专题02 勾股定理与网格（举一反三专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题02 勾股定理与网格（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 网格中判断三角形形状】 1 【题型2 网格中求角度】 4 【题型3 网格中求长度】 7 【题型4 网格中求最值】 10 【题型5 网格中画线段】 15 【题型6 网格中画三角形】 19 【题型7 网格中画直角三角形】 25 【题型1 网格中判断三角形形状】 【例1】如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】在网格中利用勾股定理分别求出，，，即可得出，即可判断的形状． 【详解】由网格可得，，， ∵， ∴是直角三角形． 【变式1-1】如图中的小方格都是边长为1的正方形，则的形状为（　　）    A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或者直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明，即可得到是等腰直角三角形． 【详解】解：中，由勾股定理得：， 中，由勾股定理得：， 同理可得，中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故选：D． 【变式1-2】如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：∵正方形小方格边长为1， ∴BC＝＝5，AC＝＝，AB＝＝， 在△ABC中，∵AB2+AC2＝5+20＝25，BC2＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2＋b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形． 【变式1-3】如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．已知A、B、C、D均为格点，按要求解答：    (1)的形状为__________（按边分）；的形状为__________（按角分）； (2)画的平分线与的延长线交于点E，连接，请直接写出与的长度比为__________； (3)请画出的边上的中线，请直线写出与的面积比为__________． 【答案】(1)等腰三角形，钝角三角形 (2)见解析， (3) 【分析】本题主要考查三角形的分类，勾股定理的应用以及三角形的面积： （1）由勾股定理得，可得是等腰三角形；，可得是钝角三角形； （2）根据描述画出图形，运用勾股定理求出，从而可求出结论； （3）根据三角形面积公式分别求出和的面积，即可得出结论 【详解】（1）解：由勾股定理得， ∴ ∴是等腰三角形； ∵， ∴是钝角三角形； 故答案为：等腰三角形；钝角三角形； （2）解：如图，    ∴；， ∴； 故答案为：； （3）解：如图，即为边上的中线； 的面积， 的面积， 所以，与的面积比为， 故答案为： 【题型2 网格中求角度】 【例2】（25-26八年级下·四川泸州·阶段检测）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，理解网格特点，证得是等腰直角三角形是解答的关键． 先根据网格特点和勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形，进而利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：依题意，连接， 则，， ∴， ∴， 则是等腰直角三角形， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级下·河南商丘·期末）如图，在正方形网格中，每一小格的边长为1，网格内有，则∠APB的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到格点，连接，根据网格特点并结合勾股定理可求出，，，根据勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：延长到格点，连接， 由网格特点可得，， ，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【变式2-2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可得，然后利用平行线的性质可得，，从而利用等量代换可得，即可解答． 【详解】解：如图：连接CE， 由图可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式2-3】（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，点都在格点（网格线的交点）上，与相交于点，则的度数为___________． 【答案】45° 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理是逆定理、三角形内角和定理，等腰三角形的性质，过点B作，连接，根据勾股定理分别求出，根据勾股定理的逆定理得到，根据平行线的性质、三角形内角和定理计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点B作，连接， 由勾股定理得：， ， ， ． ， ， ， ， ． 故答案为． 【题型3 网格中求长度】 【例3】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在边长为的正方形网格中，点，，，，均在格点上，则下列线段中长度为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用网格结合勾股定理，计算出每个线段的长度即可． 【详解】由网格可知，，， 由勾股定理可得，，， ∴只有线段长为． 【变式3-1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是）中，标记格点（网格线的交点），，，，则下列线段中，长度为的是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】利用勾股定理分别计算各线段的长即可得解． 【详解】解：由图可知，， ， ， ， 长度为的是线段． 【变式3-2】（25-26八年级下·山西阳泉·期中）新考法如图1，在小正方形的边长为1的的网格中，，，，，各点都在格点上，如图2是一条数轴，其中点所表示的数可能是网格中线段____________的长度.（填“”“”“”或“”） 【答案】 【分析】利用勾股定理分别求出，，，的长度，再根据数轴上点的位置确定其取值范围，通过比较算术平方根的大小即可求解； 【详解】解：由勾股定理得：，，，， 由图2可知，点在与之间，且靠近， ，， ， ∴其中点所表示的数可能是网格中线段的长度． 【变式3-3】图中每个小方格的边长是1，若线段EF能与线段AB、CD组成一个直角三角形，则线段EF的长度是_____． 【答案】或． 【分析】根据勾股定理得出AB，CD的长度，进而利用勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：AB＝，CD＝， 当EF为斜边时，EF＝， 当EF是直角边时，EF＝， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查勾股定理和逆定理，熟练利用定理和逆定理解直角三角形是解题关键． 【题型4 网格中求最值】 【例4】（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．若点P为直线上任意一点，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理与网格、勾股定理逆定理等知识，准确掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 过作，利用勾股定理求出各边的长， 证明是直角三角形，为斜边，利用等积法即可求出答案． 【详解】解：如图，过作， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，为斜边， 的面积， 即， 解得， 即线段的最小值为． 故选：D 【变式4-1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在正方形格点上，则点A与线段上的点之间的最小值为_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用网格求三角形的面积，垂线段最短等知识点，解题的关键是掌握以上性质定理． 作，作于点，于点，根据勾股定理得出，最后根据等面积和垂线段最短即可求解． 【详解】解：如图，作，作于点，于点， 根据勾股定理得， 根据等面积可得， ∴， 根据垂线段最短可得，点A与线段上的点之间的最小值为， 故答案为：． 【变式4-2】在如图所示的方格中，点都在格点上，且是线段上的动点，连结． (1)设，用含字母x的代数式分别表示线段的长，并求当的时候，的值； (2)是否存在最小值？若存在，求出其最小值． 【答案】(1)，， (2)存在， 【分析】此题考查了勾股定理，最短路径等知识﹒ （1）分别用x表示出的长度，再根据勾股定理即可求解； （2）作点A关于的对称点，连接，即可得到，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意结合图形得, 在中，， 在中，， 当时， ； （2）解：存在﹒ 如图，作点A关于的对称点，连接， ∴， 在中，， ∴最小值为． 【变式4-3】（25-26八年级下·山东德州·期末）如图，每个小正方形的边长都为1，点、、均在格点上． (1)①要在上找一点，使得最短．作法为：连接点与点 （、、选其一），所连线段与的交点即为所求点； ②证明上述作法； (2)在（1）的基础上，在边上找一点，求最小值． 【答案】(1) ① ②证明：由图可知， ，， ， 为等腰三角形， 要在上找一点，使得最短， ， 是的中点， 连接，，，，，， 四边形为平行四边形， 根据平行线的性质可知，连接点与点的线段与的交点是中点，且， 此时点到点距离最短． (2) 【分析】（1）由勾股定理可得，根据等腰三角形三线合一的性质得到且是中点，再根据平行四边形的对角线互相平分找出的中点，即可知道连接的点是． （2）作点关于的对称点，连接，结合轴对称性质可知，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，利用中位线定理求出和的长度，即可求出的长度，再根据勾股定理即可求出长度． 【详解】（1）解：① ②略 （2）解：如图，作点关于的对称点，连接，与BC交于点，连接， 由轴对称的性质可知，， ， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长， 取的中点，连接， 为中点， 为的中位线， ，，， ，， ． 【题型5 网格中画线段】 【例5】网格直尺画图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上，仅利用无刻度直尺完成下列作图（注：下列求作的点都是格点）． (1)过点C画线段CD使得且CD=AB； (2)过点A画线段AG，使得AG⊥BC，垂足为G； (3)过点A画线段AB的垂线，交BC于点H． 【答案】(1)如图所示，线段CD即为所求； (2)如图所示，线段AG即为所求； (3) 如图所示，线段AH即为所求； 【分析】（1）根据平行线的性质和勾股定理即可画出线段CD； （2）根据勾股定理，在线段BC上取格点G使AG=BG，即得出，即AG⊥BC，垂足为G； （3）根据勾股定理，在线段BC上取格点H使AB=AH，即得出，即AB⊥AH，交BC于点H． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查作图—网格中平行线和垂线的画法，平行线的性质和勾股定理是解题关键． 【变式5-1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)分别求出线段，的长度（图中，，，均为网格线交点）； (2)在图中画线段，使得的长为；判断以，，三条线段是否构成直角三角形，并说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析；以，，三条线段能构成直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理可得是一个两直角边长都为2的直角三角形的斜边，据此作图即可；可证明，据此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：如图所示，即为所求； 以，，三条线段能构成直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴以，，三条线段能构成直角三角形． 【变式5-2】如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合． （1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH； （2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ＝MN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据方格纸的特点,只要在AB与CD边上的点不对称就可以得到不平行,再根据勾股定理确定长度,画法不唯一. （2）根据勾股定理分别算出PQ和MN,使得PQ＝MN的点即为所求的点. 【详解】（1）由EF=GH=,可得图形如下图: （2）如图所示,,. 所以, 得到: PQ＝MN. 【点睛】本题主要考查了利用格点作图的知识点,利用勾股定理的知识点结合求解即可. 【变式5-3】（25-26八年级下·北京·期中）已知：如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)线段的长为______，的长为______，的长为______． 【答案】(1) (2)，，5 【分析】（1）根据网格特征得出，，故四边形是平行四边形，即． （2）结合小正方形的边长为1以及勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：依题意，，，． 【题型6 网格中画三角形】 【例6】如图，在5×5的方格纸中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，点A、B均在格点上，按下列要求画图． (1)在图1中画格点，使是等腰三角形． (2)在图2中画格点，使是直角三角形，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查格点作图． （1）根据等腰三角形的定义，画出即可； （2）利用勾股定理和逆定理，画出即可． 掌握等腰三角形的定义和勾股定理及其逆定理，是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求(答案不唯一)； （2）如图所示，即为所求； 由图可知：， ∴， 即：是直角三角形，且． 【变式6-1】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画三角形： (1)以格点为顶点画一个三角形，使三边长分别为2，3， (2)判断（1）中的三角形是否为直角三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形 【详解】解：（1）如图：即为所求， （2）由勾股定理可知，三边正好为勾股弦，即， （1）中的三角形是直角三角形． 【变式6-2】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数． 【答案】(1)图见解析（答案不唯一） (2)图见解析（答案不唯一） 【分析】（1）利用勾股定理：，画一个三边分别为：的三角形； （2）画出一个三边分别为：的三角形． 【详解】（1）解：如图，即为所求；（答案不唯一） 此时：； （2）解：如图，即为所求；（答案不唯一） 此时：． 【点睛】本题考查网格中作三角形．熟练掌握勾股定理，以及无理数的定义，是解题的关键． 【变式6-3】（25-26八年级下·北京·期中）如图1，在等边三角形的网格中，每个小三角形的边长为1．借助网格，画出了三个大小不同的等边三角形（顶点均在格点上）． (1)等边的边长为___________； (2)如图2，已知线段，点P，Q均为格点．在图2中完成下面的画图和探究： ①画图：以为一边画格点三角形，使它另外两边长分别等于4和； ②探究：通过适当的几何变换，以的三条中线长为三边长画三角形，记为；若记的面积为，的面积为，直接写出和之间的等量关系___________． 【答案】(1) (2)①图见详解；② 【分析】（1）过点C作于点E，由题意知：，然后根据勾股定理可进行求解； （2）①结合菱形的性质及勾股定理可进行作图； ②分别画出三条边上的中线，过点P作，由图可知：，，，然后可得是直角三角形，，进而问题可求解． 【详解】（1）解：过点C作于点E，如图所示： 由题意知：， ∴，， ∴， 即等边的边长为； （2）解：①所作如图所示： 由图可知：， 根据菱形的性质及平行线的性质可知：， 由（1）可知：图形中小等边三角形的每条边上的高都为，， ∴， ∴， ∴所作符合题意； ②如图，分别画出三条边上的中线，过点P作， 由图可知：，，， ∴， 即三条边上的中线长分别为，，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， 过点M作，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， ∴，即． 【题型7 网格中画直角三角形】 【例7】如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图①中，画一个直角三角形，使它的一边长是无理数，另外两边长是有理数； (2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； (3)在图③中，画一个面积最大的直角三角形，使它的三边长都是无理数． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）画一个两条直角边分别为2，1的直角三角形即可； （2）画一个直角边为的等腰直角三角形即可； （3）根据网格特点，画出一个直角边长为的等腰直角三角形即可. 【详解】（1）解：由题意作图如下： （2）解：由题意，作图如下： （3）解：由题意，作图如下： 【变式7-1】（24-25八年级上·江西九江·阶段检测）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图a中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图b中，画一个直角三角形，使它的斜边长为； 【答案】(1) 如图，即为所求；（答案不唯一） (2) 如图，即为所求；（答案不唯一） 【分析】本题考查网格中作三角形．熟练掌握勾股定理，以及无理数的定义，是解题的关键． （1）利用勾股定理：，画一个三边分别为：的三角形； （2）由，画出一个三边分别为：的三角形． 【详解】（1）解：此时：； （2）解：此时：． 【变式7-2】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中，画一个三边长都是有理数的直角三角形； （2）在图2中，画一个以BC为斜边的直角三角形，使它们的三边长都是无理数且都不相等； （3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）如图，AB=4，BC=3，，利用勾股定理逆定理即可得到△ABC是直角三角形； （2）如图， ，，利用勾股定理逆定理即可得到△ABC是直角三角形； （3）如图， ，则，∠ABC=90°，即可得到四边形ABCD是正方形，． 【详解】解：（1）如图所示，AB=4，BC=3，， ∴， ∴△ABC是直角三角形； （2）如图所示， ， ∴， ∴△ABC是直角三角形； （3）如图所示，， ， ∴， ∴∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴． 【点睛】本题主要考查了有理数与无理数，正方形的判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知相关知识是解题的关键． 【变式7-3】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）问题背景：在中，，，，求这个三角形的面积．佳佳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网络就能计算它的面积． (1)请你将的面积直接填写在横线上： ； (2)在图2中画，使，，，判断这个三角形形状，并说明理由． (3)在图3中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数． 【答案】(1) (2)为直角三角形， 如图，即为所求． 为直角三角形． 理由：∵，，， ∴， ∴， ∴为直角三角形． (3) 图3，即为所求（答案不唯一）． 【分析】（1）利用割补法求三角形的面积即可． （2）借助网格，结合勾股定理画图，再利用勾股定理、勾股定理的逆定理可得结论． （3）借助网格，利用勾股定理、勾股定理的逆定理按要求画图即可． 【详解】（1）解：的面积为 故答案为：. （2）略 （3）略 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图、无理数、二次根式的应用、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理与网格（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 网格中判断三角形形状】 1 【题型2 网格中求角度】 2 【题型3 网格中求长度】 3 【题型4 网格中求最值】 4 【题型5 网格中画线段】 5 【题型6 网格中画三角形】 7 【题型7 网格中画直角三角形】 8 【题型1 网格中判断三角形形状】 【例1】如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 【变式1-1】如图中的小方格都是边长为1的正方形，则的形状为（　　）    A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或者直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式1-2】如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 【变式1-3】如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．已知A、B、C、D均为格点，按要求解答：    (1)的形状为__________（按边分）；的形状为__________（按角分）； (2)画的平分线与的延长线交于点E，连接，请直接写出与的长度比为__________； (3)请画出的边上的中线，请直线写出与的面积比为__________． 【题型2 网格中求角度】 【例2】（25-26八年级下·四川泸州·阶段检测）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则的度数为_____． 【变式2-1】（25-26八年级下·河南商丘·期末）如图，在正方形网格中，每一小格的边长为1，网格内有，则∠APB的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，点都在格点（网格线的交点）上，与相交于点，则的度数为___________． 【题型3 网格中求长度】 【例3】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在边长为的正方形网格中，点，，，，均在格点上，则下列线段中长度为的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是）中，标记格点（网格线的交点），，，，则下列线段中，长度为的是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变式3-2】（25-26八年级下·山西阳泉·期中）新考法如图1，在小正方形的边长为1的的网格中，，，，，各点都在格点上，如图2是一条数轴，其中点所表示的数可能是网格中线段____________的长度.（填“”“”“”或“”） 【变式3-3】图中每个小方格的边长是1，若线段EF能与线段AB、CD组成一个直角三角形，则线段EF的长度是_____． 【题型4 网格中求最值】 【例4】（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．若点P为直线上任意一点，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D．2 【变式4-1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在正方形格点上，则点A与线段上的点之间的最小值为_________． 【变式4-2】在如图所示的方格中，点都在格点上，且是线段上的动点，连结． (1)设，用含字母x的代数式分别表示线段的长，并求当的时候，的值； (2)是否存在最小值？若存在，求出其最小值． 【变式4-3】（25-26八年级下·山东德州·期末）如图，每个小正方形的边长都为1，点、、均在格点上． (1)①要在上找一点，使得最短．作法为：连接点与点 （、、选其一），所连线段与的交点即为所求点； ②证明上述作法； (2)在（1）的基础上，在边上找一点，求最小值． 【题型5 网格中画线段】 【例5】网格直尺画图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上，仅利用无刻度直尺完成下列作图（注：下列求作的点都是格点）． (1)过点C画线段CD使得且CD=AB； (2)过点A画线段AG，使得AG⊥BC，垂足为G； (3)过点A画线段AB的垂线，交BC于点H． 【变式5-1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)分别求出线段，的长度（图中，，，均为网格线交点）； (2)在图中画线段，使得的长为；判断以，，三条线段是否构成直角三角形，并说明理由． 【变式5-2】如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合． （1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH； （2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ＝MN． 【变式5-3】（25-26八年级下·北京·期中）已知：如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)线段的长为______，的长为______，的长为______． 【题型6 网格中画三角形】 【例6】如图，在5×5的方格纸中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，点A、B均在格点上，按下列要求画图． (1)在图1中画格点，使是等腰三角形． (2)在图2中画格点，使是直角三角形，且． 【变式6-1】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画三角形： (1)以格点为顶点画一个三角形，使三边长分别为2，3， (2)判断（1）中的三角形是否为直角三角形？ 【变式6-2】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数． 【变式6-3】（25-26八年级下·北京·期中）如图1，在等边三角形的网格中，每个小三角形的边长为1．借助网格，画出了三个大小不同的等边三角形（顶点均在格点上）． (1)等边的边长为___________； (2)如图2，已知线段，点P，Q均为格点．在图2中完成下面的画图和探究： ①画图：以为一边画格点三角形，使它另外两边长分别等于4和； ②探究：通过适当的几何变换，以的三条中线长为三边长画三角形，记为；若记的面积为，的面积为，直接写出和之间的等量关系___________． 【题型7 网格中画直角三角形】 【例7】如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图①中，画一个直角三角形，使它的一边长是无理数，另外两边长是有理数； (2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； (3)在图③中，画一个面积最大的直角三角形，使它的三边长都是无理数． 【变式7-1】（24-25八年级上·江西九江·阶段检测）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图a中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图b中，画一个直角三角形，使它的斜边长为； 【变式7-2】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中，画一个三边长都是有理数的直角三角形； （2）在图2中，画一个以BC为斜边的直角三角形，使它们的三边长都是无理数且都不相等； （3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10． 【变式7-3】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）问题背景：在中，，，，求这个三角形的面积．佳佳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网络就能计算它的面积． (1)请你将的面积直接填写在横线上： ； (2)在图2中画，使，，，判断这个三角形形状，并说明理由． (3)在图3中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $