专项训练02 利用勾股定理求立体图形中的最短路径问题（巩固培优）新八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 聚焦立体图形最短路径问题，构建“模型解读-方法提炼-题型应用”体系，通过展开转化平面问题，系统训练勾股定理与空间观念的综合应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆柱最短路径|2题|侧面展开矩形，“展开-定点-连线-勾股”四步法|立体→平面转化，底面周长与高构直角边| |长方体最短路径|4题|分类讨论“前+右”“前+上”“左+上”展开|多情况展开对比，勾股定理求最小值| |阶梯最短路径|2题|台阶面展开为长方形，直接应用勾股定理|平面展开简化路径，体现几何直观| |将军饮马模型|2题|对称转化，结合勾股求外侧到内侧最短路径|对称思想与空间观念结合，强化推理能力|

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练02利用勾股定理求立体图形中的最短路径问题 知识复盘卡 【知识点1圆柱中的最短路径模型】 【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下： 展开 圆柱 计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定 理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周 长的一半进行计算， 注意：(1)运用勾股定理计算最短路径时，按照展开一定点一连线一勾股定理的步骤进行计算； (2)缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数. 【最值原理】两点之间线段最短 【知识点2长方体中的最短路径模型】 【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下： 丙 长方体 计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理 进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论. 注意：1)长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论 2)两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同， 1/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【最值原理】两点之间线段最短 【知识点3阶梯中的最短路径模型】 【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下： 阶梯问题 注意：展开一定点一连线一勾股定理 【最值原理】两点之间线段最短 【知识点4将军饮马与最短路径模型】 【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下： 蚂蚁 B蜂蜜 将军饮马问题 解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决， 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定 理求解。 【最值原理】两点之间线段最短 培优拓展训练 ★巩固提升练 【题型1圆柱中的最短路径模型】 1.如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点A是圆柱下底面外壁的一点，点B是上 底面外壁与点A相对的一点，在点B正下方的水面紧贴内壁G处有一食物. 2/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C (I)若圆柱高为cm,底面半径为6cm,将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入 木棒的最大长度. (2)若圆柱高为9cm,底面周长为24cm,水深2cm,一只蚂蚁在点A处， ①蚂蚁从点A处沿圆柱侧面外壁爬行到点B处，则爬行的最短路程 cm ②蚂蚁从点A处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程 cm 2.如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用.为保障操作人员安全， 旋梯上全部安装了扶手，旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为.若油罐高约 18,油罐底面圆直径约为0m,且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上 (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为9m,求旋梯的扶手长度的最小值. (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的1最小值.（本题(1）(2)中π≈3) 【题型2：长方体中的最短路径模型】 3.如图，长方体的长、宽、高分别为24,3，A,D为长方体的两个顶点. 4 2 (I)求点A到点D之间的距离： (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点A爬到点D,求爬行的最短路程. 3/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.课本再现： B B 12 9 图1 图2 图3 图4 图5 方法探究：()对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定AB两点的位 置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题.如图2，在圆柱的侧面展开图中，点 A,B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是 cm 方法应用：(2)如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm,高为l0m.在其侧面从点A 开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止.彩条的最短长度为 (3)如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知 此六棱柱的高AB为7cm,底面边长为4cm,则这圈金属丝的长度至少为. (4)如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为6cm,底面半圆直径AC为4cm,点A处有一只蚂蚁沿 如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是 (π取3) 【题型3阶梯中的最短路径模型】 5.如图，三级台阶每一级的长宽高分别是5cm,3cm和lcm,A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A 上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为一c 5 B 6.如图，在一个长4米，宽2米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱 长大于AD,木块从正面看是边长为40厘米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 米 4/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型4将军饮马与最短路径模型】 7.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为l2Cm,在容器内壁离容器底部4cm的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4m的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最 短路径为l5Cm,则该圆柱底面周长为 cm. 8.如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm,高AB=60cm,水深AE=40cm.在水面EF 上紧贴内壁的G处有一块面包屑，且EG=60cm.一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处 吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为cm. ★能力培优练 1.如图，蚂蚁想要从两级台阶的左上角M处爬到右下角N处，它只能沿着台阶的表面爬行，己知每级台 阶的长、宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁从M处爬到N处的最短路程是() 16 (单位：分米) A.163分米 B.20√2分米 C.16分米 D.20分米 2.如图，长方体的长为30，宽为20，高为10，点B与点C的距离为5，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 A爬到点B,需要爬行的最短距离是() E 20 A 15 B.25 C.30 D.35 5/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一 圈金属丝，已知此六棱柱的高AB为7cm,底面边长为4cm,则这圈金属丝的长度至少为() A.25cm B.31cm C.24cm D.7cm 4.如图，一个圆柱形玻璃杯的高为l0cm,底面周长为l0cm,在杯内壁底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一 只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2Cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线 的长为 cm.(杯壁厚度不计) 蚂蚁A ~B蜂蜜 5.如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4,1,7，用一根细线绕侧面绑在点M,N处，不计线头， 细线的最短长度为 6.如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯 线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点A开始经过四个侧面绕3圈绕到上底面的顶点B,那么 用在该建筑物上的灯线最短需要 米 6/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6米 米 3米 7.如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为l5cm,底面周长为8cm,在容器内壁离容器底部 6cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部1cm的点B处， 则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少Cm? 8.如图，长方体的长AB=5,宽BC=4,高AE=6,三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点A 出发到点G处.蚂蚁甲的行走路径为翻过棱EH后到达点G处（即A→P→G),蚂蚁乙的行走路径为翻 过棱EF后到达点G处（即A→M→G),蚂蚁丙的行走路径为翻过棱BF后到达点G处（即A→N→C G M B (1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？ (2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？ ★创新拓展练 1.如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A,C嵌有一圈长度最短的金 属丝. 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② (1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A,则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为5dm4dm3dm的无盖长方体木箱（如图3，AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm ),现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动.请你为蜘蛛设计一种 捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫，（木板的厚度忽略不计） D 图3 2.【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2， A和B是一个台阶两个相对的端点， 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点 的最短路程是多少？ (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20.宽为15 的长方形，连接AB,经过计算得到AB长度为 就是最短路程. 【变式探究】 (2)如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30cm,高是8cm,若蚂蚁从点A出发沿着玻 璃杯的侧面到点B,则蚂蚁爬行的最短距离为 8/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20 图① 图② 图③ 图④ 【拓展应用】 (3)如图④，圆柱形玻璃杯的高9cm,底面周长为l6cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此 时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿lCm,且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬 行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 3.【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为l2cm,底面圆的周长为l8cm,在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想 吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 图1 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A,B两点的位置，依据“两点 之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题.如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A,B对应的位置 如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段AB的长. B 12 ◇1 9 C 图2 【方法应用】 (1)如图3，圆柱形玻璃容器的高为l8cm,底面周长为60cm,在外侧距下底lcm的点S处有一蜘蛛，与 蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处lm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走 的最短路线的长度， 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 中F C 图3 (2)如图4，长方体的棱长AB=BC=6cm,AA=14cm,假设昆虫甲从盒内顶点C开始以lcm/s的速度 在盒子的内部沿棱CC向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆 虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ D1无盖C D 图4 4.(25-26八年级上·全国·假期作业)背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百年来， 人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现了一个 新的证法， 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c.显然， ∠DAB=∠B=9O°，AC⊥DE.请用a、b,、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再 探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： S梯形ABCD=_ SAEBC=-· S四边形AECD=_, 则它们满足的关系式为经化简，可得到勾股定理， 知识运用： (1)如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点）， AD LAB,BC⊥AB,垂足分别为A、B,AD=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为-千米（直 接填空)； (2)在(1)的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P,使 得PC=PD,请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离. 10/11 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式V2+9+√16-x}+81的最小值(0<x<16) A a D 6 D a-b B b B 图1 图2 11/11 专项训练02 利用勾股定理求立体图形中的最短路径问题 【知识点1 圆柱中的最短路径模型】 【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下： 计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算. 注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； （2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数. 【最值原理】两点之间线段最短. 【知识点2 长方体中的最短路径模型】 【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下： 计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论. 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同. 【最值原理】两点之间线段最短. 【知识点3 阶梯中的最短路径模型】 【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下： 注意：展开—定点—连线—勾股定理 【最值原理】两点之间线段最短. 【知识点4 将军饮马与最短路径模型】 【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下： 解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决. 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解. 【最值原理】两点之间线段最短. 【题型1 圆柱中的最短路径模型】 1．如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点是圆柱下底面外壁的一点，点是上底面外壁与点相对的一点，在点正下方的水面紧贴内壁处有一食物． (1)若圆柱高为，底面半径为，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度． (2)若圆柱高为，底面周长为，水深，一只蚂蚁在点处． ①蚂蚁从点处沿圆柱侧面外壁爬行到点处，则爬行的最短路程________． ②蚂蚁从点处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________． 【答案】(1) (2)①15 ②蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为 【分析】本题主要考查了平面展开最短路径问题、勾股定理及圆柱的体积，熟知勾股定理及能根据题意画出示意图是解题的关键． （1）利用勾股定理进行计算即可； （2）①在展开图中，利用两点之间，线段最短进行计算即可； ②在展开图中，利用两点之间，线段最短进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为底面直径为，圆柱的高为， 所以容器内能放入木棒的最大长度为：； （2）解：①如图所示， ． 因为， 所以． 故答案为：15； ②如图所示， ， 所以， 所以． 在△中， ， 所以蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为． 故答案为：20． 2．如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解； （2）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ； （2）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ． 【题型2 长方体中的最短路径模型】 3．如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）如图1，标记顶点，，连接，，根据勾股定理先算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． （2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出的长进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． 4．课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 【答案】（1），（2）26（3）（4） 【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长度，进而构建直角三角形求解． 【详解】解：（1）展开后、、C构成直角三角形，两直角边分别为和． 根据勾股定理，最短路径为： （2）底面是正方形，周长为，垂直方向为直四棱柱的高，绕一周高为， 根据勾股定理，， 绕两周彩条最短长度为：； （3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为，绕一周垂直长度为； 根据勾股定理，金属丝最短长度为： （4）底面是半圆长加一个半径，，高为6， 根据勾股定理，爬行最短长度为． 【题型3 阶梯中的最短路径模型】 5．如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得，， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是； 故答案为： 6．如图，在一个长4米，宽2米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为40厘米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、平面展开—最短路径问题，由题意可得，将木块展开，相当于是个正方形的宽，求出展开后的长为米，宽为2米，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意可得，将木块展开，相当于是个正方形的宽，如图所示： ， ∴展开后的长为米，宽为2米， ∴最短路径为米， ∴一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程米， 故答案为：． 【题型4 将军饮马与最短路径模型】 7．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 ． 【答案】18 【分析】题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理的意义，将容器的侧面展开，建立点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度为爬行最短距离，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：将圆柱的侧面展开，为上底面圆周长的一半，作点A关于的对称点，连接交于点F，则蚂蚁吃到蜂蜜需要爬行的最短路径为， 如图，过点作交的延长线于点D， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴圆柱底面周长为； 故答案为：18． 8．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 【答案】100 【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短． 则， 根据题意：，， ∴， ∴， ∴最短路线长为， 故答案为：． 1．如图，蚂蚁想要从两级台阶的左上角M处爬到右下角N处，它只能沿着台阶的表面爬行，已知每级台阶的长、宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁从M处爬到N处的最短路程是（ ） A．分米 B．分米 C．16分米 D．20分米 【答案】D 【分析】根据题意画出台阶的侧面展开图，根据勾股定理求出的长即可得出结论． 本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出台阶的表面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 【详解】解：如图所示 （分米） 答：它沿着台阶面从点A爬到点B的最短路程是20分米． 故选：D 2．如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，勾股定理，长方体的展开图，理解题意、掌握立方体的展开图是解题关键． 将长方体展开，连接，根据两点之间线段最短，即可求解． 【详解】解：将长方体展开，连接， 根据两点之间线段最短，共有种情况： ①如图， ，， 由勾股定理，得：； ②如图， ，， 由勾股定理，得：； ③如图， ，， 由勾股定理，得：； ， 蚂蚁需要爬行的最短距离是． 故选：B． 3．如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点到顶点沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与最短路径、几何体的展开图，利用六棱柱的侧面展开图找到最短路径是解题的关键．将六棱柱侧面展开后，再运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，六棱柱侧面展开后，这圈金属丝的长度最短为的长，    由勾股定理得，， 这圈金属丝的长度至少为． 故选：A． 4．如图，一个圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】13 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，轴对称距离最短，勾股定理．将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即最短，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于的对称点， ∴为矩形， 根据题意得，，， ∴， 连接，则即为最短距离， ． 故答案为：13． 5．如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理、两点之间线段最短、几何体的展开图等知识点，掌握勾股定理“”是解题的关键．把长方体沿边剪开，利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把长方体沿边剪开，连接， 根据题意：，， 在中，由勾股定理得：. 故答案为：． 6．如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点A开始经过四个侧面绕3圈绕到上底面的顶点B，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与最短路径的计算，理解题意，掌握勾股定理的运用是解题的关键． 根据题意，将立体图形展开，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，米， 点A开始经过四个侧面绕3圈绕到上底面的顶点B， 米， ∴米， 故答案为： ． 7．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少？ 【答案】． 【分析】把圆柱侧面展开成平面矩形，利用轴对称性质将蚂蚁爬行的路径转化为平面上两点间的线段，再借助勾股定理计算最短路径长度．本题主要考查了圆柱侧面展开图、轴对称性质及勾股定理的应用，熟练掌握“将立体图形中的最短路径问题转化为平面图形中两点间线段问题，借助轴对称和勾股定理求解”是解题的关键． 【详解】解：如图： 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点处， 底部周长的一半为，， 将容器侧面展开，作A关于的对称点， 连接，则即为最短距离， 8．如图，长方体的长，宽，高，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发到点处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱后到达点处（即）． (1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？ (2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？ 【答案】(1)，， (2)蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达 【分析】本题主要考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键． （1）将长方体展开，根据勾股定理解答即可得到结论； （2）根据（1）中的结论，比较三只蚂蚁的行走路径，，的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：将长方体表面展开， 如图，连接， 在中，， ， 如图，连接， 在中，， ， 如图，连接， 在中，， ， 甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是，，； （2）解：，即， ， 又三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发， 行走路程最小的最先到达，行走路程最大的最后到达， 即：蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达． 1．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 【答案】(1)A (2) (3)最短为，方案见解析 【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键． （1）结合图形即可得出结果； （2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解； （3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意， 故选：A； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为：， ∴最短长度是； （3）①把展开，如图此时总路程为， ②把展开，如图 此时的总路程为； ③如图所示，把展开， 此时的总路程为， 由于，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 2．【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 3．【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】（1）34cm；（2）秒． 【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可； （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线． 由题意可得在中， ，，， ∴， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如图2，在中， ∵长方体的棱长，， ∴，，，， ∴， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 4．（25-26八年级上·全国·假期作业）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ， 则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）千米； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 由勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，作点关于的对称点，连接交于点， 过作， 根据对称性：， 设，则，由勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $