第2章 实数能力提升测试卷-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

第2章 实数能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在数轴上表示的点可能是（   ）    A．点P B．点Q C．点M D．点N 3．下列实数中，最大的数是（  ） A． B． C． D． 4．计算的结果为（   ） A．2 B． C．4 D．8 5．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是8 B．的算术平方根是3 C．的立方根是2 D．立方根是它本身的数是1 6．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（   ） A． B． C． D． 7．如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 8．已知，化简（    ） A．2 B． C． D．6 9．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 10．化去式子根号内的分母，结果为（    ） A． B． C． D． 11．已知：，，且，则的值为（　　） A．或 B． C． D．或 12．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（   ）式子中的“”，“”依次相间 A． B． C． D． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．计算 ． 14．若是的小数部分，则代数式的值为 ． 15．观察下列各式： ， ， ，，请用含的式子写出你猜想的规律： ． 16．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦--秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为 ． 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算 (1) (2) 18．（10分）求x的值： (1)； (2)． 19．（10分）（1）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 20．（10分）阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如，观察它们的结果，积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化． 解决问题： (1)将分母有理化得_______，分母有理化得______． (2)，求的值； (3)利用上述方法，化简． 21．（10分）如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，然后以原点O为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点D． (1)点D表示的数是________，这个数是________（填“有理数”或“无理数”）； (2)通过画图说明了无理数________（填“能”或“不能”）用数轴上的点表示； (3)请你画出数轴，并在数轴上画出表示的点M，说出你的画法． 22．（12分）我们已经学过完全平方公式 ，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如 那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求 的算术平方根． 解： 的算术平方根是 ． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（直接写出结果，结果化成最简）． (1)= ； (2)= ； (3)在中，，那么边的长为多少？ 23．（12分）成都某学校组织数学兴趣小组开展探究代数式的最小值，张老师巧妙的运用了“数形结合”的思想．具体做法是：如图，C为线段上一动点，分别过B、D作，．连接、．已知，，．设，则，，则问题转化成求的最小值． 【探究发现】 （1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于______． （2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式的最小值． 【拓展迁移】 （3）请你用构图的方法试求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是将二次根式化为最简二次根式后，判断被开方数是否相同． 先将各选项中的二次根式化为最简二次根式，再根据“被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式”，判断哪个选项与是同类二次根式． 【详解】根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则这些二次根式是同类二次根式． A、已是最简二次根式，被开方数为3，与的被开方数2不同，不是同类二次根式； B、已是最简二次根式，被开方数为5，与的被开方数2不同，不是同类二次根式； C、，化简后被开方数为2，与的被开方数相同，是同类二次根式； D、已是最简二次根式，被开方数为14，与的被开方数2不同，不是同类二次根式． 故选：C． 2．如图，在数轴上表示的点可能是（   ）    A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． 利用无理数的估算得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 即在数轴上表示的点在3和4之间， ∴在数轴上表示的点可能是点M． 故选：C． 3．下列实数中，最大的数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较实数的大小，无理数的估值，对各个无理数进行估值后再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴最大的数是． 故选：D 4．计算的结果为（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 5．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是8 B．的算术平方根是3 C．的立方根是2 D．立方根是它本身的数是1 【答案】C 【分析】本题考查平方根、立方根的定义，熟记平方根、立方根的定义逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、4的平方根是，选项说法错误，不符合题意； B、，的算术平方根是，选项说法错误，不符合题意； C、8的立方根是2，选项说法正确，符合题意； D、立方根是它本身的数是和0，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 6．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与实数及勾股定理，能求出的长是解此题的关键．根据图示，可得：点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再进一步确定a的值为多少即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∴， ∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧， ∴． 故选：C． ． 7．如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，一个数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 8．已知，化简（    ） A．2 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、绝对值的性质．解题的关键是要考虑开方出来的数必须是非负数，化简绝对值后的数也是非负数．根据，可知，，再根据二次根式的性质及绝对值的化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故选：B． 9．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出、的长度，从而求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片， 小正方形边长为：，大正方形边长为， ， 图中空白部分的面积为：， 故选：B． 10．化去式子根号内的分母，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：． 故选：D． 11．已知：，，且，则的值为（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值和二次根式，根据绝对值的性质和二次根式的性质可得：，，又因为，根据非负数的绝对值等于它本身，可知或，根据、的值求代数式的值即可． 【详解】解：，， ，， ， ， 或， 当时，，则； 当时，，则． 故选：D． 12．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（   ）式子中的“”，“”依次相间 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【详解】解：，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ， ，， 与之间共有个数， ． 故选B． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．计算 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，积的乘方逆运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据积的乘方逆运算，将其变形为，再由平方差公式计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．若是的小数部分，则代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了无理数小数部分的表示，利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握无理数小数部分的表示． 根据无理数的取值范围表示出小数部分，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 15．观察下列各式： ， ， ，，请用含的式子写出你猜想的规律： ． 【答案】（为整数，且） 【分析】本题考查了二次根式有关的规律题，观察等式左右两边的式子结构，即可得出第的式子，根据题意列递推等式，最终找出规律是解题关键． 【详解】解： ， ， ， ， ∴第的式子为（为整数，且）， 故答案为：（为整数，且）． 16．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦--秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查根式求值，根据题中所给公式，代入三角形的三边长度直接计算即可． 【详解】解：， ∴的面积 ， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式计算，熟练掌握二次根式的化简，灵活进行合并同类二次根式，二次根式的混合运算是解题的关键； 先化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 18．（10分）求x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：或； （2）解：， ， ， 解得：． 19．（10分）（1）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了估算无理数的大小及实数与数轴，熟练掌握估算无理数的方法以及会根据数轴判定实数的大小是解题的关键． （1）根据数轴上a的位置，判断出a，b，c的取值范围，然后代入所求的式子中进行化简； （2）先估算出与的大小，从而得到a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：（1）由数轴知，， ∴ ； （2）∵，， ∴，， ∴． 20．（10分）阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如，观察它们的结果，积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化． 解决问题： (1)将分母有理化得_______，分母有理化得______． (2)，求的值； (3)利用上述方法，化简． 【答案】(1)， (2)322 (3)27 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化． （1）利用分母有理化直接求解； （2）先利用分母有理化把x、y化简，然后再求它们的和与积，再利用完全平方公式变形求解即可； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， ∴； 故答案为：322； （3）解： ． 21．（10分）如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，然后以原点O为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点D． (1)点D表示的数是________，这个数是________（填“有理数”或“无理数”）； (2)通过画图说明了无理数________（填“能”或“不能”）用数轴上的点表示； (3)请你画出数轴，并在数轴上画出表示的点M，说出你的画法． 【答案】(1)，无理数 (2)能 (3)详见解析 【分析】本题考查了勾股定理，用数轴上的数表示无理数，尺规作图． （1）根据及勾股定理求出，根据无理数的定义作答即可； （2）根据（1）即可得到结论； （3）根据画出表示的点，进而可画出表示的点M． 【详解】（1）由图可知，是无理数 ∴点D表示的数是，这个数是无理数 故答案为：，无理数 （2）由（1）可知，无理数能用数轴上的点表示 故答案为：能 （3）因为， 所以画法如下： ①在数轴上画长方形，使在数轴上且点在原点右侧，点在数轴的上方； ②以原点为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点； ③以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是，如答图所示． 证明：∵ ∴ ∴ ∴ 22．（12分）我们已经学过完全平方公式 ，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如 那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求 的算术平方根． 解： 的算术平方根是 ． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（直接写出结果，结果化成最简）． (1)= ； (2)= ； (3)在中，，那么边的长为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）先利用（1）中得到的结论，把换成，然后将变形为完全平方式，最后开平方即可； （3）先利用勾股定理表示出，同样仿造上面把变形为完全平方式，最后开平方即可． 【详解】（1）解：原式 ， 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为：； （3）解：根据题意，得 ． 23．（12分）成都某学校组织数学兴趣小组开展探究代数式的最小值，张老师巧妙的运用了“数形结合”的思想．具体做法是：如图，C为线段上一动点，分别过B、D作，．连接、．已知，，．设，则，，则问题转化成求的最小值． 【探究发现】 （1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于______． （2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式的最小值． 【拓展迁移】 （3）请你用构图的方法试求的最大值． 【答案】（1）5；（2）13；（3） 【分析】本题考查了勾股定理，最值问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题和用转化的思想解决问题． （1）根据题意，过点A作交的延长线于F，则四边形是矩形，则，，利用勾股定理即可求得答案； （2）同（1）解决问题即可； （3）如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过B、D作，，且，，连接，并延长交的延长线于点C，则线段的长为的最大值． 【详解】解：（1）如图1，过点A作交的延长线于F，则四边形是矩形， ∵，，． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为5， ∵， ∴的最小值为5， 故答案为：5； （2）如图2，取线段，分别过B、D作，，且，，连接， 设，则，， ∵， 即当A、C、E在同一直线上时，的值最小， ∴线段的长即为的最小值， 过点A作交的延长线于F，则四边形是矩形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为13； （3）如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过B、D作，，且，，连接，点C为的延长线的一点，连接，， 设，则，， ∵， 即当A、C、E在同一直线上时，的值最大， ∴线段的长即为的最大值， 过点A作交于F，则四边形是矩形， ∵，，， ∴，，， 根据勾股定理得，， ∴最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $