专题01 勾股定理与逆定理常见题型（题型专练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“概念-方法-应用”为主线，系统整合勾股定理求长度、逆定理判定及证明三大题型，通过典例引领与变式训练，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用勾股定理求线段长度|1典例+10变式|勾股定理及变式应用（含动态/实际问题）|从定理概念到变式拓展，结合网格、生活场景强化应用意识| |勾股定理的逆定理|1典例+9变式|逆定理判定及勾股数应用|通过三边关系判定直角三角形，衔接勾股数规律探究| |勾股定理的证明|1典例+5变式|等面积法（赵爽弦图等三种证法）|以面积关系为核心，构建定理推导的逻辑链条|

专题01 勾股定理与逆定理常见题型 （题型突破·举一反三） 题型01 利用勾股定理求线段长度 题型02 勾股定理的逆定理 题型03 勾股定理的证明 ▌题型01 利用勾股定理求线段长度 1．勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 2．表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么 3．变式：①a²=c²- b²；②b²=c²- a² 4．适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 【典例1】（25-26八年级上·重庆·期中）小明从家走到邮局用了分钟，然后右转弯用同样的速度走了分钟到达书店（如图所示），已知书店距离邮局米，那么小明家距离书店（　　） A．米 B．米 C．米 D．米    【变式1-1】如图，在边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，下列选项中最短的线段是（    ） A．AB B．BC C．AE D．CD 【变式1-2】若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的平方为（    ） A．13 B．169 C．169或225 D．169或119 【变式1-3】如图，在中，为直线上一动点，连接，则线段长度的最小值是 ． 【变式1-4】如图，左边为参加年国庆周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与全等的三角形是（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在正方形网格的格点上，，，， (1)请在网格中画出； (2)过点C作于D，求． 【变式1-6】（25-26八年级上·山西阳泉·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 【变式1-7】消防云梯的使用可以大幅度提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，一架云梯斜靠在墙上，已知米，云梯的长度比云梯底端到墙的距离长18米． (1)求云梯的长度． (2)现云梯顶端下方4米C处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点C处，则云梯底端在水平方向上滑动距离为多少米？ 【变式1-8】如图，在中，，，D为的中点， ．求 的面积． 【变式1-9】，，，高，则的周长为（    ） A．32 B．42 C．32或42 D．38或42 【变式1-10】（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且，点Q处有一座火箭发射塔，，假设龙卷风来临时，周围150km内都会受到大风影响．    (1)若龙卷风恰好沿公路由B向A处行进，火箭发射塔是否会受到影响？请说明理由； (2)已知龙卷风的速度为300km/h，若受影响，那么火箭发射塔受影响的时间为多少分钟？ ▌题型02 勾股定理的逆定理 1.概念内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 2.注意事项： （1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，若=则以，，为三边的三角形是直角三角形； （2）定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 【典例2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知：的三边满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式2-1】下列各组线段能构成直角三角形的一组是（    ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．，， 【变式2-2】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国著名的《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．4，5，6 B．5，7，8 C．3，4，5 D．5，10，13 【变式2-3】观察下列几组勾股数：①、、；②、、；③、、；④、、；…根据上面的规律，写出第8组勾股数： ． 【变式2-4】已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件能判断是直角三角形的个数有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-5】（25-26八年级上·山东济宁·期中）给出下列命题：其中，正确命题的个数为(    ) ①在直角三角形中，已知两边长为和，则第三边长为； ②三角形的三边、、满足，则； ③中，若：：：：，则是直角三角形； ④中，若：：：：，则这个三角形是直角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-6】如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【变式2-7】五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-8】（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为（    ）    A．24 B．36 C．48 D．12 【变式2-9】（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（    ）    A． B． C． D． ▌题型03 勾股定理的证明 1.基本方法：等面积法，即用两种方法表示同一个图形的面积，得到两个不一样的式子，建立等式，得到结论。 2.常见证明方法： 赵爽弦图 毕达哥拉斯证法 加菲尔德证法 【典例3】（25-26八年级上·安徽六安·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．B． C． D． 【变式3-1】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a-b)2的值是(　　) A．1 B．2 C．12 D．13 【变式3-2】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）如图，在四边形中， ，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-3】用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形． 解答下列问题： （1）请用含、、的代数式表示大正方形的面积. 方法1： ；方法2： . （2）根据图2，利用图形的面积关系，推导、、之间满足的关系式. （3）利用（2）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积. 【变式3-4】（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，所以4×ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)试用勾股定理解决以下问题： 如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ． 【变式3-5】“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（    ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理与逆定理常见题型 （题型突破·举一反三） ▌题型01 利用勾股定理求线段长度 【典例1】 【答案】B 【分析】考查了勾股定理在实际生活中的应用．利用勾股定理求出小明家到书店所用的时间，求出小明的速度，再求小明家距离书店的距离． 【详解】解：小明家到书店所用的时间为分钟， 又小明的速度为米分钟， 故小明家距离书店的距离为米． 故选：B． 【变式1-1】 【答案】C 【分析】根据勾股定理可计算给出线段的长，则可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得，，，，， ∴， ∴最短的线段是AE． 故选：C． 【变式1-2】 【答案】D 【分析】根据勾股定理和题意分类讨论即可． 【详解】解：①当一直角三角形两条直角边的长为12和5时， 由勾股定理得，第三边的长的平方为13， ②当一直角三角形的斜边和一条直角边分别为12和5时， 由勾股定理得，第三边的长的平方为119， 故选：D． 【变式1-3】 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理、垂线段最短，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么．过点作于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：过点作于， 由垂线段最短可知，此时最小， 由勾股定理得，， ，即， 解得，， 故答案为：． 【变式1-4】 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，由勾股定理分别求出每个三角形的边长，再根据全等三角形的判定方法逐一判断即可求解，掌握勾股定理和全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理可得，，，， 、在中，，，，与三边不对应相等，故和不会全等，该选项不合题意； 、在中，，，，与三边不对应相等，故和不会全等，该选项不合题意； 、在中，，，，与三边对应相等，故和会全等，该选项符合题意； 、在中，，，，与三边不对应相等，故和不会全等，该选项不合题意； 故选：． 【变式1-5】 【答案】(1)见详解；(2) 【分析】（1）利用勾股定理及数形结合的思想画出三角形即可； （2）利用面积法即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，先作，再作取点，使，， 即为所求； （2）解:如图， 边上的高为2， ， ，所以． 答：的长为． 【变式1-6】 【答案】C 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示：    由题意可知，， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， 它要飞回巢中所需的时间至少是（）， 故选：C． 【变式1-7】 【答案】(1)25米；(2)8米 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． （1）设米，则米，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可； （2）根据题意可得：米，米，米，则米，根据勾股定理可得米，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：设米，则米， 根据勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴云梯的长度为25米． （2）解：根据题意可得：米，米，米， ∴米， 根据勾股定理可得：（米）， ∴（米）． 即云梯底端在水平方向上滑动距离为8米． 【变式1-8】 【答案】30． 【分析】根据得 ，，进而利用勾股定理即可求得，从而即可求解． 【详解】解：如图2中，延长 到T，使得 ，连接 ．     由（1）可知，    ∴ ，， ∴，     ∴， ∴． 【变式1-9】 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，存在种情况，是锐角三角形和钝角三角形时，高分别在的内部和外部，结合勾股定理即可求解． 【详解】如下图，是锐角三角形， ∵是高， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，， ∴的周长为：； 如下图，是钝角三角形， 则的周长为：； 故选C． 【变式1-10】 【答案】(1)受影响，理由见解析 (2)火箭发射塔受影响的时间为36分钟 【分析】（1）过点Q作于点H，只要计算的长与150作比较，若比150小，则受影响，反之，则不受影响； （2）设龙卷风行至点E处开始影响火箭发射塔，在点F处结束影响，连接，勾股定理求出的长，则可得的长，再除以其速度即得时间． 【详解】（1）受影响．理由如下： 过点Q作于点H， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，在中，， ∴． ∴火箭发射塔会受到大风的影响．    （2）设龙卷风行至点E处开始影响火箭发射塔，在点F处结束影响，连接，则， 在中，． ∵，， ∴， ∴， ∴（小时）（分钟）． ∴火箭发射塔受影响的时间为36分钟． ▌题型02 勾股定理的逆定理 【典例2】 【答案】B 【分析】由平方数，绝对值，算术平方根的非负性求解待定参数值，根据勾股定理逆定理判断． 【详解】由，得， ∴． ∴． ∴是直角三角形． 故选：B 【变式2-1】 【答案】B 【分析】根据勾股定理逆定理直接判断即可． 【详解】解：A．，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意； B．，故此选项能构成直角三角形，符合题意； C．，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意； D．，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【变式2-2】 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股数．关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数．根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，不是“勾股数”，故本选项符合题意； D、，是“勾股数”，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-3】 【答案】，， 【分析】本题考查的是勾股数，数字类规律探究；观察已知数据可得每组第一个数组数，第二个数组数组数，第三个数组数组数，再把代入，整理即可得到答案． 【详解】第一组：，，； 第二组：，，； …， 第四组为：，，. …， 则第组第一个数为：，第二个数为：，第三个数为：． ∴第八组：，， 故答案为：，，． 【变式2-4】 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理． 利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：①， ∴， ∵ ∴ ∴，故是直角三角形； ②，则，故是直角三角形； ③，则，故不是直角三角形； ④，因为，则是直角三角形； ⑤∵， ∴，故是直角三角形； ⑥∵， ∴， ∵ ∴ ∴，故不是直角三角形； 综上所述，是直角三角形的个数有4个， 故选：C． 【变式2-5】 【答案】B 【分析】根据勾股定理以及勾股定理的逆定理判定①②④，根据三角形内角和定理判断③，即可求解． 【详解】①错误，因为没有说明、是直角边，还是斜边； ②错误，三角形的三边、、满足，则； ③正确，：：：：，，所以是直角三角形； ④正确，设，，， 则 ∴是直角三角形． 故选B． 【变式2-6】 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：由图形可知：；；， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【变式2-7】 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A．，，故A不正确； B．，，故B正确； C．，，故C不正确； D．，，故D不正确． 故选：B． 【变式2-8】 【答案】A 【分析】连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接．      在中，，即，，， ∴． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故选：A． 【变式2-9】 【答案】B 【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得菜地的面积． 【详解】解：连接AC 在中，，，，， 在中，，， ∴ ∴是直角三角形，且． ∴ ∴这块菜地的面积是 故选：B    ▌题型03 勾股定理的证明 【典例3】 【答案】C 【分析】根据等面积法证明即可． 【详解】解：A．，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．， 根据图形不能证明勾股定理； D．，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-1】 【答案】A 【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a-b）2=a2-2ab+b2即可求解． 【详解】根据勾股定理可得a2+b2=13 四个直角三角形的面积是：ab×4=13−1=12，即：2ab=12 则(a−b)2=a2−2ab+b2=13−12=1 故选：A 【变式3-2】 【答案】D 【分析】利用可证，故①正确；由全等三角形的性质可得出，，求出，即可得到②正确；根据梯形的面积公式可得③正确；根据列式，可得④正确；整理后可得，即⑤正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴，故①正确； ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴梯形的面积是，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 整理得：， ∴该图可以验证勾股定理，故⑤正确； 正确的结论个数是5个， 故选：D． 【变式3-3】 【答案】（1） ，  ；（2） ；（3）1. 【分析】（1）方法1、根据正方形面积公式求出即可； 方法2、根据大正方形面积等于4个直角三角形面积加小正方形的面积，即可得出答案； （2）根据大正方形面积相等，即可得出等式； （3）由大正方形的面积是25可得=25，利用完全平分公式，可得 ，则2ab=24，根据小正方形的面积 ，即可解答． 【详解】解：（1）方法1：大正方形的边长是，面积是 ， 方法2：大正方形面积等于4个直角三角形面积加小正方形的面积，即  ； （2）= = ； （3）∵正方形的面积是25， ∴=25， ∵ ∴，2ab=24， ∴小正方形的面积：=25-24=1. 故答案为（1） ，  ；（2） ；（3）1. 【变式3-4】 【答案】（1）见解析；（2）； 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高； 【详解】（1）S梯形ABCD= ，S梯形ABCD= ∴a2＋ab＋b2=2×ab＋c2 即a2＋b2=c2； （2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4， ∴斜边为=5， ∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4＝×5×h， ∴h＝   故答案为； 【变式3-5】 【答案】D 【分析】设图中直角三角形的两条直角边长分别为，斜边为，根据题意“空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25”可得，将两式相加并求解即可获得答案． 【详解】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为，斜边为， ∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25， ∴可有， 解得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴大正方形的边长是． 故选：D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理与逆定理常见题型 （题型突破·举一反三） 题型01 利用勾股定理求线段长度 题型02 勾股定理的逆定理 题型03 勾股定理的证明 ▌题型01 利用勾股定理求线段长度 1．勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 2．表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么 3．变式：①a²=c²- b²；②b²=c²- a² 4．适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 【典例1】（25-26八年级上·重庆·期中）小明从家走到邮局用了分钟，然后右转弯用同样的速度走了分钟到达书店（如图所示），已知书店距离邮局米，那么小明家距离书店（　　） A．米 B．米 C．米 D．米    【答案】B 【分析】考查了勾股定理在实际生活中的应用．利用勾股定理求出小明家到书店所用的时间，求出小明的速度，再求小明家距离书店的距离． 【详解】解：小明家到书店所用的时间为分钟， 又小明的速度为米分钟， 故小明家距离书店的距离为米． 故选：B． 【变式1-1】如图，在边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，下列选项中最短的线段是（    ） A．AB B．BC C．AE D．CD 【答案】C 【分析】根据勾股定理可计算给出线段的长，则可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得，，，，， ∴， ∴最短的线段是AE． 故选：C． 【变式1-2】若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的平方为（    ） A．13 B．169 C．169或225 D．169或119 【答案】D 【分析】根据勾股定理和题意分类讨论即可． 【详解】解：①当一直角三角形两条直角边的长为12和5时， 由勾股定理得，第三边的长的平方为13， ②当一直角三角形的斜边和一条直角边分别为12和5时， 由勾股定理得，第三边的长的平方为119， 故选：D． 【变式1-3】如图，在中，为直线上一动点，连接，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理、垂线段最短，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么．过点作于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：过点作于， 由垂线段最短可知，此时最小， 由勾股定理得，， ，即， 解得，， 故答案为：． 【变式1-4】如图，左边为参加年国庆周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与全等的三角形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，由勾股定理分别求出每个三角形的边长，再根据全等三角形的判定方法逐一判断即可求解，掌握勾股定理和全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理可得，，，， 、在中，，，，与三边不对应相等，故和不会全等，该选项不合题意； 、在中，，，，与三边不对应相等，故和不会全等，该选项不合题意； 、在中，，，，与三边对应相等，故和会全等，该选项符合题意； 、在中，，，，与三边不对应相等，故和不会全等，该选项不合题意； 故选：． 【变式1-5】如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在正方形网格的格点上，，，， (1)请在网格中画出； (2)过点C作于D，求． 【答案】(1)见详解；(2) 【分析】（1）利用勾股定理及数形结合的思想画出三角形即可； （2）利用面积法即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，先作，再作取点，使，， 即为所求； （2）解:如图， 边上的高为2， ， ，所以． 答：的长为． 【变式1-6】（25-26八年级上·山西阳泉·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示：    由题意可知，， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， 它要飞回巢中所需的时间至少是（）， 故选：C． 【变式1-7】消防云梯的使用可以大幅度提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，一架云梯斜靠在墙上，已知米，云梯的长度比云梯底端到墙的距离长18米． (1)求云梯的长度． (2)现云梯顶端下方4米C处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点C处，则云梯底端在水平方向上滑动距离为多少米？ 【答案】(1)25米；(2)8米 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． （1）设米，则米，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可； （2）根据题意可得：米，米，米，则米，根据勾股定理可得米，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：设米，则米， 根据勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴云梯的长度为25米． （2）解：根据题意可得：米，米，米， ∴米， 根据勾股定理可得：（米）， ∴（米）． 即云梯底端在水平方向上滑动距离为8米． 【变式1-8】如图，在中，，，D为的中点， ．求 的面积． 【答案】30． 【分析】根据得 ，，进而利用勾股定理即可求得，从而即可求解． 【详解】解：如图2中，延长 到T，使得 ，连接 ．     由（1）可知，    ∴ ，， ∴，     ∴， ∴． 【变式1-9】，，，高，则的周长为（    ） A．32 B．42 C．32或42 D．38或42 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，存在种情况，是锐角三角形和钝角三角形时，高分别在的内部和外部，结合勾股定理即可求解． 【详解】如下图，是锐角三角形， ∵是高， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，， ∴的周长为：； 如下图，是钝角三角形， 则的周长为：； 故选C． 【变式1-10】（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且，点Q处有一座火箭发射塔，，假设龙卷风来临时，周围150km内都会受到大风影响．    (1)若龙卷风恰好沿公路由B向A处行进，火箭发射塔是否会受到影响？请说明理由； (2)已知龙卷风的速度为300km/h，若受影响，那么火箭发射塔受影响的时间为多少分钟？ 【答案】(1)受影响，理由见解析 (2)火箭发射塔受影响的时间为36分钟 【分析】（1）过点Q作于点H，只要计算的长与150作比较，若比150小，则受影响，反之，则不受影响； （2）设龙卷风行至点E处开始影响火箭发射塔，在点F处结束影响，连接，勾股定理求出的长，则可得的长，再除以其速度即得时间． 【详解】（1）受影响．理由如下： 过点Q作于点H， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，在中，， ∴． ∴火箭发射塔会受到大风的影响．    （2）设龙卷风行至点E处开始影响火箭发射塔，在点F处结束影响，连接，则， 在中，． ∵，， ∴， ∴， ∴（小时）（分钟）． ∴火箭发射塔受影响的时间为36分钟． ▌题型02 勾股定理的逆定理 1.概念内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 2.注意事项： （1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，若=则以，，为三边的三角形是直角三角形； （2）定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 【典例2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知：的三边满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】由平方数，绝对值，算术平方根的非负性求解待定参数值，根据勾股定理逆定理判断． 【详解】由，得， ∴． ∴． ∴是直角三角形． 故选：B 【变式2-1】下列各组线段能构成直角三角形的一组是（    ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．，， 【答案】B 【分析】根据勾股定理逆定理直接判断即可． 【详解】解：A．，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意； B．，故此选项能构成直角三角形，符合题意； C．，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意； D．，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【变式2-2】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国著名的《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．4，5，6 B．5，7，8 C．3，4，5 D．5，10，13 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股数．关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数．根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，不是“勾股数”，故本选项符合题意； D、，是“勾股数”，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-3】观察下列几组勾股数：①、、；②、、；③、、；④、、；…根据上面的规律，写出第8组勾股数： ． 【答案】，， 【分析】本题考查的是勾股数，数字类规律探究；观察已知数据可得每组第一个数组数，第二个数组数组数，第三个数组数组数，再把代入，整理即可得到答案． 【详解】第一组：，，； 第二组：，，； …， 第四组为：，，. …， 则第组第一个数为：，第二个数为：，第三个数为：． ∴第八组：，， 故答案为：，，． 【变式2-4】已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件能判断是直角三角形的个数有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理． 利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：①， ∴， ∵ ∴ ∴，故是直角三角形； ②，则，故是直角三角形； ③，则，故不是直角三角形； ④，因为，则是直角三角形； ⑤∵， ∴，故是直角三角形； ⑥∵， ∴， ∵ ∴ ∴，故不是直角三角形； 综上所述，是直角三角形的个数有4个， 故选：C． 【变式2-5】（25-26八年级上·山东济宁·期中）给出下列命题：其中，正确命题的个数为(    ) ①在直角三角形中，已知两边长为和，则第三边长为； ②三角形的三边、、满足，则； ③中，若：：：：，则是直角三角形； ④中，若：：：：，则这个三角形是直角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据勾股定理以及勾股定理的逆定理判定①②④，根据三角形内角和定理判断③，即可求解． 【详解】①错误，因为没有说明、是直角边，还是斜边； ②错误，三角形的三边、、满足，则； ③正确，：：：：，，所以是直角三角形； ④正确，设，，， 则 ∴是直角三角形． 故选B． 【变式2-6】如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：由图形可知：；；， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【变式2-7】五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A．，，故A不正确； B．，，故B正确； C．，，故C不正确； D．，，故D不正确． 故选：B． 【变式2-8】（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为（    ）    A．24 B．36 C．48 D．12 【答案】A 【分析】连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接．      在中，，即，，， ∴． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故选：A． 【变式2-9】（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得菜地的面积． 【详解】解：连接AC 在中，，，，， 在中，，， ∴ ∴是直角三角形，且． ∴ ∴这块菜地的面积是 故选：B    ▌题型03 勾股定理的证明 1.基本方法：等面积法，即用两种方法表示同一个图形的面积，得到两个不一样的式子，建立等式，得到结论。 2.常见证明方法： 赵爽弦图 毕达哥拉斯证法 加菲尔德证法 【典例3】（25-26八年级上·安徽六安·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等面积法证明即可． 【详解】解：A．，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．， 根据图形不能证明勾股定理； D．，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-1】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a-b)2的值是(　　) A．1 B．2 C．12 D．13 【答案】A 【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a-b）2=a2-2ab+b2即可求解． 【详解】根据勾股定理可得a2+b2=13 四个直角三角形的面积是：ab×4=13−1=12，即：2ab=12 则(a−b)2=a2−2ab+b2=13−12=1 故选：A 【变式3-2】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）如图，在四边形中， ，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】利用可证，故①正确；由全等三角形的性质可得出，，求出，即可得到②正确；根据梯形的面积公式可得③正确；根据列式，可得④正确；整理后可得，即⑤正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴，故①正确； ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴梯形的面积是，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 整理得：， ∴该图可以验证勾股定理，故⑤正确； 正确的结论个数是5个， 故选：D． 【变式3-3】用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形． 解答下列问题： （1）请用含、、的代数式表示大正方形的面积. 方法1： ；方法2： . （2）根据图2，利用图形的面积关系，推导、、之间满足的关系式. （3）利用（2）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积. 【答案】（1） ，  ；（2） ；（3）1. 【分析】（1）方法1、根据正方形面积公式求出即可； 方法2、根据大正方形面积等于4个直角三角形面积加小正方形的面积，即可得出答案； （2）根据大正方形面积相等，即可得出等式； （3）由大正方形的面积是25可得=25，利用完全平分公式，可得 ，则2ab=24，根据小正方形的面积 ，即可解答． 【详解】解：（1）方法1：大正方形的边长是，面积是 ， 方法2：大正方形面积等于4个直角三角形面积加小正方形的面积，即  ； （2）= = ； （3）∵正方形的面积是25， ∴=25， ∵ ∴，2ab=24， ∴小正方形的面积：=25-24=1. 故答案为（1） ，  ；（2） ；（3）1. 【变式3-4】（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，所以4×ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)试用勾股定理解决以下问题： 如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ． 【答案】（1）见解析；（2）； 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高； 【详解】（1）S梯形ABCD= ，S梯形ABCD= ∴a2＋ab＋b2=2×ab＋c2 即a2＋b2=c2； （2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4， ∴斜边为=5， ∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4＝×5×h， ∴h＝   故答案为； 【变式3-5】“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设图中直角三角形的两条直角边长分别为，斜边为，根据题意“空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25”可得，将两式相加并求解即可获得答案． 【详解】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为，斜边为， ∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25， ∴可有， 解得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴大正方形的边长是． 故选：D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 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