专题01 平方根与立方根（7题型突破·举一反三）（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 以7大题型为框架，融合解题口诀、步骤规范及规律总结，构建从概念辨析到实际应用的完整方法体系，强化抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|典例1+4变式|解题口诀（平方根正负、算术根非负等）|从定义出发，通过易错题强化概念理解| |非负数和为0|典例2+4变式|拆分式子→令每项为0→列方程组求解|结合非负性，培养方程思想与推理意识| |开方解方程|典例2+4变式|平方方程带±、立方方程唯一解|区分平方与立方运算特性，提升运算能力| |计算化简|典例4+4变式|平方根与立方根核心对比表|对比性质差异，构建知识网络| |综合求参数|典例2+4变式|定义公式+四步法（审题→列方程→检验→求解）|深化定义应用，发展逻辑推理| |规律探究|典例5+5变式|缩放规律（平方根n倍、立方根n³倍）+循环等式步骤|从特殊到一般，培养模型意识| |实际应用|典例4+4变式|面积/体积公式+边长/棱长计算|联系生活情境，强化应用意识|

专题01 平方根与立方根（7题型突破·举一反三） 题型01 概念辨析正误判断（选择高频） 题型02 非负数和为0（压轴填空） 题型03 开方解方程（计算必考） 题型04 平方根 & 立方根计算化简 题型05 平方根、立方根定义综合求参数 题型06 平方根、立方根规律探究 题型07 实际应用 ▌题型01 概念辨析正误判断（选择高频） 解题口诀：平方根有正负、算术根只有正、立方根不挑数、负数有根不开方 典型易错题判断 16的平方根是4（×，应为 ） （×， 只表示算术平方根，结果为 ） 负数没有平方根，但有立方根（√） 0的平方根和算术平方根都是0（√） 【典例1】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法正确的是（   ） A． B．0的平方根是0 C． D．的平方根是2 【变式1-1】（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．任何数都有平方根 B．是的立方根 C． D．算术平方根是非负数 【变式1-2】（25-26八年级上·上海崇明·期中）下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．9是的算术平方根 D． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D．． 【变式1-4】（25-26八年级上·上海·期中）下列说法：①如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是或；②平方根和立方根都等于它自身的数是和；③互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数；④一个数的算术平方根一定是正数；⑤没有平方根．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌题型02 非负数和为0（压轴填空） 1.拆分式子：根号、绝对值、平方项单独分开 2.令每一项分别=0，列方程组 3.求解字母，代入所求式子计算 【典例2-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，则的立方根是___________． 【典例2-2】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段检测）若，则_______________． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，则________． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）若有理数a与b满足，则的立方根为____________ 【变式2-3】（24-25八年级上·上海·阶段检测）已知的三边长分别为a、b、c，且满足求最大边c的取值范围__________． 【变式2-4】（25-26八年级上·上海·阶段检测）若，则______，______，______． ▌题型03 开方解方程（计算必考） 平方方程 1.移项、系数化为1，整理成完全平方形式 2.左右开平方，必须带 3.算出两个不相等的解 立方方程 1.移项、系数化为1 2.直接开立方，无需正负，只有唯一解 【典例2-1】（24-25八年级下·上海·阶段检测）方程的根是___________． 【典例2-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）解方程：． 【变式3-1】（24-25八年级下·上海·阶段检测）方程的解是________ 【变式3-2】（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）方程的解是_____． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程：． 【变式3-4】（25-26八年级上·上海闵行·期中）认真阅读下面的材料，再解答问题． 根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义． (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______； (3)求的值：． ▌题型04 平方根 & 立方根计算化简 平方根vs立方根 核心对比（避坑神器） 对比项目 平方根/算术平方根 立方根 被开方数范围 ，负数无平方根 全体实数 根的个数 正数2个、0为1个 恒有唯一根 符号规律 算术根恒非负 同正同负，0为0 关键公式 【典例4-1】（25-26八年级上·上海黄浦·期末）若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是______． 【典例4-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：． 【典例4-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）实数 在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ．    【典例4-4】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知和互为相反数，且的平方根是它本身，求的平方根． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）如果x，y满足，那么的立方根是______． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知3是的一个平方根，y是的立方根，求的平方根． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根． 【变式4-4】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知和是同一个正数的平方根，的立方根为，求的平方根？ ▌题型05 平方根、立方根定义综合求参数 三大定义公式（解题唯一依据） 若 是 的平方根 若 是 的算术平方根 若 是 的立方根 标准解题四步法 1.审题定位：判断题干是平方根/算术平方根/立方根定义 2.套入对应公式，列出方程 3.解方程求参数，算术平方根题型必须检验非负性 4.代入求解最终问题 【典例5-1】（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 【典例5-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知与互为相反数，其中x、y是实数，则________． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为____________________． 【变式5-2】（25-26八年级上·上海·期中）定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是________． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）已知和是一个数的两个不相等的平方根，实数的立方根是，求的值． 【变式5-4】（25-26八年级上·上海·阶段检测）设，且，且，求的值． ▌题型06 平方根、立方根规律探究 规律一：平方根缩放规律（必考） 核心结论：被开方数扩大/缩小 倍，算术平方根扩大/缩小 倍 公式：若 ，则 例题：已知，求 解： 规律二：立方根缩放规律 核心结论：被开方数扩大/缩小 倍，立方根扩大/缩小 倍 公式：若 ，则 例题：已知 ，则 规律三：循环等式规律探究（拔高压轴） 常见模型： 解题通用步骤 1.观察已知式子：不变量、变化量、序号n的对应关系 2.拆分被开方数，整理统一格式 3.归纳通用通项公式，代入验证 4.利用通项求解第n项、求值、判断正误 【典例6-1】（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）已知，，那么______． 【典例6-2】（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）已知，那么________． 【典例6-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为______． 【典例6-4】（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？以下是东东的探究过程： ， ， 的立方根是两位数， 的个位数是， 的立方根的个位数是， ， ， 的十位数是3， ． 已知也是一个整数的立方，那么_____． 【典例6-5】（25-26八年级上·上海·期中）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 【变式6-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么_______． 【变式6-2】（25-26八年级上·上海长宁·期中）若，，则b的值为________． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知；；； 根据上述式子猜想规律，并求出____________（n为正整数，结果用含有n的式子表示） 【变式6-4】（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_________． 【变式6-5】（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速又准确地计算出来的吗？ (1)【发现与思考】因为，，，所以是两位数．因为的个位数字是，所以的个位数字是______．因为，，所以的十位数字是______，所以=______． (2)【运用并解决】类比上述的【发现与思考】，推理求出的立方根． ▌题型07 实际应用 应用一：正方形/长方形面积与边长（平方根应用） 核心公式 正方形：（边长取算术平方根，正数） 面积扩大 倍，边长扩大 倍 标准解题步骤 1.根据题意求出图形面积 2.边长=面积的算术平方根 3.结合题干求周长、变化后边长等衍生问题 应用二：正方体体积与棱长（立方根应用） 核心公式 正方体： 体积扩大 倍，棱长扩大 倍 【典例7-1】（2025-2026上海市北蔡中学八年级上期中试卷）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 【典例7-2】（25-26八年级上·上海虹口·期中）有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为______． 【典例7-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知是正整数，且是整数，则的最小值为_____． 【典例7-4】（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是_____． 【变式7-1】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商_____（填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 【变式7-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形（正方形和正方形），已知：，，，则大正方形的边长为______． 【变式7-3】（2025-2026上海市松江区八年级上9月月考）某农户原计划利用现有的一面墙，再修三面墙，建造如图所示的长方体池塘，用来培育鱼苗，长方体池塘长、宽、高．后听从建筑师的建议改为建造等体积的正方体池塘，则待建的三面墙的总长度是多少（不考虑墙的厚度）？ 【变式7-4】（25-26八年级上·上海闵行·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平方根与立方根（7题型突破·举一反三） 题型01 概念辨析正误判断（选择高频） 题型02 非负数和为0（压轴填空） 题型03 开方解方程（计算必考） 题型04 平方根 & 立方根计算化简 题型05 平方根、立方根定义综合求参数 题型06 平方根、立方根规律探究 题型07 实际应用 ▌题型01 概念辨析正误判断（选择高频） 解题口诀：平方根有正负、算术根只有正、立方根不挑数、负数有根不开方 典型易错题判断 16的平方根是4（×，应为 ） （×， 只表示算术平方根，结果为 ） 负数没有平方根，但有立方根（√） 0的平方根和算术平方根都是0（√） 【典例1】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法正确的是（   ） A． B．0的平方根是0 C． D．的平方根是2 【答案】B 【详解】解：∵ 算术平方根表示非负值，平方根有正负两个值（时）或0（时）. 对于A：表示算术平方根，应为8，而非，所以此项错误； 对于B：0的平方根是0，正确，所以此项正确； 对于C：，而非，所以此项错误； 对于D：，4的平方根是，选项说“是2”不完整，所以此项错误. 故选：B. 【变式1-1】（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．任何数都有平方根 B．是的立方根 C． D．算术平方根是非负数 【答案】D 【详解】解：∵ 负数没有平方根， ∴ A错误； ∵，8的立方根是2， ∴ B错误； ∵，当时，， ∴ C错误； ∵ 算术平方根的定义是非负数（包括0）， ∴ D正确． 故选：D． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海崇明·期中）下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．9是的算术平方根 D． 【答案】B 【详解】解： A：，9 的平方根是 ，故 A 错误，不符合题意； B：16的平方根是，故 B 正确，符合题意； C：，9的算术平方根是 3，而非 9，故 C 错误，不符合题意； D：，而非 3，故 D 错误，不符合题意． 故选： B． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D．． 【答案】C 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，正确，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-4】（25-26八年级上·上海·期中）下列说法：①如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是或；②平方根和立方根都等于它自身的数是和；③互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数；④一个数的算术平方根一定是正数；⑤没有平方根．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】①立方根等于本身的数有、、，但说法限定为或，漏了，故①错误； ②平方根等于本身的数只有（因为平方根定义，的平方根为），立方根等于本身的数有、、，故②错误； ③设与互为相反数，即，则，故互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数，故③正确； ④算术平方根定义为非负数，的算术平方根为，不是正数，故④错误； ⑤因为，的平方根为，所以有平方根，故说法⑤错误． 仅③正确，正确的个数为个， 故选：A. ▌题型02 非负数和为0（压轴填空） 1.拆分式子：根号、绝对值、平方项单独分开 2.令每一项分别=0，列方程组 3.求解字母，代入所求式子计算 【典例2-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，则的立方根是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为： 【典例2-2】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段检测）若，则_______________． 【答案】1 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，则________． 【答案】 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ 且 ， 即 ，解得 ， ，解得 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）若有理数a与b满足，则的立方根为____________ 【答案】 【详解】解：由题意知，， ，， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级上·上海·阶段检测）已知的三边长分别为a、b、c，且满足求最大边c的取值范围__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∵的三边长分别为a、b、c，且为最大边， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-4】（25-26八年级上·上海·阶段检测）若，则______，______，______． 【答案】 2 0 1 【详解】解：， ∵， ∴， 解得：，，； 故答案为：2；0；1． ▌题型03 开方解方程（计算必考） 平方方程 1.移项、系数化为1，整理成完全平方形式 2.左右开平方，必须带 3.算出两个不相等的解 立方方程 1.移项、系数化为1 2.直接开立方，无需正负，只有唯一解 【典例2-1】（24-25八年级下·上海·阶段检测）方程的根是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【典例2-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）解方程：． 【答案】， 【详解】解：∵, ∴ ∴ ∴或， 解得，． 【变式3-1】（24-25八年级下·上海·阶段检测）方程的解是________ 【答案】 【详解】解：， 整理得， 开方得， 解得． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）方程的解是_____． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，解得：， 当时，解得：． 综上，，． 故答案为：， 【变式3-3】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程：． 【答案】或 【详解】解：， ， ， ， 解得或． 【变式3-4】（25-26八年级上·上海闵行·期中）认真阅读下面的材料，再解答问题． 根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义． (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______； (3)求的值：． 【详解】（1）解：∵，， ∴81的四次方根为， ∵， ∴的五次方根为， 故答案为：；； （2）解：若有意义，则， 故的取值范围是； 若有意义，则的取值范围是任意实数， 故答案为：；任意实数； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或． ▌题型04 平方根 & 立方根计算化简 平方根vs立方根 核心对比（避坑神器） 对比项目 平方根/算术平方根 立方根 被开方数范围 ，负数无平方根 全体实数 根的个数 正数2个、0为1个 恒有唯一根 符号规律 算术根恒非负 同正同负，0为0 关键公式 【典例4-1】（25-26八年级上·上海黄浦·期末）若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是______． 【答案】1 【详解】解：∵和是一个正数的两个不同的平方根， ∴， 解得：， 则，， ∴ 这个正数是：． 故答案为：1． 【典例4-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【典例4-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）实数 在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ．    【答案】 【详解】解：根据数轴可得，且， ∴， ∴． 【典例4-4】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知和互为相反数，且的平方根是它本身，求的平方根． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴ ， 解得， ∵的平方根是它本身， ∴， ∴， ∴ ， ∴的平方根为． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）如果x，y满足，那么的立方根是______． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为： 【变式4-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知3是的一个平方根，y是的立方根，求的平方根． 【答案】 【详解】解：∵3是的一个平方根， ∴， 解得，   是的立方根， ，   ∴， ∴的平方根为． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根． 【答案】 【详解】解：∵的立方根为3， ∴，解得， ∴， ∴的平方根为． 【变式4-4】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知和是同一个正数的平方根，的立方根为，求的平方根？ 【答案】或 【详解】解：∵和是同一个正数的平方根， ∴当和互为相反数时， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴的平方根为：； 当和相等时， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴的平方根为：； ∴的平方根为或． ▌题型05 平方根、立方根定义综合求参数 三大定义公式（解题唯一依据） 若 是 的平方根 若 是 的算术平方根 若 是 的立方根 标准解题四步法 1.审题定位：判断题干是平方根/算术平方根/立方根定义 2.套入对应公式，列出方程 3.解方程求参数，算术平方根题型必须检验非负性 4.代入求解最终问题 【典例5-1】（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 【答案】 【详解】解：由题意得：， ∵，且9的算术平方根是b， ∴， ∴， 故答案为． 【典例5-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知与互为相反数，其中x、y是实数，则________． 【答案】或 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， 解得，， 或， 故答案为：或 【变式5-1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为____________________． 【答案】 【详解】解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得； 综上所述，的值为． 故答案为：。 【变式5-2】（25-26八年级上·上海·期中）定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是________． 【答案】141 【详解】情况一：若， ∵， ∴． ∵， ∴，但时，矛盾，无解． 情况二：若 ∵， ∴，即，故． ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）已知和是一个数的两个不相等的平方根，实数的立方根是，求的值． 【答案】 【详解】解：∵和是某正数的两个不相等的平方根， ∴， 解得：， ∵实数的立方根是， ∴， ∴ ． 【变式5-4】（25-26八年级上·上海·阶段检测）设，且，且，求的值． 【答案】． 【详解】解：设，则可得， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ▌题型06 平方根、立方根规律探究 规律一：平方根缩放规律（必考） 核心结论：被开方数扩大/缩小 倍，算术平方根扩大/缩小 倍 公式：若 ，则 例题：已知，求 解： 规律二：立方根缩放规律 核心结论：被开方数扩大/缩小 倍，立方根扩大/缩小 倍 公式：若 ，则 例题：已知 ，则 规律三：循环等式规律探究（拔高压轴） 常见模型： 解题通用步骤 1.观察已知式子：不变量、变化量、序号n的对应关系 2.拆分被开方数，整理统一格式 3.归纳通用通项公式，代入验证 4.利用通项求解第n项、求值、判断正误 【典例6-1】（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）已知，，那么______． 【答案】 【详解】解：因为，且， 所以． 已知， 因此． 故答案为． 【典例6-2】（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）已知，那么________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： ． 【典例6-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为______． 【答案】 【详解】解：由题知， 第1排数的个数为：； 前2排数的总数为：； 前3排数的总数为：； …， 所以前n排数的总数为，且第n排有个数． 当时，，， 所以，数字是第46排，从左往右的89个数． 因为第第46排有个数，且从右到左依次减小， 则，， 所以． 故答案为：． 【典例6-4】（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？以下是东东的探究过程： ， ， 的立方根是两位数， 的个位数是， 的立方根的个位数是， ， ， 的十位数是3， ． 已知也是一个整数的立方，那么_____． 【答案】 【详解】解：由题意得：题中所给的数的立方根是两位数，根据题中所给的条件可知：的个位数是， 去掉后3位得到， ， ， 的十位数为：， ， 故答案为：． 【典例6-5】（25-26八年级上·上海·期中）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 【详解】（1）解：由表格可知， 故答案为∶ ； （2）解：由表格知， ∵ ， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：； （3）解∶ 对 两边同时平方可得 计算可得 ∴ n的取值范围是， 则满足条件的整数n的个数为个． 故答案为∶ ． 【变式6-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么_______． 【答案】 【详解】解：由，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-2】（25-26八年级上·上海长宁·期中）若，，则b的值为________． 【答案】1000000 【详解】解：， ． ， ． ． ． 故答案为：1000000． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知；；； 根据上述式子猜想规律，并求出____________（n为正整数，结果用含有n的式子表示） 【答案】 【详解】解：观察已知等式发现，连续奇数的和的平方根等于奇数的个数， 1个奇数的和：； 2个奇数的和：； 3个奇数的和：； 4个奇数的和： …… 归纳可得：， ∴ 故答案为：． 【变式6-4】（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_________． 【答案】 【详解】解：由题意得，点表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为2， ∴， 则表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴表示的数为3， ∴， 同理可得； ； ； ； ， 以此类推可得，当为奇数时， 当为偶数时； ∴； 故答案为：． 【变式6-5】（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速又准确地计算出来的吗？ (1)【发现与思考】因为，，，所以是两位数．因为的个位数字是，所以的个位数字是______．因为，，所以的十位数字是______，所以=______． (2)【运用并解决】类比上述的【发现与思考】，推理求出的立方根． 【详解】（1）解：因为的个位数字是，所以的个位数字是．因为，，所以的十位数字是，所以． 故答案为：；；． （2）解：，； 又； 是两位数； 的个位数字是； 的个位数字是． ，； 的十位数字是5． ． ▌题型07 实际应用 应用一：正方形/长方形面积与边长（平方根应用） 核心公式 正方形：（边长取算术平方根，正数） 面积扩大 倍，边长扩大 倍 标准解题步骤 1.根据题意求出图形面积 2.边长=面积的算术平方根 3.结合题干求周长、变化后边长等衍生问题 应用二：正方体体积与棱长（立方根应用） 核心公式 正方体： 体积扩大 倍，棱长扩大 倍 【典例7-1】（2025-2026上海市北蔡中学八年级上期中试卷）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：B． 【典例7-2】（25-26八年级上·上海虹口·期中）有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为______． 【答案】 【详解】解：由正方形的边长为，则其面积为， 设圆的半径为，则圆的面积为， 根据题意，， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【典例7-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知是正整数，且是整数，则的最小值为_____． 【答案】126 【详解】解：， ∵是整数， ∴正整数的最小值是 21 ，． 故答案为： 126． 【典例7-4】（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是_____． 【答案】 【详解】解：∵把两个面积为的小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长是， 故答案为：． 【变式7-1】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商_____（填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 【答案】不能 【详解】解：设地面宽为，则长为， 假设存在边长为s的正方形地砖能铺满地面，则长和宽a都必须是s的整数倍， 即存在正整数m、n，使得． 两式相除得， ∵是无理数，而是有理数，矛盾． ∴不存在这样的正方形地砖． 故答案为：不能． 【变式7-2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形（正方形和正方形），已知：，，，则大正方形的边长为______． 【答案】 【详解】解：设大正方形的边长为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴或（舍去）， ∴大正方形的边长为， 故答案为：． 【变式7-3】（2025-2026上海市松江区八年级上9月月考）某农户原计划利用现有的一面墙，再修三面墙，建造如图所示的长方体池塘，用来培育鱼苗，长方体池塘长、宽、高．后听从建筑师的建议改为建造等体积的正方体池塘，则待建的三面墙的总长度是多少（不考虑墙的厚度）？ 【答案】待建的三面墙的总长度是． 【详解】解：长方体池塘长、宽、高， 长方体池塘的体积为， 建造后等体积的正方体池塘的长为， 待建的三面墙的总长度是． 【变式7-4】（25-26八年级上·上海闵行·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【详解】（1）解：∵用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个正方形 ∴这个正方形的面积为的大正方形，边长为； 故答案为：；；． （2）如图， ∵用10个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， 拼成的大正方形的边长为； 故答案为：． （3）欢欢的想法不对，理由如下， 假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为，设长为，则宽为，则有： ， 解得，， 为长方形的长， ， ， 则长为， 要求长方形的四周至少留出的边框， 长方形的长应当为， ， 假设错误，不能． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $