 故选：B． 6．某商家向农户订购了20箱苹果，以每箱25千克为标准质量装箱，超过的千克数用正数表示，不足的千克数用负数表示，结果记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 1.2 2 箱数 1 2 4 5 3 4 1 (1)在这20箱苹果中最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准质量比较，20箱苹果总计超过或不足多少千克？ 【答案】(1)4.1千克 (2)不足2.3千克 【分析】本题主要考查正负数，有理数的加减乘混合运算，读懂题意是解题的关键． （1）分别找出与标准质量的差值最大的数和最小的数，作差即可； （2）求出20箱苹果与标准质量的差值的总和，即可得出答案． 【详解】（1）解：（千克）， 答：在这20箱苹果中最重的一箱比最轻的一箱重4.1千克． （2）解： （千克）， 答：与标准质量比较，20箱苹果总计不足2.3千克． 7．为了学生的卫生安全，学校准备给每班学生每人配一只水杯，每只水杯原价3元，几个超市搞促销： 苏果超市 天正超市 华联超市 一律八折 买八送一 每满50元送10元，不满不送 四（2）班想买40只水杯，到哪家超市购买较合算，请写出你的理由． 【答案】到苏果超市购买最合算，理由见解析 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，求出每个超市的费用，然后比较即可． 【详解】解：到苏果超市购买最合算．理由如下： 苏果超市：（元）； 天正超市：买（个），送4个，共40个， 则（元）； 华联超市：（元）， （元）， （元）， 答：到苏果超市购买最合算． 8．甲乙二人分别从、两地同时出发，相向而行．出发时他们的速度比是，他们第一次相遇后，甲的速度提高了，乙的速度提高了，这样，当甲到达地时，乙离地还有14千米，那么、两地间的距离是多少千米？ 【答案】甲到达地时，乙离地还有14千米，那么、两地间的距离是千米． 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意，列出算式，再根据有理数的运算法则计算即可求解，根据题意，正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：相遇时，甲行了全程的，乙行了全程的， 提速后，甲速乙速， 则两地相距为：千米， 答：甲到达地时，乙离地还有14千米，那么、两地间的距离是千米． 9．规定关于任意正整数x，y的一种新运算：． 例如：若，则． 请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，化简：．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)4，8 (2) (3) 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，根据新运算的定义进行有关计算是解题的关键． （1）分别根据新运算的定义计算即可． （2）分别根据新运算的定义计算即可． （3）分别根据新运算的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解： ． 题型7 用科学记数法表示绝对值大于1的数 1．2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【详解】解：． 故选：C． 2．截至2024年12月6日，全国家电以旧换新数据平台显示，八大类家电产品带动销售约2020亿元．数“2020亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 【详解】解：解：∵亿， 故选：A． 题型8 有理数的乘方运算 1．已知实数x，y满足，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 题型9 有理数的乘方应用. 2．1米长的小棒，第一次截去，第二次截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（      ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据题意可以得到第五次后剩下的小棒的长度，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 第五次后剩下的小棒的长度是： 故选A． 【点睛】本题考查有理数的乘方，解答本题的关键是明确题意，求出第五次后剩下的小棒的长度． 题型10 有理数的四则混合运算 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 对于（1），先算有理数的乘法，再算有理数的加减即可； 对于（2），先算括号里的，同时计算乘方和开方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算．解题的关键是熟练掌握运算顺序和法则． （1）化简符号后相加减，即得； （2）先变除为乘，计算乘方，再计算乘法，最后计算减法，即得． 【详解】（1）解：； （2）解：． 5．计算： (1) ； (2) ； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算； （2）先计算乘方，再利用分配律计算乘法以上，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)1 (4) 【分析】题目主要考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据乘法运算律计算即可； （3）先计算有理数的乘方运算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可； （4）先计算有理数的乘方运算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型11 程序流程图与有理数计算 1．按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A．0 B．7 C．14 D．49 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据流程图的意思列出算式． 【详解】解：输入的的值是， 则，返回继续运算， ，输出结果， 故选：D． 2．如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型—数字的变化类，找出变化规律是解题的关键．计算出第次，第次的输出结果，发现输出结果以、、为一个循环组依次循环，然后计算即可． 【详解】解：∵第次输出的结果为， 第次输出的结果为， ∴第次输出的结果为， 第次输出的结果为， ∴输出结果以、、为一个循环组依次循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为1， 故选：A． 3．如图是小南设计的的一个运算程序，当她输入1时，输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，根据题意列式计算，直至结果小于0即可． 【详解】解：输入1时，，输出结果， 故答案为：． 题型12 有理数运算与卡片问题 1．以下有5张数字卡片，请你按要求取出卡片，解决下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 ． (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方混合运算，使运算结果为24（每个数字只能用一次），请写出两种符合要求的运算式子： ① ．         ② ． 【答案】(1)8 (2) (3)； 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出算式，找出积最大值即可； （2）根据题意列出算式，找出商最小值即可； （3）利用“24点”游戏规则列出算式即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ． 故答案为：8； （2）解：由题意，得 ． 故答案为：； （3）解：由题意，得 ；． 故答案为：；． 题型13 求近似数的精确度 2．2024年浙江省中考考生约54.9万人，该近似数“54.9万”精确到了（   ） A．十分位 B．十位 C．千位 D．万位 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度，解题的关键是理解近似数精确到哪一位的判断方法． 先将54.9万还原为原数，再看近似数中最后一位数字所在的数位，即可确定其精确到的位数． 【详解】54.9万， 在近似数54.9万中，数字9在千位上，所以近似数“54.9万”精确到千位， 故选：C． 3．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家、科学家，他首次将圆周率π精算到小数第七位，即．π取近似值3.1416是精确到（    ） A．百分位 B．千分位 C．万分位 D．十万分位 【答案】C 【分析】根据小数部分的位数求解即可． 【详解】解：∵3.1416的小数部分是四位， ∴精确到万分位， 故选：C． 题型14 求一个数的近似数 1．用四舍五入法将数18.49精确到个位，其近似值为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了近似数．对十分位的4四舍五入法求解即可． 【详解】解：用四舍五入法将数18.49精确到个位，其近似值为18． 故答案为：18． 2．用四舍五入法，把精确到百分位，取得的近似值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到百分位即对千分位上的数字4进行四舍五入，据此可得答案． 【详解】解：用四舍五入法，把精确到百分位，取得近似值为， 故答案为：． 3．用计算器计算得到，则用四舍五入法取近似数为 （精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了求近似数，熟练掌握四舍五入法，是解题的关键． 根据近似数的求法，把应该精确到的数位后面的一位“四舍五入”即可解答． 【详解】解：（精确到）， 故答案为：． 【优选提升题】 题型1 有理数的乘法与定义问题 1．在体育课中，我们经常根据“立正，向右转，向左转、向后转”这些口令进行相应的运动，这些运动是可以连续进行的，现规定：把连续执行2个口令的结果，叫作这2个口令相加所得到的和，并用“”表示相加．例如：向右转向左转立正，向左转向左转向后转，等等．分别用数字符号0，1，，2表示立正，向右转，向左转，向后转，可以建立如下的体育口令加法运算表． 0（立正） 1（向右转） （向左转） 2（向后转） 0（立正） 0 1 2 1（向右转） 1 2 0 n （向左转） 0 2 1 2（向后转） 2 x y m 请完成下面问题： (1)上述表格中， ， ， ． (2)若用字母a表示任何一种体育口令，则 ． (3)判断这种体育口令的加法运算是否满足交换律和结合律？请举例验证（各举一个例子即可）． 【答案】(1)；1；0 (2) (3)都符合，举例见解析 【分析】本题主要考查了新定义： （1）根据新定义分别求出向后转向右转，向后转向左转，向后转向后转的结果即可得到答案； （2）根据任意口令立正该任意口令即可得到答案； （3）只需要证明向右转向左转立正，向左转向右转立正，向右转向左转+向后转向右转（向左转+向后转）即可． 【详解】（1）解：∵向后转向右转向左转， ∴； ∵向后转向左转向右转， ∴ ∵向后转向后转立正， ∴； （2）解：∵任意口令立正该任意口令， ∴； （3）解：由表可知向右转向左转立正，向左转向右转立正， ∴符合加法的交换律； ∵向右转向左转立正，立正向后转向后转， ∴向右转向左转+向后转向右转， ∵向右转（向左转+向后转）向右转向右转向后转， ∴向右转向左转+向后转向右转（向左转+向后转）， ∴符合加法交换律． 2．钟表中蕴含着有趣的数学运算． 例如，现在是 10 时，问 4 小时以后是几时？ 虽然 ，但在表盘上看到的是 2 时． 如果用符号“ ”表示钟表上的加法，则 ． 若问 3 时之前 5 小时是几时，就得到钟表上的减法概念，若用符号“ ”表示钟表上的减法，则 ． （注：此处用 0 时代替 12 时）． 根据上述材料解决下列问题： (1) _____， _____． (2)在有理数运算中，相加得 0 的两个数互为相反数． 如果在钟表运算中沿用这个概念，那么 5 的相反数是多少？ (3)规定在钟表运算中也有 ，对于钟表上的任意数字 ， ， ，若 ，判断 是否一定成立，若一定成立，说明理由； 若不一定成立，写出一组反例加以说明． 【答案】(1)3；9 (2)5 的相反数是 7 (3)不一定成立， 理由见解析 【分析】此题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意找到运算法则进行求解． （1）根据钟表的定义及钟表上的加减法定义即可求解； （2）根据钟表运算中相反数的定义即可求解； （3）根据钟表运算的定义举出反例即可验证． 【详解】（1）解：表示9点钟再过去6小时，故为小时，即为3时； 表示4点钟之前7小时，故为小时，即为9时； （2）解：在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，在钟表中，用0时代替12时， ∴在钟表中，相加为12的两个数互为相反数， ∴在钟表中，5的相反数是． （3）解：不一定成立，理由如下， 当，，时，，，则， ∴当时，不一定成立． 3．一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①0或1；②6 (3)0，， 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解新定义的含义，并能灵活应用； （1）根据题干中给出的定义进行计算即可； （2）①根据题意可分两种情况：一是为整数时，，，故，二是不是整数时，等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去，故； ②可知不是整数，再由①可知，从而有，列出算式进行计算即可； （3）由时，可知，与的小数部分相同，即的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值，即可解答． 【详解】（1）， ； （2）①， 当为整数时，， ， ， 当不是整数时，由题意得 等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去， ∴ 故答案是：或； ②， ， ； （3）时，， 与的小数部分相同， 的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值， 即的小数部分为或或， 或或． 题型2 有理数的四则混合运算的实际应用 1．某数学兴趣小组利用假期对某奶茶店元旦期间网上下单和门店下单两种促销方式进行研究．根据以下素材，探索完成任务． 如何制定奶茶订购方案？ 素材1 某款奶茶每杯原价15元． 素材2 门店下单优惠方案：每购买9杯奶茶，免费赠送1杯奶茶．配送方式：自取． 素材3 网上下单优惠方案：奶茶店对于网上首次下单的用户立即送4张优惠券，且当次可用（每单最多只能用一张优惠券，余下的优惠券下一单满足条件仍可继续使用，网上优惠券门店下单不可用）． 4张优惠券分别为：无门槛优惠券1张，面额2元．双人优惠券2张，满25元可用，面额3元，大额优惠券1张，满450元可用，面额60元．配送方式：自取． 问题解决 任务1 若通过门店下单方式购买34杯奶茶，则需花费多少元？ 若在网上下1个订单订购这34杯奶茶至少花费多少元？ 任务2 若可以通过多订单组合订购这34杯奶茶，求出最省钱的订购方案并计算此订购方案的总费用．（多订单组合是指可多次下单） 【答案】任务一：门店下单花费465元  网上下单花费450元； 任务二：第一个订单：线上订购30杯费用为390元， 第二个订单：线上订购2杯费用为27元， 第三个订单：线上订购2杯费用为27元， 总费用：444元． 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 任务一：根据线上和线下两种优惠方案，列出算式进行计算即可； 任务二：在线上下单三次，用掉3张优惠券，最优惠，列式计算即可． 【详解】解：任务一：线下需花费：元； ∵元， ∴线上可用一张60元的优惠券， ∴线上需花费：元； 任务二：先在线上够买30杯，用一张60元的优惠券，需花费元， 再在线上购买2杯，用一张3元的优惠券，需花费：， 然后再在上购买2杯，用一张3元的优惠券，需花费：， 共需花费：元． 2．在某次研学活动中，小慧负责订购全班48位同学的营养午餐，每份营养午餐的单价为20元，现有如下两种订购方式： 订购方式 优惠活动 配送费 方式一： 电话订购 每购买10份，免费赠送1份 免费 方式二： 外卖APP下单 1．9.2折优惠 2．红包立减折扣，一个订单只允许使用一个红包． 注：优惠可叠加使用 订单总价满20元起送，每单配送费2元 (1)若小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，则需花费多少元？ (2)若小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费多少元？ (3)小聪同学说，在同样条件下他能以更低的价格买到，你认为可能吗？如果可能，请制定购买方案，并算出费用（写出一个即可）；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)元； (2)元； (3)可能，方案见解析，费用为元 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，理解题意并正确列式计算是关键． （1）按照电话订购的方式计算即可； （2）按照外卖APP购买方式付款即可； （3）制定方案，计算费用即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，需花费元； （2）（元）， 答：小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费元； （3）可能， 方案：通过外卖APP购买两单，一个三份，一个一份，再通过电话订购40份，需要花费 （元）， 3．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米? (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱? 【答案】(1) (2)这七天一共行驶了千米 (3)这天的行驶费用比原来节省了大约元 【分析】本题主要考查了正负数，有理数混合运算的实际运用，理解正负数的实际意义，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”，从表格中确定最多一天的路程，最少一天的路程，运用有理数的减法运算即可求解； （2）用7天的平均量之和与7天的超出或不足的量求和即可； （3）计算出7天的总路程，分别算出汽油的费用，电费进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息可得，最多的一天为多于标准，最少的一天为少于标准， ∴， 故答案为：； （2）解：， ∴这七天一共行驶了千米； （3）解：由（2）可知这七天一共行驶了千米， ∴油费为（元）， 电费为（元）， ∵（元）， ∴这天的行驶费用比原来节省了大约元． / 学科网（北京）股份有限公司 $