4.2.2指数函数的图像和性质同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习围绕指数函数图像和性质，通过基础巩固、中档应用、提升综合三层设计，实现从单一概念到综合问题的递进，适配新授课知识内化与数学思维培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|定义域、值域、定点等单一概念|直接考查定义，如求指数函数定义域、判断定点坐标，夯实概念理解| |中档应用|单调性、图像识别、比较大小等性质综合|结合图像与性质，如判断复合函数单调区间、根据图像求参数范围，培养推理能力| |提升综合|参数分类讨论、图像对称证明等问题解决|需完整推理过程，如含参数指数函数最值求解、证明图像对称性，发展数学语言表达能力|

4.2.2 指数函数的图像和性质 同步练习 （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知函数的最小值为1，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-1 2．若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 4．已知函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 6．已知，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 8．函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 9．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．若函数（，且）在上的最大值与最小值的差为，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 11．已知指数函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若函数为奇函数，则________. 13．函数的值域为_____________. 14．函数的图像一定过________象限． 15．如果且，那么函数的图像在第________象限． 16．已知，则两个数的大小关系是__________. 17．函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 18．已知指数函数在区间上的最大值比最小值大，则实数的值为________． 四、解答题 19．已知函数，若的最大值为2，求的值． 20．已知函数（且）在区间上的最大值比最小值大，求的值． 21．指数函数是一种重要的基本初等函数模型. (1)指数函数在区间上的最大值比最小值大，求实数a的值； (2)说明与的图像关于y轴对称. 22．已知函数（，且）． (1)若函数的图象过和两点，求的解析式； (2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《4.2.2� 指数函数的图像和性质� �同步练习 （附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C C D C D A D AB 题号 11 答案 BD 1．A 【知识点】根据指数函数的最值求参数 【分析】先利用二次函数的最小值为 0，得到指数的最小值为，再根据指数函数的单调性，由 解出. 【详解】是增函数，所以的最小值由指数的最小值确定， 因为，所以的最小值为（当时取得）， 因此函数的最小值为，又已知的最小值为1， 所以，解得． 故选：A. 2．A 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【详解】令可得，当时，由题意可得，解得. 3．C 【知识点】求指数（型)函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式. 【详解】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C 4．C 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据分段函数的值域求解：由分段函数两段的值域的并集是R求解． 【详解】时，， 时，， 的值域是R，则，解得， 故选：C． 5．D 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】明确复合函数的构成，根据同增异减确定单调区间. 【详解】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 6．C 【知识点】比较指数幂的大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】举反例说明A、B、D，由指数函数的单调性判断C. 【详解】若，则，，A、B错， 由在定义域上单调递增，且，则，C对， 若，则，D错. 故选：C 7．D 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】根据图象平移结合题中函数图象分析判断即可. 【详解】因为函数的图象是由指数函数向下平移而得到， 由图可知，解得． 故选：D. 8．A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、函数图象的应用、指数函数图像应用 【分析】根据函数的定义域，零点，奇偶性和函数值的符号，即可判断. 【详解】因为恒成立，所以恒成立，所以函数的定义域为R.所以可排除C. 令，则，所以或. 由，得，解得. 所以函数有唯一零点.所以可排除D. 因为， 所以，. 所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除B. 故选：A. 9．D 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【分析】分和讨论，再结合指数函数单调性即可判断. 【详解】当时，，此时函数在上单调递增，故AB错误， 当时，，此时函数在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：D. 10．AB 【知识点】根据指数函数的最值求参数 【分析】分和两种情况，结合函数单调性得到最值，从而得到方程，求出答案. 【详解】当时，在上的最大值为，最小值为， 故有，解得或（舍去）. 当时，在上的最大值为，最小值为， 故有，解得或（舍去）. 综上，或. 故选：AB 11．BD 【知识点】根据指数函数的最值求参数 【分析】分和两种情况，根据题意列方程求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增， 则， 所以，解得； 当时，函数在上单调递减， 则， 所以，解得． 综上所述，实数a的值为或. 故选：BD. 12．1 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求指数（型)函数的定义域、由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数的性质求参数，注意验证即可. 【详解】由解析式知，函数定义域为R，结合奇函数性质有，可得， 此时，则，满足题设. 所以. 故答案为：1 13． 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】利用指数函数单调性即可求得结果. 【详解】因为是增函数，， 所以的值域为. 故答案为： 14．第一象限和第二 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【分析】根据指数函数的图象与性质判断即可. 【详解】，在上单调递减， 根据指数函数的图象，知一定过第一象限和第二象限. 故答案为：第一象限和第二 15．一、三、四 【知识点】判断指数型函数的图象形状、指数函数图像应用 【分析】根据指数函数图像性质及函数的平移可得解. 【详解】如图所示， 由，可知经过一、二象限，且恒过点，函数值域为 当时，，当时，， 函数使由向下平移个单位，且， 所以图象过，而在y轴负半轴上，如图 即存在，使，且函数的值域为， 所以函数过第一、三、四象限， 故答案为：一、三、四. 16． 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性比较大小即得. 【详解】函数在R上单调递减，而，因此， 所以两个数的大小关系是. 故答案为： 17． 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【详解】令，可得， 由且，则， 故函数 （且）的图象经过的定点的坐标是. 18．/ 【知识点】根据指数函数的最值求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】结合指数函数单调性计算即可得. 【详解】由，故在上单调递增， 故有，解得或（舍去）. 故答案为：. 19． 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据指数函数的最值求参数 【分析】设，由有最大值2，结合复合函数的单调性，知有最小值，则可将问题转化为二次函数的最值问题，求解即可． 【详解】设，则． ∵为减函数，又有最大值为2，∴有最小值． 因此，解得． 的值为. 20．或 【知识点】根据指数函数的最值求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据指数函数的单调性分类列式计算即可. 【详解】当时，单调递增，当时，，当时，， 所以，即得， 当时，单调递减，当时，，当时，， 所以，即得， 所以或. 21．(1)或； (2) 根据题意，设，， 有，即， 则与的图像关于y轴对称. 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据指数函数的最值求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】（1）根据题意，按a的取值范围分2种情况讨论，求出函数在区间上的最大值和最小值，可得关于a的方程，解可得a的值，即可得答案； （2）设，，分析可得，即可得结论. 【详解】（1）根据题意，分2种情况讨论： 若0＜a＜1，则在区间上单调递减，最大值为a，最小值为， 有，解得或（舍）， 若a＞1，则在区间上单调递增，最大值为，最小值为a， 所以，解得或a＝0（舍）， 综合可得：或； （2）略 22．(1) (2)或 【知识点】求指数函数解析式、求已知指数型函数的最值、根据指数函数的最值求参数、指数函数最值与不等式的综合问题 【分析】（1）待定系数法求解函数解析式； （2）分与两种情况，结合函数单调性得到最值，列出方程，求出答案. 【详解】（1），，又， 解得，， 所以. （2）当时，在区间上单调递减， 此时，， 所以，解得：或0（舍去）； 当时，在区间上单调递增， 此时，，， 所以，解得：或0（舍去）. 综上：或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $