第四章 因式分解（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材北师大版八年级下册

第四章 因式分解 （高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．多项式 的公因式是（   ） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查公因式，根据三定法：定系数—系数的最大公约数，定字母—相同字母，定指数—相同字母的最低次幂，确定公因式，进行判断即可． 【详解】解：多项式的公因式是； 故选A． 2．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的判定，需依据因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，来逐一判断选项． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个最简整式乘积的形式， ∴A选项，是整式的乘法运算，从乘积形式化为多项式，不属于因式分解； B选项，右边的不是整式，不符合因式分解的定义； C选项，右边不是乘积形式，不属于因式分解； D选项，将多项式化为了，即整式的乘积形式，属于因式分解； 故选：D． 3．下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的应用，平方差公式为，需判断每个选项是否符合“两个因式中一项完全相同，另一项互为相反数”的特征． 【详解】解：∵平方差公式的结构特征是两个因式中，存在一项完全相同，另一项互为相反数． A、相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式特征，能运用； B、相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式特征，能运用； C、，两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式特征，不能运用； D、相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式特征，能运用； 故选：C． 4．对任意整数n，都能（    ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式因式分解，根据平方差公式，分解因式后判断，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴故一定能被3整除， 故选：A． 5．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，将分解因式，再代入已知条件计算的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：． 6．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用提公因式法、公式法、十字相乘法等对各选项进行分解因式即可判断正误． 【详解】A、，故本选项符合题意； B、，则，故本选项不符合题意； C、，则，故本选项不符合题意； D、，则，故本选项不符合题意． 7．已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足，，，则此三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确地进行因式分解． 根据，，，得出，整理得出，求出，，，再判断三角形形状． 【详解】解：∵，，， ∴， 整理得：， 即， ∴，，， ∴此三角形为等腰三角形． 故选：A． 8．已知实数满足为自然数，则的最小值是（    ） A．11 B．12 C．13 D．16 【答案】C 【分析】本题考查因式分解及配方法确定代数式取值范围，联立等式消去n，结合的条件得出a与b的关系，再将n转化为关于a的二次式，结合自然数的要求确定最小值． 【详解】解：∵ ∴ 整理得 因式分解得 即 ∵ ∴，即 将代入，得 ∵ ∴，解得 ∴，故 又∵n为自然数 ∴n的最小值是13． 故选：C． 9．若实数x，y满足，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的知识点为完全平方公式的应用以及因式分解．通过观察式子的结构，对化简后的式子进行因式分解，得到，因为一个数的平方等于 0，所以这个数为 0，所以推导出，从而得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 因为一个数的平方等于 0，所以这个数为 0，即， 所以， 故选：C． 10．用4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则之间存在的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如下图，先求出空白部分的面积，然后求出阴影部分的面积，利用，可得出a、b之间的关系． 【详解】解：如下图： 则空白部分的面积， ， ， ， 代入化简得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 化简得：， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：________ 【答案】 【分析】提取公因式完成因式分解． 【详解】解：． 12．计算的结果是_______． 【答案】2026 【分析】先提取公因数2026，再利用乘法分配律简化计算． 本题主要考查利用因式分解进行简便运算,熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：2026． 13．已知整式可以因式分解为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求参数，通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解． 【详解】解：展开，与原式比较系数， 得， 解得 ， 则． 故答案为：． 14．已知，则代数式的值为_____． 【答案】13 【分析】本题考查了平方差公式的应用、代数式的化简与代入求值，掌握通过因式分解将代数式转化为含已知条件的形式，再代入求值是解题的关键． 由已知条件 ，将代数式 通过因式分解和代入求值． 【详解】解： ∵ ， 原式， ． 故答案为：． 15．已知，则_______． 【答案】32 【分析】将等式的左边转化为完全平方公式的和的性质，利用非负性求出的值，再进行计算即可. 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， ∴. 16．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______． （2）若图中阴影部分的面积为162平方厘米，大长方形纸板的周长为60厘米，图中空白部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握等积法是解题的关键： （1）根据等积法得到代数式是边长为，的长方形的面积，即可得出结果； （2）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：（1）由题意，； 故答案为：； （2）由题意，， 即， ∴， ∴， ∴空白部分的面积为． 故答案为：． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式直接提取公因式即可； （2）原式提取公因式后，再运用平方差公式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（1）利用因式分解计算； （2）已知，．求的值． 【答案】（1）-4051；（2）34 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式和分解因式的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式把原式变形为，再去括号后提取公因数4051，进而求解即可； （2）根据完全平方公式得到，则可求出的值，进而可得答案． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴． 又∵． ∴， ∴． 19．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 【答案】(1) (2)的值为，的值为 (3) 【分析】本题考查因式分解的创新应用、解一元一次方程、解二元一次方程组等知识，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键． （1）将代入多项式并使多项式等于0，求解即可得答案； （2）将和分别代入多项式并使多项式等于0，解二元一次方程组，即可获得答案； （3）将（2）中解得的的值代入多项式，然后设，利用待定系数法求出k即可． 【详解】（1）解：∵是多项式的一个因式， ∴当时，得， 解得：； （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴可有，整理可得， 解得， 即的值为，的值为； （3）解：由（2）可知，的值为，的值为， ∴多项式为， ∵和是多项式的两个因式，的次数最高项的次数为3，次数最高项的系数为1， ∴设， 右边展开式的常数项为，左边的常数项为， ∴， 解得：， ∴． 20．“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式___________，将还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： (1)请补全横线上的步骤：___________； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法和因式分解，素材的理解，正确理解整体思想是解题的关键． （1）根据完全平方公式因式分解即可； （2）仿照题目素材，令，原式，去括号再因式分解，最后代回即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：令， 则原式 将还原， 得原式． 21．对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中的另一个因式为，于是我们可以得到．这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式， (1)请你用试根法分解以下多项式： ①        ② (2)已知多项式是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解． 【答案】(1)①；② (2)，； 【分析】此题考查了因式分解，多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上知识点． （1）①利用试根法求解即可； ②利用试根法求解即可； （2）设另一个因式为，然后计算为，然后比较系数求解即可． 【详解】（1）解：①当时，，当时， ∴； ②当时，， 当时，， 当时，， ∴； （2）解：∵多项式是多项式的一个因式 ∴设另一个因式为 ∴ ∴ ∴ 解得． ． 22．材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了因式分解-十字相乘法． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）材料的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式 23．【问题提出】如何分解因式：？ 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学： 乙同学： 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）将原式分为与，然后根据平方差公式和提公因式法分解因式； （2）先将原式因式分解为，然后根据a，b，c为三角形的三条边，均为正数，判断出，根据等腰三角形的定义判定出三角形的形状． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ∵a，b，c均为正数， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形． 24．材料一：整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． 材料二： 对于关于x的一元整式M，其奇数次项系数之和为m，偶数次项系数之和为n． 若，则当时，M的值为0；若，则当时，M的值为0． 例如，对于一元整式，由、得，所以把代入整式，得其值为0． 由此可以确定整式有因式，于是可设．分别确定p、q的值，再代入，就可以因式分解整式，这种因式分解的方法叫作“试根法”． 阅读上述两则材料，回答问题： (1)整式除以整式，商式是______，余式是______． (2)材料二中，______，______． (3)对于一元整式，必定有当______，其值为0． (4)根据材料一和材料二，因式分解______． 【答案】(1)；0 (2)； (3) (4) 【分析】本题考查了整式的除法，因式分解的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据长除法即可求解； （2）根据长除法确定整式除以整式的商式，即可确定p、q的值； （3）根据材料二的内容即可求解； （4）由（3）得，整式有因式，再利用长除法确定整式除以整式的商式，得到，再利用十字相乘法因式分解，即可得出答案． 【详解】（1）解：整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是，余式是0． 故答案为：；0； （2）解：整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是，余式是0． 则 所以，． 故答案为：；； （3）解：对于一元整式， 由、得， 所以把代入整式，得其值为0． 故答案为：； （4）解：由（3）得，整式有因式， 整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是，余式是0． 则， 又因为， 所以 故答案为：． 25．【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：________． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则 ①________． ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)①13；②95 【分析】（1）依照例题将变成，再利用公式求解即可； （2）先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可； （3）①由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根据，即可得出结果； ②由，，，得到，求出，得到，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ； （3）解：①图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成， 由图形2可知，，， ∵， ， ； ② ， ∵，，， ∴，，即， ∴， 解得，， ∴原式． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章因式分解 (高效培优单元自测·强化卷) (考试时间：60分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.多项式ab-a2的公因式是() A.a B.2a C.2ab D.ab 2.下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是() A.m(a+b)=ma+mb Br1-* C.x2+xy-3=x(x+y)-3 D.x2+2xy+y2=(x+y)月 3.下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式进行计算的是() A.（x-1(x+1 B.（-2m+n)(2m+n C.(-a+b)(a-b) D.（-x+2y)(-x-2y 4.对任意整数n,(3n+1)2-25都能() A.被3整除 B.被4整除 C.被5整除 D.被6整除 5.若x+y=3,x2-y2=-21,则x-y的值为() A.3 B.-6 C.-7 D.7 6.下列因式分解正确的是() A.x2+x=x(x+1) B.x2+y2=(x+y)(x-y) C.x2+2xy-y2=(x-y) D.x2-4x-3=x-3)(x+1 7.己知一个三角形三边长为a,b,c,且满足a2-4b=1,b2-4c=4,c2-6a=-14,则此三角形的形状 是() A.等腰三角形B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 8.已知实数a,b满足4a2+4b=n,b2+8a=n,b≠2a,n为自然数，则n的最小值是() A.11 B.12 C.13 D.16 9.若实数x,y满足(x+2y)-2x-4(y+1)=-5,则下列式子一定成立的是（) A.x+2y=-1B.x-2y=-1C.x+2y=1 D.x-2y=1 1/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.用4张长为a,宽为b(a>b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为(a+b)的正方形，图中空白 部分的面积为S,阴影部分的面积为S2,若S,=2S2,则a,b之间存在的数量关系是() b a A.a=1.5b B.a=2b C.a=3b D.a=2.5b 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.分解因式：x2y-y2= 12.计算20262-2025×2026的结果是 13.已知整式x2-x+k可以因式分解为x+m)(x-5),则的值为 14.已知a+b=2,则代数式a2-b2+4b+9的值为 15.已知x2+y2+z2-2x+6y-4z+14=0,则(x-y-z)3= 16.如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为α厘米的大正方形，2块是边 长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a>b. a b b b (1)观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为 (2)若图中阴影部分的面积为162平方厘米，大长方形纸板的周长为60厘米，图中空白部分的面积为 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.把下列各式因式分解： (1)6m2-3m; 2/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)x2(a-b+y2(b-a. 18.(1)利用因式分解计算20262-20252-2×4051： (2)已知x+y=5,y=4.求2x2+2y2的值， 19.因为x2+2x-3=（x+3)(x-1,这说明多项式x2+2x-3有一个因式为x-1,我们把x=1代入此多项式发 现x=1能使多项式x2+2x-3的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若x-6是多项式x2+kx+12的一个因式，求k的值； (2)若(x-2)和x-3)是多项式x3+mx2+11x+n的两个因式，试求m,n的值； (3)在(2)的条件下，直接写出多项式x3+mx2+11x+n因式分解的结果。 20.“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的 结构，使因式分解更简洁明了. 例如：分解因式(a-2b2+2(a-2b)+1. 解：将a-2b看成一个整体，令a-2b=x,则原式=x2+2x+1= 将x还原得，原式 =(a-2b+1)2. 请根据上述材料回答下列问题： ()请补全横线上的步骤： (2)分解因式：（x2+2x+3)x2+2x-1+4. 21.对于多项式x2+x-2,如果我们把x=1代入此多项式，发现x2+x-2的值为0，这时可以确定多项式 中有因式(x-;同理，可以确定多项式中的另一个因式为(x+2),于是我们可以得到 x2+x-2=x-1)(x+2).这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式， ()请你用试根法分解以下多项式： ①2x2+5x+3②x3-7x2-10x+16 (2)已知多项式x2+2x+1是多项式x3-x2-2ar-b的一个因式，求a,b的值，并将该多项式因式分解. 22.材料1：将一个形如x2+px+g的二次三项式因式分解时，如果能满足p=m+n且9=mn,则可以把 x2+px+g因式分解成(x+m)x+n).例如x2+3x+2,具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉 线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和， 使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法” 3/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 这样，我们可以得到：x2+3x+2=(x+(x+2). 材料2：分解因式：（x+y)+2(x+y)+1 解：将x+y”看成一个整体，令x+y=K,则原式=K2+2K+1=(K+1)2,再将“K”还原，得：原式 =(x+y+1)2 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法 、2 1×2+1×1=3 【迁移运用】 ()利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ①x2+5x+6;②2x2+2x-12 (2)结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解：（x-y)+4(x-y)+3. 23.【问题提出】如何分解因式：2x2+2xy-3x-3y? 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学：2x2+2xy-3x-3y=2x2+2xy-(3x+3y)=2x(x+y)-3x+y) =x+y(2x-3 乙同学：2x2+2xy-3x-3y=2x2-3x+(2xy-3y)=x2x-3)+y(2x-3) =(2x-3)x+y) 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式：a2-b2+a-b; (2)已知ABC的三边长a,b,c满足a2-ab+aC-bc=0,判断ABC的形状并说明理由. 24.材料一：整式除以整式一长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算.其步骤是： (1)把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； (2)用竖式进行运算； 4/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式. 例如，求(5x4+3x3+2x-4)÷x2+1的商式和余式，可以计算： 5x2+3x-5 x2+0x+15x4+3x3+0x2+2x-4 5x4+0x3+5x2 3x3-5x2+2x 3x3+0x2+3x -5x2-x-4 -5x2+0x-5 -x+1 因此，商式是5x2+3x-5,余式是-x+1. 材料二： 对于关于x的一元整式M,其奇数次项系数之和为m,偶数次项系数之和为n. 若m=n,则当x=-1时，M的值为0；若m=-n,则当x=1时，M的值为0. 例如，对于一元整式x3-5x2+4,由m=1、n=-5+4=-1得m=-n,所以把x=1代入整式x3-5x2+4,得 其值为0. 由此可以确定整式x3-5x2+4有因式x-1,于是可设x3-5x2+4=(x-1(x2+px+g.分别确定p、g的值， 再代入x3-5x2+4=(x-1)(x2+px+q),就可以因式分解整式x3-5x2+4,这种因式分解的方法叫作“试根 法”. 阅读上述两则材料，回答问题： (1)整式4x2+8x+3除以整式2x+1,商式是，余式是 (2)材料二中，p=，9= (3)对于一元整式x3+8x2-11x-18,必定有当x=,其值为0. (4)根据材料一和材料二，因式分解x3+8x2-11x-18= 25.【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：（a+b)=a2+2ab+b2,如果我们将(a-b)写成 [a+(-b)],就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式.过程如下： (a-b=「a+(-b)1=a2+2a-b)+(-b)=a2-2ab+b2. 5/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D M 0 H b B a G (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为a3+b=(a+b)a2-ab+b2),请类比两数差的完全平方公式的推 理过程，推导两数的立方差公式：a3-b3=a3+(-b)= (2)【应用公式】因式分解：x3-3x2y+3xy2-y3. (③)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形ABCD，设S四边形4BCD=S, S四边形EFGH=S2,S四边形MNPe=S;.若S,+S2+S,=39,则 ①S2= ②若该直角三角形的两条边长分别为Q和b,且S,=1,请先将代数式a3+2ab+2ab2+b3进行因式分解，然 后求出代数式的值. 6/6