精品解析：山西省大同市平城区部分学校 2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025—2026学年第二学期期末教学质量评价八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷及答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，12，15 C. 7，24，25 D. ，， 4. 平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相平分且相等 C. 对角线互相垂直平分且相等 D. 四条边相等，四个角相等 5. 八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（ ） A. 甲组跳绳次数的波动比乙组大 B. 乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C. 甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D. 乙组跳绳次数的最大值大于190 6. 、是正比例函数图像上的两点，下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点．若四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（    ） A. 4 B. C. 8 D. 9. 如图，已知一次函数与的图象相交于点，则二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中有所使用．如图1是一个圆形筒车的几何示意图，它按逆时针方向匀速旋转．设筒车的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m），在水面下则d为负数．若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间到下次盛水筒回到同一浮出水面位置，d与时间t（单位：s）之间的图象如图2所示，则的半径为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 12. 某公司对A，B两个型号的人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行打分，各项成绩均按百分制计，然后按语言交互能力占、分析能力占、学习能力占来计算两个型号的人工智能产品的综合能力得分．下表是A，B两个型号的人工智能产品三项能力的得分，则综合能力更强的是______（填“A”或“B”）型号人工智能产品． 型号 语言交互能力 分析能力 学习能力 A 70 90 80 B 75 80 90 13. 大自然处处蕴藏着数学之美．如图所示秋葵的截面图就呈现出漂亮的五边形．图中五边形的内角和等于________． 14. 如图，函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集为________． 15. 如图，在边长为的正方形中，点为的中点，连接，作的垂直平分线，分别交，，于点，，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，点A，C在对角线所在的直线上，且．求证：四边形是平行四边形． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，点是该直线上一点，且纵坐标为，过点的直线与轴交于点． （1）求直线的函数解析式． （2）请直接写出的面积． 19. 为迎接校园文化艺术节，学生会计划组建一支礼仪队.指导教师将通过初选的16位同学按照报名顺序分成两组，并对他们的身高进行统计． 数据收集： A组同学的身高（）： B组同学的身高（）： 数据整理： 组别 平均数 中位数 众数 方差 A组 166 165 B组 166 165 13 根据上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ，两组同学中身高更整齐的是 组（填“A”或“B”）； （2）在给A，B两组安排艺术节开幕式迎宾任务时，指导教师发现A组人手不够．于是从其余报名同学中又选了两人补充到A组，他们的身高分别是，．你认为人数增加后A组所有同学身高的平均数、方差与原来相比是否有变化？若有变化，请指出是变大还是变小． 20. 根据背景素材，探索解决问题． 测量风筝离地面的垂直高度（） 背景素材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢”． 操作步骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离为15米． ②测得牵线放风筝的手的位置A处到地面的距离为1.5米； （备注：点A，B，C，D在同一平面内．） 问题解决 任务一 （1）如图1，根据手中余线长度，计算出的长度为17米，求风筝离地面的垂直高度． （提示：过点A作于点E） 任务二 （2）如图2，在任务一的基础上，若手中剩余线仅有6米时，想要风筝沿射线方向再上升12米，即米，线段的长度不变，请问能否成功？并说明理由． 21. 阅读与思考 下面是小明同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 利用尺规，过直线外一点作已知直线的平行线 今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知直线和外一点，请利用尺规作的平行线，使它经过点． 同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组的作法如图2： ①在直线上任取一点，连接并延长至点，使， ②在直线上再取一点，连接， ③作的垂直平分线，交于点， ④作直线．则直线即为所求． 勤学小组的证明： ，点是的中点 是的垂直平分线，点是的中点 ∴是的中位线 ∴（依据 ），即 善思小组的作法如图3： ①在直线l上取点B，C两点，②作射线，③作的角平分线，④以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，⑤作直线．则直线即为所求． 善思小组的证明：…… （1）任务一：请补充上面证明过程中的“依据”：_______． （2）任务二：请完成善思小组的证明过程． （3）任务三：用不同于材料的方法过点A作直线l的平行线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22. “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了如图所示的简易计时装置．他们设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表，发现水面高度与流水时间（t为正整数）之间满足一次函数关系． 流水时间 0 10 20 30 40 … 水面高度（观察值） 30 28 26 24 22 … （1）求水面高度h与流水时间t之间的函数关系式； （2）按此速度，流水时间为1小时时，水面高度为多少厘米？ （3）按此速度，经过多长时间，甲容器内的水恰好流完？ 23. 综合与探究 数学活动课上，老师带领同学们利用矩形纸片开展折叠探究活动，同学们发现通过不同的折叠方式，能得到形状各异的四边形．请你结合矩形的性质与折叠的对称性，完成下列问题： （1）勤学小组先提出一个方法：如图1，将矩形沿过点B的直线折叠，使点A的对应点E落在边上，折痕与交于点F．试判断四边形的形状，并说明理由． （2）善思小组也提出一个方法：如图2，将矩形沿对角线折叠，点A的对应点为点E，与边相交与点F．过点B作交边于点G，求证：四边形是菱形． （3）如图3，若，，点M是的中点，点N是线段边上的动点，连接，将矩形沿折叠，点A的对应点为点E．在点N移动的过程中，若以E，D，C为顶点构成的三角形是以为腰的等腰三角形，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末教学质量评价八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷及答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式需要同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵选项A中同时满足上述两个条件，∴是最简二次根式； ∵选项B中，被开方数是小数即分数，含分母，不满足条件，可化为，因此不是最简二次根式； ∵选项C中，被开方数含分母，不满足条件，可化为，因此不是最简二次根式； ∵选项D中，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，可化为，因此不是最简二次根式． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的乘法运算等知识点，正确化简二次根式是解题的关键． 利用二次根式的性质、二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故计算错误，不符合题意； B、，故计算正确，符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、与不能合并，故计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，12，15 C. 7，24，25 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，否则不是，依次验证各组数即可． 【详解】解：A、，， ∴， ∴该组不能构成直角三角形，不符合题意； B、，， ∴ 该组不能构成直角三角形，不符合题意； C、， 该组能构成直角三角形，符合题意； D、，， ∴ 该组不能构成直角三角形，不符合题意． 4. 平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相平分且相等 C. 对角线互相垂直平分且相等 D. 四条边相等，四个角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形，菱形，矩形，正方形的基本性质，只需对比各图形的性质，找出四个图形共同具备的性质即可. 【详解】解：∵ 平行四边形的对角线互相平分，对角线不相等也不垂直，四条边不都相等； 菱形的对角线互相垂直平分，对角线不相等，四个角不都相等； 矩形的对角线相等且互相平分，对角线不垂直，四条边不都相等； 正方形的对角线互相垂直平分且相等，四条边相等，四个角相等； ∴ 四个图形都具有的性质只有对角线互相平分，因此选项A正确. 5. 八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（ ） A. 甲组跳绳次数的波动比乙组大 B. 乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C. 甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D. 乙组跳绳次数的最大值大于190 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图的特征，分别观察甲、乙两组数据的极差（波动情况）、中位数位置、下四分位数位置及最大值位置，结合选项逐一判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：甲组数据的极差约为，乙组数据的极差约为，且甲组箱体长度大于乙组，  则甲组跳绳次数的波动比乙组大， 故A选项说法正确； 甲组中位数（箱体内横线）约为180，乙组中位数约为170，  ，  乙组跳绳次数的中位数比甲组小， 故B选项说法正确； 甲组下四分位数（箱体下边缘）对应数值约为170， 甲组跳绳次数的下四分位数小于180， 故C选项说法错误； 乙组最大值（上须顶端）对应数值约为195，  乙组跳绳次数的最大值大于190， 故D选项说法正确． 6. 、是正比例函数图像上的两点，下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式可得该函数的增减性，再根据增减性可得对应函数值的大小． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∵、是正比例函数图像上的两点，且， ∴． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点．若四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，设，根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【详解】解： 设， 由平行四边形对角线中点坐标相同可得， ∴， ∴点D的坐标为； 故选：C． 8. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（    ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，点M是斜边的中点， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，已知一次函数与的图象相交于点，则二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．由一次函数和的图象交于点P的坐标是，可得二元一次方程组的解，从而可得答案． 【详解】解：由条件可得得，即， 所以，一次函数与的图象交于， 所以二元一次方程组的解是， 故选：C． 10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中有所使用．如图1是一个圆形筒车的几何示意图，它按逆时针方向匀速旋转．设筒车的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m），在水面下则d为负数．若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间到下次盛水筒回到同一浮出水面位置，d与时间t（单位：s）之间的图象如图2所示，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图2可得盛水筒到水面的最大距离，最小距离，设的半径为，圆心到水面的距离为，从而得，，即可解答； 【详解】解：从图2可得：盛水筒到水面的最大距离，最小距离， 设的半径为，圆心到水面的距离为， 当盛水筒在圆最高点时，到水面距离满足：， 当盛水筒在圆最低点时，到水面距离满足：， 整理得， 将两个等式相加，得，解得， 即的半径为． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，计算求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 某公司对A，B两个型号的人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行打分，各项成绩均按百分制计，然后按语言交互能力占、分析能力占、学习能力占来计算两个型号的人工智能产品的综合能力得分．下表是A，B两个型号的人工智能产品三项能力的得分，则综合能力更强的是______（填“A”或“B”）型号人工智能产品． 型号 语言交互能力 分析能力 学习能力 A 70 90 80 B 75 80 90 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数据的加权平均数，熟悉掌握数据的百分制运算是解题的关键，根据各组数据的百分制运算求解即可． 【详解】解：根据加权平均数的计算方法可得： A型号人工智能产品的综合能力得分为：， B型号人工智能产品的综合能力得分为：． ． 综合能力更强的是A． 故答案为：A． 13. 大自然处处蕴藏着数学之美．如图所示秋葵的截面图就呈现出漂亮的五边形．图中五边形的内角和等于________． 【答案】 【解析】 【详解】解：五边形的内角和． 14. 如图，函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到函数的图象在函数的图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得，当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴不等式的解集为． 15. 如图，在边长为的正方形中，点为的中点，连接，作的垂直平分线，分别交，，于点，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交于点，交于点，连接，易得四边形为平行四边形，得到，证明，得到，设，在中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵正方形，边长为， ∴，，， 过点作，交于点，交于点，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理，得：， 即，解得， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，在中，点A，C在对角线所在的直线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的性质可得，，再由，可得，即可求证． 【详解】证明：连接，交于点O． 四边形是平行四边形， ，． 又， ，即， ∴四边形是平行四边形． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，点是该直线上一点，且纵坐标为，过点的直线与轴交于点． （1）求直线的函数解析式． （2）请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用．掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）先求出点C的坐标，再求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出的解析式即可． （2）先求出点A的坐标，然后再根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：当时，则， 解得：， ∴， 把代入， 即， 解得：， 则， 令，则， 解得：， ∴， 设的解析式为：， 则， 解得：， 则的解析式为： 【小问2详解】 解：令，则， ∴， ∴， ∴ 19. 为迎接校园文化艺术节，学生会计划组建一支礼仪队.指导教师将通过初选的16位同学按照报名顺序分成两组，并对他们的身高进行统计． 数据收集： A组同学的身高（）： B组同学的身高（）： 数据整理： 组别 平均数 中位数 众数 方差 A组 166 165 B组 166 165 13 根据上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ，两组同学中身高更整齐的是 组（填“A”或“B”）； （2）在给A，B两组安排艺术节开幕式迎宾任务时，指导教师发现A组人手不够．于是从其余报名同学中又选了两人补充到A组，他们的身高分别是，．你认为人数增加后A组所有同学身高的平均数、方差与原来相比是否有变化？若有变化，请指出是变大还是变小． 【答案】（1）165.5；164；3.25；A （2）有变化，变小 【解析】 【分析】（1）将A组身高数据从小到大排序，取第4和第5个数的平均数得到中位数a，再找出B组中出现次数最多的数得到众数b，然后根据方差公式计算A组的方差m，最后比较两组方差大小，方差越小身高越整齐； （2）先计算新增两人身高的平均数，发现与原A组平均数相同，因此人数增加后A组身高的平均数不变，再计算新增数据与平均数的差的平方和，结合原方差的计算结果，得出新方差比原方差小． 【小问1详解】 解：把A组身高数据从小到大排序为：163，165，165，165，166，167，168，169， ∵A组有8个数据，中位数是第4和第5个数的平均数， ∴； ∵B组数据中164出现了3次，出现次数最多， ∴B组众数； ∵A组平均数是166， ∴； ∴； 比较两组方差，A组方差小于B组的13，方差越小数据越整齐，所以身高更整齐的是A组； 【小问2详解】 解：新增两人身高的平均数为，和原A组的平均数相同， ∴人数增加后A组身高的平均数不变， ∵原A组数据与平均数差的平方和是26， 新增的两个数与平均数差的平方分别是和， 新的平方和是，新的数据个数是，新方差为， 比原来的小， ∴方差变小． 20. 根据背景素材，探索解决问题． 测量风筝离地面的垂直高度（） 背景素材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢”． 操作步骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离为15米． ②测得牵线放风筝的手的位置A处到地面的距离为1.5米； （备注：点A，B，C，D在同一平面内．） 问题解决 任务一 （1）如图1，根据手中余线长度，计算出的长度为17米，求风筝离地面的垂直高度． （提示：过点A作于点E） 任务二 （2）如图2，在任务一的基础上，若手中剩余线仅有6米时，想要风筝沿射线方向再上升12米，即米，线段的长度不变，请问能否成功？并说明理由． 【答案】（1）风筝离地面的垂直高度为9.5米（2）不能成功．见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图1，过点A作于点E，得到四边形是矩形，勾股定理求出，进而求解即可； （2）首先得到，勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：（1）如图1，过点A作于点E， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， 则米，米，， ∴（米）， ∴（米）； 所以，风筝离地面的垂直高度为9.5米； （2）不能成功． 理由：假设能上升12米， ∵米， ∴（米）， 在中，（米）， ∵米，余线仅剩6米， ∴． ∴不能上升12米，即不能成功． 21. 阅读与思考 下面是小明同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 利用尺规，过直线外一点作已知直线的平行线 今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知直线和外一点，请利用尺规作的平行线，使它经过点． 同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组的作法如图2： ①在直线上任取一点，连接并延长至点，使， ②在直线上再取一点，连接， ③作的垂直平分线，交于点， ④作直线．则直线即为所求． 勤学小组的证明： ，点是的中点 是的垂直平分线，点是的中点 ∴是的中位线 ∴（依据 ），即 善思小组的作法如图3： ①在直线l上取点B，C两点，②作射线，③作的角平分线，④以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，⑤作直线．则直线即为所求． 善思小组的证明：…… （1）任务一：请补充上面证明过程中的“依据”：_______． （2）任务二：请完成善思小组的证明过程． （3）任务三：用不同于材料的方法过点A作直线l的平行线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）三角形的中位线定理 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 任务一：根据三角形中位线定理即可解答； 任务二：根据作图过程及等腰三角形的性质证明即可； 任务三：根据同位角相等，两直线平行，或者内错角相等，两直线平行作图即可． 【小问1详解】 解：任务一：证明过程中的“依据”：三角形的中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）， 故答案为：三角形的中位线定理； 【小问2详解】 解：任务二：由作图可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：任务三： 如图4，直线m即为所求作的直线．（方法不唯一）． 22. “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了如图所示的简易计时装置．他们设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表，发现水面高度与流水时间（t为正整数）之间满足一次函数关系． 流水时间 0 10 20 30 40 … 水面高度（观察值） 30 28 26 24 22 … （1）求水面高度h与流水时间t之间的函数关系式； （2）按此速度，流水时间为1小时时，水面高度为多少厘米？ （3）按此速度，经过多长时间，甲容器内的水恰好流完？ 【答案】（1）水面高度h与流水时间t之间的函数关系式为 （2）流水时间为1小时时，水面高度为18厘米 （3）经过，甲容器内的水恰好流完 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用： （1）结合题意，根据一次函数待定系数法建立二元一次方程组并求解，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，根据一次函数的性质计算，即可得到答案； （3）结合（1）的结论，根据一次函数的性质列一元一次方程并求解即可． 【小问1详解】 设水面高度h与流水时间t之间的函数关系式为， 把，代入得： 解得， ∴水面高度h与流水时间t之间的函数关系式为； 【小问2详解】 当分钟时，， ∴流水时间为1小时时，水面高度为18厘米； 【小问3详解】 当时，的， ∴，即经过，甲容器内的水恰好流完． 23. 综合与探究 数学活动课上，老师带领同学们利用矩形纸片开展折叠探究活动，同学们发现通过不同的折叠方式，能得到形状各异的四边形．请你结合矩形的性质与折叠的对称性，完成下列问题： （1）勤学小组先提出一个方法：如图1，将矩形沿过点B的直线折叠，使点A的对应点E落在边上，折痕与交于点F．试判断四边形的形状，并说明理由． （2）善思小组也提出一个方法：如图2，将矩形沿对角线折叠，点A的对应点为点E，与边相交与点F．过点B作交边于点G，求证：四边形是菱形． （3）如图3，若，，点M是的中点，点N是线段边上的动点，连接，将矩形沿折叠，点A的对应点为点E．在点N移动的过程中，若以E，D，C为顶点构成的三角形是以为腰的等腰三角形，请直接写出线段的长． 【答案】（1）四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是矩形， ， 由折叠可知，，， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 由折叠可知，， ， ． ∴四边形是菱形． （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质解答即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据折叠的性质可得，即可解答； （3）分两种情况，结合勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ，， ∴， ∵，点M是的中点， ∴， 由折叠的性质得：，， 设， ①若，过点E作于点H，于点Q，交于点P，则， ∵，， ∴垂直平分，即， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴ 解得：， 即； ②若，连接，此时， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴N、E、C在同一条直线上， ∴， 在中，， ∴ 解得： 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $