精品解析：山西晋城市高平市2025-2026学年八年级第二学期期末调研测试数学试题

2025−2026学年八年级第二学期期末调研测试 数学试题 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 有一个角是直角 3. 石墨烯是一种具有超强导热性、导电性和光学性能的材料，其单层的厚度大约为．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 图象经过点 C. 图象与直线平行 D. 图象经过第一、二、四象限 5. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，校园内有一块等边三角形空地，已知M，N分别是边，的中点，量得．若想用围栏把四边形围成一个花园，则需要的围栏的长至少是（ ） A. B. C. D. 7. 某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处．某篮球队有队员人，大课间活动时，队员进行投篮训练，每人投篮个，投中球数如下：，，，，，，，，，，，．这组数据的下四分位数为（ ） A. B. C. D. 8. 将直线向下平移个单位长度得到的直线是（ ）． A. B. C. D. 9. 信息小组通过编程设计个机器人的队形，某一时刻各机器人的位置如图所示．在图中建立平面直角坐标系，若机器人，的坐标分别为，，则机器人的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，，Q为的中点，P为对角线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 12. 一次数学测验后，李老师随机抽取了份试卷，其成绩（单位：分）分别为，，，，，则这组数据的离差平方和为________． 13. 如图，中，的平分线交于点，，，则的长为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若的面积为2，则k的值为____________． 15. 如图，四边形是正方形，G是上一点，于点E，交于点F，连接．若，，则的长为__________． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）计算： （2）化简： 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 18. 如图，在平行四边形中，点，分别在，上，且，，相交于点，求证：． 19. 为迎接校园文化艺术节，学生会计划组建一支礼仪队.指导教师将通过初选的16位同学按照报名顺序分成两组，并对他们的身高进行统计． 数据收集： A组同学的身高（）： B组同学的身高（）： 数据整理： 组别 平均数 中位数 众数 方差 A组 166 165 B组 166 165 13 根据上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ，两组同学中身高更整齐的是 组（填“A”或“B”）； （2）在给A，B两组安排艺术节开幕式迎宾任务时，指导教师发现A组人手不够．于是从其余报名同学中又选了两人补充到A组，他们的身高分别是，．你认为人数增加后A组所有同学身高的平均数、方差与原来相比是否有变化？若有变化，请指出是变大还是变小． 20. 文创产业蓬勃发展，成为新时代文艺的一大亮点．某商店老板在天猫某店定制A，B两款文创帆布包，已知每件A款帆布包的利润比每件B款帆布包的利润多8元，销售A款帆布包获利300元和销售B款帆布包获利180元的销售数量相同．求每件A款帆布包和每件B款帆布包的利润． 21. 阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图，给定不在同一直线上的三个点A，B，C，如何利用无刻度的直尺和圆规在点B，C之间画一条过点A的直线，且点B和点C到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图， 第一步：以点B为圆心，以的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点D； 第三步：作直线，则点B和点C到直线AD的距离相等． 下面是部分证明过程： 证明：如图，连接，过点B作于点E，过点C作于点F，连接交于点O． 由作图可知， ∴四边形是平行四边形．（依据1） ∴．（依据2） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线． 任务： （1）填空：材料中的“依据1”是指_______；“依据2”是指_______． （2）请将小明的证明过程补充完整． （3）尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点B和点C之间作直线，使得点B和点C到直线的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）． 22. 人体生理学相关研究表明：正常人群的身高和小腿胫骨长度具备明显的规律性关联．胫骨作为小腿承担体重的关键骨骼，在人体成长阶段，受遗传基因以及生长激素共同作用，胫骨和脊柱的发育速度协调，使得人体身高与胫骨长度始终保持稳定的比例规律． 某数学综合实践小组针对人体胫骨长与身高的关系，开展了如下探究： 【观察测量】 数学综合实践小组通过对八年级男性师生的抽样调查收集数据，得到表格： 胫骨长/ 身高/ （1）如图，实践小组建立平面直角坐标系，横轴表示胫骨长，纵轴表示身高，请以表中数据为坐标，在图中描出这些点． （2）结合表中数据与图象，实践小组发现身高与胫骨长之间近似存在特定函数关系，并且发现表中一组身高数据有误，重新测量后进行纠正，纠正后的数据应为：胫骨长为________，身高约为________． （3）请求出实践小组发现的身高与胫骨长之间的函数表达式． [实践应用] （4）查阅资料后，实践小组了解到：身高与胫骨长的函数关系被广泛应用于法医鉴定、考古研究、儿童生长发育评估、人体工程学与服装设计等领域．请运用上述结论解决以下问题： ①某考古遗址中发现的一段胫骨长约为，据此可推测胫骨主人的身高为________； ②调查显示，青少年初期的身高（）与年龄（周岁）的关系近似为一次函数，其函数模型为“身高（年龄）”．已知小帅今年岁，据此估计小帅的胫骨长为________．（结果精确到） 23. 综合与探究 折纸是同学们喜爱的手工活动之一，其中蕴含着丰富的数学知识，在数学活动课上，老师通过折叠正方形纸片开展探究活动，帮助同学们提升空间观念，积累数学活动经验． [问题背景] 如图①，在正方形中，在边上任取一点，以为折痕折叠纸片，使点的对应点落在正方形内． （1）探究一：按照上述操作，如图②，点是的中点，连接，，得到四边形．若，，求证：四边形是菱形． 探究二：如图③，延长交于点，连接． （2）的度数会随点的位置变化而改变吗？请说明理由． （3）若正方形纸片的边长为，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年八年级第二学期期末调研测试 数学试题 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：分式有意义时，分母不能为， ， 解得 ， 故选：D． 2. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 有一个角是直角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案，熟练掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 【详解】、菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，符合题意； 、菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，不符合题意； 、菱形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分，不符合题意； 、矩形有一个角是直角，不符合题意； 故选：． 3. 石墨烯是一种具有超强导热性、导电性和光学性能的材料，其单层的厚度大约为．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：. 4. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 图象经过点 C. 图象与直线平行 D. 图象经过第一、二、四象限 【答案】C 【解析】 【详解】解：已知一次函数为，可得，； 对A选项：∵，∴随的增大而减小，A错误； 对B选项：将代入解析式，得，∴图象不经过点，B错误； 对C选项：∵一次函数与的一次项系数相等，常数项不相等，∴两直线平行，C正确； 对D选项：∵，，∴图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，D错误. 5. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 6. 如图，校园内有一块等边三角形空地，已知M，N分别是边，的中点，量得．若想用围栏把四边形围成一个花园，则需要的围栏的长至少是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理、等边三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形的中位线等于第三边的一半求出的长，也就是等边三角形的边长，据此求解即可． 【详解】解：∵M，N分别是边的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴围栏的长． 故选：C． 7. 某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处．某篮球队有队员人，大课间活动时，队员进行投篮训练，每人投篮个，投中球数如下：，，，，，，，，，，，．这组数据的下四分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：方法一：首先将这12个数据从小到大排序，得：， ∵数据个数，下四分位数为分位数，计算位置得 ，是整数， ∴下四分位数为第项与第项数据的平均数，即； 方法二：首先将这12个数据从小到大排序，得：， ∵前半部分数据的中位数即为整组数据的下四分位数，前半部分数据为， 下四分位数． 8. 将直线向下平移个单位长度得到的直线是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用初中一次函数平移规律“上加下减，左加右减”即可求解，向下平移个单位只需在原解析式后减即可． 【详解】∵直线平移时一次项系数不变，向下平移遵循“上加下减”的规律， ∴平移后直线的解析式为 ， 展开整理得 ． 9. 信息小组通过编程设计个机器人的队形，某一时刻各机器人的位置如图所示．在图中建立平面直角坐标系，若机器人，的坐标分别为，，则机器人的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点，的坐标确定原点并建立平面直角坐标系，再结合图形得出点的坐标即可． 【详解】解：∵机器人，的坐标分别为，， ∴原点在点的左边个单位，下边个单位处． 建立平面直角坐标系如图所示， 由图可知，点在轴正半轴个单位，轴负半轴个单位处， ∴机器人的坐标为． 10. 如图，在菱形中，，，Q为的中点，P为对角线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接．证明，可得，解直角三角形求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 一次数学测验后，李老师随机抽取了份试卷，其成绩（单位：分）分别为，，，，，则这组数据的离差平方和为________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算这组数据的平均数，再计算每个数据与平均数的差的平方，最后求和即可得到结果． 【详解】解：这组数据的平均数为， 则这组数据的离差平方和． 13. 如图，中，的平分线交于点，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边得到，再根据线段的和差关系即可得出结果． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若的面积为2，则k的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形面积公式和反比例函数，熟练掌握三角形面积公式和反比例函数是解题的关键． 根据题意设点为，由题目中的图可知，则可得到答案. 【详解】解：设A点的坐标为， 则x，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，四边形是正方形，G是上一点，于点E，交于点F，连接．若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 根据正方形的性质以及勾股定理，求出的长，易证，根据正方形的性质再证，得，，所以，根据勾股定理即可求出的值． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】 三．解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）计算： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出，得出反比例函数的解析式，再把点的坐标代入反比例函数的解析式，求出，再求出一次函数的解析式即可； （2）根据函数的图象和、两点的坐标得出答案即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， 即反比例函数的表达式是， 把代入得：， 即， 把、的坐标代入，得， 解得：， 所以一次函数的表达式是； 【小问2详解】 根据图象可知：关于的不等式的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键． 18. 如图，在平行四边形中，点，分别在，上，且，，相交于点，求证：． 【答案】证明：如图所示，连接，， ∵四边形是平行四边形， ，， ； ∵， ， ∴， ∴四边形为平行四边形， ，为平行四边形的对角线， ∴． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质与判定证明即可． 【详解】略 19. 为迎接校园文化艺术节，学生会计划组建一支礼仪队.指导教师将通过初选的16位同学按照报名顺序分成两组，并对他们的身高进行统计． 数据收集： A组同学的身高（）： B组同学的身高（）： 数据整理： 组别 平均数 中位数 众数 方差 A组 166 165 B组 166 165 13 根据上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ，两组同学中身高更整齐的是 组（填“A”或“B”）； （2）在给A，B两组安排艺术节开幕式迎宾任务时，指导教师发现A组人手不够．于是从其余报名同学中又选了两人补充到A组，他们的身高分别是，．你认为人数增加后A组所有同学身高的平均数、方差与原来相比是否有变化？若有变化，请指出是变大还是变小． 【答案】（1）165.5；164；3.25；A （2）有变化，变小 【解析】 【分析】（1）将A组身高数据从小到大排序，取第4和第5个数的平均数得到中位数a，再找出B组中出现次数最多的数得到众数b，然后根据方差公式计算A组的方差m，最后比较两组方差大小，方差越小身高越整齐； （2）先计算新增两人身高的平均数，发现与原A组平均数相同，因此人数增加后A组身高的平均数不变，再计算新增数据与平均数的差的平方和，结合原方差的计算结果，得出新方差比原方差小． 【小问1详解】 解：把A组身高数据从小到大排序为：163，165，165，165，166，167，168，169， ∵A组有8个数据，中位数是第4和第5个数的平均数， ∴； ∵B组数据中164出现了3次，出现次数最多， ∴B组众数； ∵A组平均数是166， ∴； ∴； 比较两组方差，A组方差小于B组的13，方差越小数据越整齐，所以身高更整齐的是A组； 【小问2详解】 解：新增两人身高的平均数为，和原A组的平均数相同， ∴人数增加后A组身高的平均数不变， ∵原A组数据与平均数差的平方和是26， 新增的两个数与平均数差的平方分别是和， 新的平方和是，新的数据个数是，新方差为， 比原来的小， ∴方差变小． 20. 文创产业蓬勃发展，成为新时代文艺的一大亮点．某商店老板在天猫某店定制A，B两款文创帆布包，已知每件A款帆布包的利润比每件B款帆布包的利润多8元，销售A款帆布包获利300元和销售B款帆布包获利180元的销售数量相同．求每件A款帆布包和每件B款帆布包的利润． 【答案】每件A款帆布包的利润为20元，每件B款帆布包的利润为12元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，设每件B款帆布包的利润为x元，则每件A款帆布包的利润为元．依题意得，据此即可求解 【详解】解：设每件B款帆布包的利润为x元，则每件A款帆布包的利润为元． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． （元）． 答：每件A款帆布包的利润为20元，每件B款帆布包的利润为12元． 21. 阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图，给定不在同一直线上的三个点A，B，C，如何利用无刻度的直尺和圆规在点B，C之间画一条过点A的直线，且点B和点C到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图， 第一步：以点B为圆心，以的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点D； 第三步：作直线，则点B和点C到直线AD的距离相等． 下面是部分证明过程： 证明：如图，连接，过点B作于点E，过点C作于点F，连接交于点O． 由作图可知， ∴四边形是平行四边形．（依据1） ∴．（依据2） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线． 任务： （1）填空：材料中的“依据1”是指_______；“依据2”是指_______． （2）请将小明的证明过程补充完整． （3）尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点B和点C之间作直线，使得点B和点C到直线的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）． 【答案】（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行四边形的判定与性质即可得出答案； （2）连接，过点作于点E，过点C作于点F，连接交于点O，则，由作图得到四边形是平行四边形，得到，再证明，即可得出结论； （3）连接，作线段的垂直平分线垂足为，作直线即可． 【小问1详解】 解：依据1是两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 依据2是平行四边形的对角线互相平分， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分； 【小问2详解】 证明：如图，连接，过点作于点E，过点C作于点F，连接交于点O，则， 由作图可知， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，直线即为所求． 22. 人体生理学相关研究表明：正常人群的身高和小腿胫骨长度具备明显的规律性关联．胫骨作为小腿承担体重的关键骨骼，在人体成长阶段，受遗传基因以及生长激素共同作用，胫骨和脊柱的发育速度协调，使得人体身高与胫骨长度始终保持稳定的比例规律． 某数学综合实践小组针对人体胫骨长与身高的关系，开展了如下探究： 【观察测量】 数学综合实践小组通过对八年级男性师生的抽样调查收集数据，得到表格： 胫骨长/ 身高/ （1）如图，实践小组建立平面直角坐标系，横轴表示胫骨长，纵轴表示身高，请以表中数据为坐标，在图中描出这些点． （2）结合表中数据与图象，实践小组发现身高与胫骨长之间近似存在特定函数关系，并且发现表中一组身高数据有误，重新测量后进行纠正，纠正后的数据应为：胫骨长为________，身高约为________． （3）请求出实践小组发现的身高与胫骨长之间的函数表达式． [实践应用] （4）查阅资料后，实践小组了解到：身高与胫骨长的函数关系被广泛应用于法医鉴定、考古研究、儿童生长发育评估、人体工程学与服装设计等领域．请运用上述结论解决以下问题： ①某考古遗址中发现的一段胫骨长约为，据此可推测胫骨主人的身高为________； ②调查显示，青少年初期的身高（）与年龄（周岁）的关系近似为一次函数，其函数模型为“身高（年龄）”．已知小帅今年岁，据此估计小帅的胫骨长为________．（结果精确到） 【答案】（1）如图，即为所求； （2）， （3）该函数的表达式为 （4）①；② 【解析】 【分析】（1）先理解题意，再把表格的数据在图中描出来，即可作答； （2）结合表中的数据和图象，可知胫骨每增长，身高增长，即可作答； （3）由图可知，该函数关系的类型是一次函数，设，利用待定系数法求解即可； （4）①由（3）得，把代入，求出，即可作答；②根据题意求出身高，把身高代入，求出，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：胫骨的生长与脊柱的生长受共同的遗传和生长激素的调控，维持着相对固定的身体比例，结合表中的数据和图象，可知胫骨每增长，身高增长， 该组有误的数据纠正后为：胫骨长为，身高约为； 【小问3详解】 由图可知，该函数关系的类型是一次函数， 设， 把，代入， 得， 解得， 该函数的表达式为； 【小问4详解】 ①由（3）得， 某考古遗址中发现的一段胫骨长约为， 把代入，得， 推测胫骨主人的身高约为； ②根据题意可得，小帅的身高为， 把代入，得， 解得， 估计小帅的胫骨长约为． 23. 综合与探究 折纸是同学们喜爱的手工活动之一，其中蕴含着丰富的数学知识，在数学活动课上，老师通过折叠正方形纸片开展探究活动，帮助同学们提升空间观念，积累数学活动经验． [问题背景] 如图①，在正方形中，在边上任取一点，以为折痕折叠纸片，使点的对应点落在正方形内． （1）探究一：按照上述操作，如图②，点是的中点，连接，，得到四边形．若，，求证：四边形是菱形． 探究二：如图③，延长交于点，连接． （2）的度数会随点的位置变化而改变吗？请说明理由． （3）若正方形纸片的边长为，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：由折叠可得，，，， 在正方形中，，， ， 点是的中点，， ， ， 四边形是菱形； （2）的度数不会随点的位置变化而发生改变，              理由：四边形是正方形， ，， 由折叠可得，，，， ， 延长交于点， ， 在和中， ， ， ， ， 的度数不会随点的位置变化而改变； （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠可得，，，根据勾股定理求出，再根据直角三角形的斜边中线定理可得，即可得证； （2）由折叠可得，，，，结合正方形的性质可证明，得到，然后根据，即可得解； （3）根据正方形的性质可得，，由（2）得，，推出，进而得到，设，则，，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：正方形纸片的边长为， ，， 由（2）得，， ， ， 由折叠可得，， 设， 则，， 在中，由勾股定理得，即，                        解得，                               ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $