精品解析：辽宁朝阳市北票市高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

高二下学期期末考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 3 3. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 已知，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 5. 已知等差数列，若，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 6. 已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的渐近线与以为圆心，面积为的圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，，则 C. 若，，，则的最小值为9 D. 若，，则的最大值为18 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小值为 B. 函数的一个对称中心为 C. 函数在区间单调递减 D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 11. 已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，，则（ ） A. B. 双曲线的离心率为 C. 与双曲线有两个交点 D. 的内心在轴上 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则__________． 13. 若正三棱锥的高为3，，二面角为，则______. 14. 已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则__________． 四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数， （1）求在处的切线方程； （2）求的单调区间和极值点． 16. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求角A的大小； （2）若，求的面积. 17. 已知，是抛物线：上的两点． （1）求抛物线的方程； （2）若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值． 18. 如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且． （1）求证：； （2）求二面角的大小； （3）侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）讨论函数的单调性； （3）函数有两个零点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期期末考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到，由函数定义域得到，再求交集即可． 【详解】解：，解得，即， ，，解得，即， ． 2. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以的虚部为. 3. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【详解】解不等式得或，若，则成立，满足充分性， 由得或，不能推出，不满足必要性， 故是的充分不必要条件． 4. 已知，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 所以，解得， 所以. 5. 已知等差数列，若，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 6. 已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 解法1：令得．由题意可知函数的图象与直线有三个交点，由图可知． 解法2：当时，． 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除B、D选项． 当时，， 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除C选项，故选A． 7. 已知双曲线的渐近线与以为圆心，面积为的圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据双曲线的渐近线公式与直线与圆的位置关系，可列方程，可得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为圆的圆心为，面积为，设圆的半径为， 则，故， 由渐近线与圆相切，则圆心到直线的距离，即， 所以双曲线的离心率为 8. 已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过求导，将条件转化为导数在区间上有解，从而分离参数，构造函数，利用函数的单调性即可得到的取值范围． 【详解】由，则， 又在区间上存在单调递增区间， 则存在，使得，即，即成立， 令，，则， 所以在上单调递减，且， 所以要使在上有解，只需， 故的取值范围是． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，，则 C. 若，，，则的最小值为9 D. 若，，则的最大值为18 【答案】AC 【解析】 【分析】A将分式不等式转化为整式不等式求解；B通过举反例或根据不等式乘法性质判断命题是否成立；C采用“1的代换”方法，结合基本不等式求目标式的最小值，再验证等号是否能取到；D设求出系数，再根据已知的两个区间范围，结合不等式的同向可加性求出的范围. 【详解】A，分式不等式等价于，整理得，解得或， A正确； B，举反例：若，满足，但，不等式不成立，B错误； C，已知，则， 等号成立当且仅当，最小值为9，C正确； D，设，解得，即， 已知，则，最大值为16， D错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小值为 B. 函数的一个对称中心为 C. 函数在区间单调递减 D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】ABC 【解析】 【分析】由三角恒等变换化简得，逐项验证即可判断. 【详解】由题意有， 对于A：的最小值为，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：由可得，由在单调递减，故C正确； 对于D：由的图象向左平移个单位得到， 显然与不是同一函数，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，，则（ ） A. B. 双曲线的离心率为 C. 与双曲线有两个交点 D. 的内心在轴上 【答案】BC 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点为，则，结合双曲线定义可求，，判断A，在中由余弦定理列方程求，判断B，结合关系求得双曲线的渐近线方程，根据直线与渐近线斜率大小关系结合图象判断C，利用反证法排除D. 【详解】对于A，设双曲线的右焦点为，连接， 由双曲线的对称性及直线过原点可得关于原点对称，又关于原点对称， 所以四边形是平行四边形，故， 因为，所以， 又，解得，，A错误， 对于B，因为，所以. 由余弦定理得， 所以，B正确， 对于C，由，，则双曲线的渐近线方程为， 因为，所以与双曲线有两个交点，C正确， 对于D，假设的内心在轴上，则有，，直线过坐标原点， 所以，即需要，矛盾，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】已知向量，，， 则，解得，因此． 13. 若正三棱锥的高为3，，二面角为，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】通过二面角的几何求法与长度关系先确定二面角的平面角为，再结合垂直关系求解即可. 【详解】如图，取棱的中点D，连接，， 过点P作底面的垂线，垂足为E，则E在线段上，且， 因为，，所以，， 所以二面角的平面角为. 因，所以，所以， 即，故. 14. 已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据为奇函数，确定的图象关于中心对称，根据复合函数求导确定的图象关于轴对称，进而确定函数周期，即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以，说明的图象关于中心对称， 令，得，解得，令，得， 将替换为，得，即， 已知，，所以， 由于，结合，可得，所以，其中为常数， 令，得，解得，所以，即的图象关于轴对称， 将替换为，得，结合，可得， 进一步推导，得，说明是一个周期为的周期函数， 已知，，由可知，，， 一个周期内的和为， 因为周期为，，所以表示个完整周期的和，再加上前两项， 因此. 四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数， （1）求在处的切线方程； （2）求的单调区间和极值点． 【答案】（1） （2）和上单调递增； 在上单调递减，极大值点为；极小值点为． 【解析】 【分析】（1）求导，求出切点处的函数值及导数值，再利用导数的几何意义得出切线方程； （2）求导，利用导数分析函数单调性，进而得出单调区间和极值点． 【小问1详解】 函数求导得，由已知切点， 由， 故切线方程为：，即． 【小问2详解】 由（1）可知， 若，即时，； 若，即时，． 在和上单调递增；在上单调递减； 的极大值点为；极小值点为． 16. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求角A的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，根据，求出； （2）由余弦定理得到，计算出，求出三角形面积. 【小问1详解】 由正弦定理得， 因为，所以， 故，即， 因为，所以； 【小问2详解】 ，， 由余弦定理得， 故，解得， 故. 17. 已知，是抛物线：上的两点． （1）求抛物线的方程； （2）若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）由点在曲线上，建立方程组解出对应参数值，得到抛物线方程； （2）由（1）写出直线方程，联立方程组，用韦达定理建立关系式，再利用基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 ∵，是抛物线C：上的两点， ∴，则，整理得，解得， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，故抛物线C方程为； 【小问2详解】 由（1）知C的焦点为，故直线l的方程为， 联立，得，必有， 设，，则， ∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 18. 如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且． （1）求证：； （2）求二面角的大小； （3）侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】（1） 在正四棱锥中，连接，连接，则点O是正方形的中心， 平面，而平面，则， 又 ， 平面，， 于是平面，而 平面， 所以. （2） ； （3） 存在， 【解析】 【分析】（1）连接，连接，利用正四棱锥的结构特征，结合线面垂直的性质判定推理即得. （2）由（1）的信息，确定二面角的平面角，再计算大小. （3）过点作一平面平行于平面，再确定该平面与的交点即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由（1）知，平面， 而平面，则， 于是是二面角的平面角，令正方形边长为， 则，有， 又， 则，， 因此，， 所以二面角的大小为. 【小问3详解】 存在. 在SP上取点N，使得，过N作交SC于点E，连BN， 由平面，平面，得平面， 由是的中点，得，而平面，平面，得平面， 又平面， 因此平面平面，而平面， 则平面，由（2）知，，即点是中点， 于是， 所以侧棱上存在一点E，使得平面，. 【点睛】关键点睛：本题是探求过定点的直线与已知平面平行的问题，过定点作与已知平面平行的平面是关键. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）讨论函数的单调性； （3）函数有两个零点，求证：． 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是 （2）当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （3）， 因为函数有两个零点，，不妨设， 则， 所以， 整理可得，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解，即可得解； （2）求得，对实数a的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （3）设，由已知等式推导出，将所证不等式等价变形为，令，即证，令，其中，令导数分析函数的单调性，即可证得结论成立． 【小问1详解】 函数的定义域为 当时，函数， 所以 令，解得，所以函数的减区间是． 令，解得 ，所以函数的增区间是． 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， ①当时，对任意的，， 当，；当 ，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时， 由可得，由可得或 ， 此时函数在上单调递减，在和上单调递增； ③当时，恒成立， 此时函数在上单调递增； ④当时 由可得，由可得或， 此时函数在上单调递减，在和上单调递增； 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $