第二十七章 相似（举一反三单元测试·拔尖卷）数学人教版九年级下册

第二十七章 相似·拔尖卷 【人教版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 2．（3分）如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片中，，，． A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意； B．因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； C．因为 ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； D、因为 ，， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； 故选：A． 3．（3分）（24-25九年级上·贵州毕节·期末）下图是边长为1的正方形网格，与的顶点都在正方形网格格点上，则与的周长比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理与网格问题；先证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴与的周长比为 故选：D． 4．（3分）（24-25八年级下·山东济南·期末）宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（   ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 【答案】C 【分析】设正方形的边长为，根据勾股定理得，根据作图性质，计算，解答即可． 本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵正方形，、的中点E、F， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，符合定义， 故选：C． 5．（3分）（2025·重庆·一模）凸透镜成像的原理如图所示，是凸透镜的主光轴，O为凸透镜的中心，点F是焦点，，．若物距与像距之比为，测得蜡烛高为，则像的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，通过证明，得出，即可解答．解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ， ， ， 故选：D． 6．（3分）如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， ∴， 解得； 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， 解得； 由上可得，的长为或， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键． 7．（3分）（2025·湖南·模拟预测）中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意分类讨论：当时；当时；当时，设，则，可证，解得，；由此即可求解． 【详解】解：当时，， ∴； 当时，点重合，，此时与矛盾，不符合题意，舍去； 当时，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或， 故选：D ． 8．（3分）（2025·安徽亳州·三模）如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例．根据平行四边形的性质，可得，再由平行线分线段成比例可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C 9．（3分）（2025·湖南·一模）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．根据，可得，从而得到，进而得到，再由比例的性质可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，，，， ∴． 故选：A 10．（3分）（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，下列结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．借助正方形的性质和已知条件，易证，故结论①正确；利用①可得，故结论③正确；且可得，可证得，故结论④正确；而，所以结论⑤不正确；根据相似三角形的性质得到，可判断②错误． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵为中点，， ∴， 又∵， ∴，结论①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，即，故结论③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，结论④正确； ∵，， ∴， ∴和不相似，结论⑤不正确． ∵，，和不相似，， ∴，，， ∴， ∴，故②错误， 综上可知正确的结论为：①③④，共计3个． 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2025·福建泉州·模拟预测）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积等于9，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质．根据位似变换的概念得到，，从而得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于9， ∴的面积为． 故答案为： 12．（3分）（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，的中线、交于点，点在边上，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由题得点是的重心，得到，可证明，得到，即可得到． 【详解】解： 的中线、交于点， 点是的重心， ， ， ， ， ， ， ， ． 13．（3分）（24-25八年级下·湖南郴州·期末）在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若，则线段的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，证明是的中位线，利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 为的中点， ∵∥， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴为的中位线， ∴． 故答案为：8． 14．（3分）（2025·上海杨浦·一模）两个等腰直角三角板如图放置，点F为BC的中点，AG=1，BG=3，则CH的长为 ． 【答案】 【分析】依据∠B=∠C=45°，∠DFE=45°，即可得出∠BGF=∠CFH，进而得到△BFG∽△CHF，依据相似三角形的性质，即可得到=，即=，即可得到CH=． 【详解】解：∵AG=1，BG=3， ∴AB=4， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=4，∠B=∠C=45°， ∵F是BC的中点， ∴BF=CF=2， ∵△DEF是等腰直角三角形， ∴∠DFE=45°， ∴∠CFH=180°﹣∠BFG﹣45°=135°﹣∠BFG， 又∵△BFG中，∠BGF=180°﹣∠B﹣∠BFG=135°﹣∠BFG， ∴∠BGF=∠CFH， ∴△BFG∽△CHF， ∴=，即=， ∴CH=， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用. 15．（3分）（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在菱形中，点分别是边上的点，且，若菱形的面积等于，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．连接，得到，即，证明，得到， 列比例式得证，解答即可． 【详解】解：连接， ∵菱形中，菱形的面积等于， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 16．（3分）现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图1所示的形状，为的中点，分别交，于，，易得．若取四个直角三角形拼成如图2所示的形状，为的中点，分别交，，于，，，则 ． 【答案】 【分析】首先证明△BCQ∽△BES，从而可求得CQ=EF，DQ=EF，然后证明△BAP∽△QDR得到BP：QR=4：3从而可知：BP：PQ：QR=4：1：3，然后由DQ∥SE，可知：QR：RS=DQ：SE=3：2，从而可求得BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2. 【详解】解：（1）∵四个直角三角形是全等三角形， ∴AB=EF=CD，AB∥EF∥CD，BC=CE，AC∥DE， ∴BP：PR=BC：CE=1， ∵CD∥EF， ∴△BCQ∽△BES． 又∵BC=CE ∴CQ=SE=EF， ∴DQ=EF， ∵AB∥CD， ∴∠ABP=∠DQR． 又∵∠BAP=∠QDR， ∴△BAP∽△QDR． ∴BP：QR=4：3． ∴BP：PQ：QR=4：1：3， ∵DQ∥SE， ∴QR：RS=DQ：SE=3：2， ∴BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2． 故答案为：4：1：3：2 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，找出图中的相似三角形，求得相应线段之间的比例关系是解题的关键． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）如图，已知，、交于点，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键； （1）根据可得，结合已知得出即可证明； （2）根据，得出 等量代换即可得出 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴ ∴． （2）证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 18．（6分）（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定： （1）利用勾股定理求出的值，然后求比值即可； （2）利用勾股地理和相似三角形的判定方法画图即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， （2）解：如图 ∵，， ∴， ∴． 当点E在点处时，同理可证． 19．（8分）（2025·山东烟台·一模）已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据，得出，根据，得出，即可证明． （2）根据，得出．证出．根据为等边三角形，得出，结合，得出，证出为等边三角形，即可得，结合和，得出，即可证明点E是线段的黄金分割点． 【详解】（1）解：， 证明：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点E是线段的黄金分割点． 20．（8分）如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上若BD⊥AO于点D，OB＝，AB＝2． （1）求OA的长； （2）求点A，B的坐标． 【答案】(1)5;(2) A（﹣5，0），B（﹣1，2）. 【分析】（1）根据勾股定理求出AO即可； （2）由AO，即可得出A的坐标；证△BDO∽△ABO，得出比例式，代入求出OD、BD，即可得出B的坐标． 【详解】解：（1）在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，OB＝，AB＝2， 由勾股定理得：OA＝＝5， （2）∵OA＝5， ∴A的坐标是（﹣5，0）， ∵BD⊥OA， ∴∠BDO＝∠ABO＝90°， ∵∠BOD＝∠BOD， ∴△BDO∽△ABO， ∴， ∴ ， 解得：OD＝1，BD＝2， 即B的坐标是（﹣1，2）， 【点睛】本题考查了勾股定理，相似，线段长度与坐标，掌握勾股定理与相似的判定是解题的关键. 21．（10分）（24-25九年级上·山东济南·期中）在Rt中，，，，现有动点从点出发，沿方向向点运动，动点从点出发，沿方向向点运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点，就停止运动，设运动时间为秒，求： (1)当为多少时，四边形的面积是面积的2倍？ (2)当为多少时，中有一个内角与相等？ 【答案】(1)为4秒时，四边形的面积是面积的2倍. (2)当为或2时，中有一个内角与相等. 【分析】本题是三角形的综合题，考查了三角形面积的计算，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题关键． （1）根据面积列出一元二次方程，求值即可. （2）分两种情况讨论：或，再根据相似三角形的判定和性质即可求得答案. 【详解】（1）解：∵动点从点出发，沿方向向点运动，点的速度是， ， ∵动点从点出发，沿线段方向向点运动，点的速度是， ， ． 四边形的面积是面积的2倍，，， ， ， 即：，解得：． 为4秒时，四边形的面积是面积的2倍. （2）， ①当时，， ， ， 解得：； ②当时，， ， 解得：． 综上所述，当为或2时，中有一个内角与相等． 22．（10分）（2025·辽宁丹东·二模）在中，． (1)如图1，直线l经过点B，且顶点A，C在直线l的两侧，作AM直线l于点M，作直线l于点N．求证：． (2)如图2，点P在边上，交于点M， ，，求的值． (3)如图3，，D是边延长线上一点，且，作，连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据余角的性质可得，即可求证； （2）过点P作于D，证明，可得，可设，则，，从而得到，，证明，可求出，即可求解； （3）过点A作于G，过点C作交的延长线于H，根据平行线分线段成比例可得，再根据勾股定理可得，再根据，可设，从而得到，，再结合，可得，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点P作于D． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； （3）解：如图，过点A作于G，过点C作交的延长线于H， ∵，即， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理． 23．（12分）（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为，交于． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若为中点，且，，求的长； (3)如图3，若为中点，为中点，连接，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）根据矩形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，求得，得到，根据相似三角形的判定定理得到结论； （2）根据矩形的性质得到，设，得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）延长交于点M，连接根据折叠的性质得到直线，根据等腰三角形的性质得到，设，求得，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，，即，解得， ， ， ， ， ，解得， ， ； （3）解：如图：延长，交于点，连接． ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， （）， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 24．（12分）（2025·河南洛阳·一模）定义：有一组对角互余的四边形叫做“对余四边形”． 【认识模型】 （1）如图①，四边形是对余四边形，则与的度数之和为______； 【性质探究】 四边形是对余四边形，为对角线，已知． 如图②，若，求证：，小唯发现将绕点按逆时针方向旋转，构造等边三角形结合对余四边形即可得证，下面是小唯的部分证明过程： 证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， … （2）请补全上面的证明过程； （3）如图③，连接，若，，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）（2）中的结论不成立，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质与等边三角形的性质，理解对余四边形的性质是解题的关键； （1）根据定义得，进而根据四边形内角和为，即可求解； （2）根据等边三角形的性质，结合（1）的结论，根据勾股定理，即可求解； （3）根据（2）的方法旋转，并缩小，得出，连接，进而根据相似三角形的性质，证明即可求解． 【详解】解：（1）解：∵四边形是对余四边形， ∴， ∴ 故答案为：． （2）证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ （3）（2）中的结论不成立，理由见解析 ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ 如图②，将绕点按逆时针方向旋转，并缩小，得到，连接， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ 即 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 相似·拔尖卷 【人教版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 3．（3分）（24-25九年级上·贵州毕节·期末）下图是边长为1的正方形网格，与的顶点都在正方形网格格点上，则与的周长比为（   ） A． B． C． D． 4．（3分）（24-25八年级下·山东济南·期末）宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（   ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 5．（3分）（2025·重庆·一模）凸透镜成像的原理如图所示，是凸透镜的主光轴，O为凸透镜的中心，点F是焦点，，．若物距与像距之比为，测得蜡烛高为，则像的长为（   ） A． B． C． D． 6．（3分）如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（）    A． B． C．或 D．或 7．（3分）（2025·湖南·模拟预测）中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 8．（3分）（2025·安徽亳州·三模）如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 9．（3分）（2025·湖南·一模）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 10．（3分）（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，下列结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2025·福建泉州·模拟预测）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积等于9，则的面积为 ． 12．（3分）（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，的中线、交于点，点在边上，，那么 ． 13．（3分）（24-25八年级下·湖南郴州·期末）在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若，则线段的长为 ． 14．（3分）（2025·上海杨浦·一模）两个等腰直角三角板如图放置，点F为BC的中点，AG=1，BG=3，则CH的长为 ． 15．（3分）（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在菱形中，点分别是边上的点，且，若菱形的面积等于，则的值为 ． 16．（3分）现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图1所示的形状，为的中点，分别交，于，，易得．若取四个直角三角形拼成如图2所示的形状，为的中点，分别交，，于，，，则 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）如图，已知，、交于点，且．求证： (1)； (2)． 18．（6分）（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 19．（8分）（2025·山东烟台·一模）已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 20．（8分）如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上若BD⊥AO于点D，OB＝，AB＝2． （1）求OA的长； （2）求点A，B的坐标． 21．（10分）（24-25九年级上·山东济南·期中）在Rt中，，，，现有动点从点出发，沿方向向点运动，动点从点出发，沿方向向点运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点，就停止运动，设运动时间为秒，求： (1)当为多少时，四边形的面积是面积的2倍？ (2)当为多少时，中有一个内角与相等？ 22．（10分）（2025·辽宁丹东·二模）在中，． (1)如图1，直线l经过点B，且顶点A，C在直线l的两侧，作AM直线l于点M，作直线l于点N．求证：． (2)如图2，点P在边上，交于点M， ，，求的值． (3)如图3，，D是边延长线上一点，且，作，连接．若，求的长． 23．（12分）（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为，交于． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若为中点，且，，求的长； (3)如图3，若为中点，为中点，连接，请直接写出的值． 24．（12分）（2025·河南洛阳·一模）定义：有一组对角互余的四边形叫做“对余四边形”． 【认识模型】 （1）如图①，四边形是对余四边形，则与的度数之和为______； 【性质探究】 四边形是对余四边形，为对角线，已知． 如图②，若，求证：，小唯发现将绕点按逆时针方向旋转，构造等边三角形结合对余四边形即可得证，下面是小唯的部分证明过程： 证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， … （2）请补全上面的证明过程； （3）如图③，连接，若，，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明过程，若不成立，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $