4.5函数零点的综合问题 同步练习 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

**基本信息** 高中数学同步练，聚焦函数零点综合问题，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从概念理解到创新应用的递进，培养数学抽象、逻辑推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|零点定义、简单零点求解|如第1题直接应用零点定义求参数，夯实概念理解| |能力提升|二次函数零点分布、指数函数零点判断|如第3题结合二次函数图象分析零点区间，训练数形结合思维| |综合拓展|新定义“漂移点”、函数与方程综合应用|如第13题通过新情境构建方程，发展创新意识与数学表达能力|

培优课　函数零点的综合问题 1.已知2是函数f（x）＝xn－8（n为常数）的零点，且f（m）＝56，则m的值为（　　） A.－3 B.－4 C.4 D.3 2. (2025高一下·佛山月考) 已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  3.二次函数y＝x2＋（m－3）x＋2m的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且0＜x1＜2＜x2，如图所示，则m的取值范围是（　　） A.m＞0 B.m＞ C.m＞5 D.0＜m＜ 4. (2025秋·天心区校级期中）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  5.已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）＝2 024－（x－a）（x－b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（　　） A.a＞c＞b＞d B.a＞b＞c＞d C.c＞d＞a＞b D.c＞a＞b＞d 6.（多选）已知函数f（x）＝ax－x－a（a＞0，a≠1），则下列说法中正确的是（　　） A.当a＞1时，f（x）有1个零点 B.当a＞1时，f（x）有2个零点 C.当0＜a＜1时，f（x）没有零点 D.当0＜a＜1时，f（x）有1个零点 7.（多选）已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），分析该函数图象的特征，若方程f（x）＝0一根大于3，另一根小于2，则下列推理一定成立的是（　　） A.2＜－＜3 B.4ac－b2≤0 C.f（2）＜0 D.f（3）＜0 8.试写出一个实数a＝　　　　，使得函数f（x）＝ax2＋4x－1在（－1，1）上恰有一个零点. 9.若函数f（x）＝3x2－5x＋a的一个零点在区间（－2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是　　　　. 10.已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－k有三个零点，则k的取值范围是　　　　. 11. 关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1) 有两个正根； (2) 一个根大于，一个根小于； (3) 一个根在内，另一个根在内. 12.已知函数f（x）＝2x－4x－m，x∈[－1，1]. （1）当m＝－2时，求函数f（x）的零点； （2）若函数f（x）在[－1，1]上有零点，求实数m的取值范围. 13.若在定义域内存在实数x0使f（x0＋1）＝f（x0）＋f（1）成立，则称函数有“漂移点”x0. （1）请判断函数f（x）＝是否有漂移点？并说明理由； （2）求证：函数f（x）＝x2＋3x在（0，1）上存在漂移点； （3）若函数f（x）＝lg 在（0，＋∞）上有漂移点，求实数a的取值范围. 培优课　函数零点的综合问题 1.C　因为2是函数f（x）＝xn－8（n为常数）的零点，所以2n＝8，得n＝3，所以f（x）＝x3－8，因为f（m）＝56，所以m3－8＝56，得m＝4，故选C. 2.C　解：设的两个不等正零点为，则的两个不等正根为，所以，解得，则的取值范围是. 故答案为：C. 3.D　由题意可得即解得0＜m＜.故选D. 4.B　方程的两根都大于2，即函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧，可得，即，解得. 故选：. 5.D　由题意设g（x）＝（x－a）（x－b），则f（x）＝2 024－g（x），且g（x）＝0的两个根是a，b.由题意知f（x）＝0的两根是c，d，也就是g（x）＝2 024的两根，画出g（x）（开口向上）及y＝2 024的大致图象（图略），则y＝2 024与g（x）的图象交点的横坐标就是c，d，g（x）的图象与x轴的交点的横坐标就是a，b，则c，d在a，b外，又a＞b，c＞d，由图得c＞a＞b＞d. 6.BD　在同一平面直角坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图象，当a＞1时，如图①，y＝ax与y＝x＋a有2个交点，则f（x）有2个零点；当0＜a＜1时，如图②，y＝ax与y＝x＋a有1个交点，则f（x）有1个零点. 7.CD　函数f（x）的大致图象如图所示，方程f（x）＝0一定有两实数根，故Δ＝b2－4ac＞0，所以4ac－b2＜0，故B错误；由图可知，必有f（2）＜0，f（3）＜0，所以C、D一定成立；若f（x）＝x2－7x＋6，方程f（x）＝0的根为x1＝1＜2，x2＝6＞3，此时－＝，所以此时2＜－＜3不成立.故A错误.故选C、D. 8.1（答案不唯一）　解析：不妨取a＝1，则f（x）＝x2＋4x－1，则f（1）＝4，f（－1）＝－4，即得f（1）f（－1）＜0，又f（x）＝x2＋4x－1图象的对称轴为x＝－2，则f（x）在（－1，1）上单调递增，故f（x）＝x2＋4x－1在（－1，1）上恰有一个零点. 9.（－12，0）　解析：∵f（x）＝3x2－5x＋a的一个零点在区间（－2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，∴即解得－12＜a＜0，故a的取值范围为（－12，0）. 10.（－1，1）　解析：令g（x）＝f（x）－k＝0，可得f（x）＝k，作出y＝f（x）的图象，如图.由图可知，当y＝k与y＝f（x）的图象有三个不同的交点时，－1＜k＜1，所以k的取值范围是（－1，1）. 11.解：(1) 令， 设的两个根为， 由题得，解得， 所以的取值范围为； (2) 若方程的一个根大于，一个根小于， 则，解得， 所以的取值范围为； (3) 若方程一个根在内，另一个根在内， 则，解得， 所以的取值范围为. 12.解：（1）当m＝－2时，f（x）＝2x－4x＋2，令2x－4x＋2＝0，得2x＝2或2x＝－1舍去，解得x＝1. ∴函数的零点为1. （2）f（x）＝2x－4x－m＝0⇔2x－4x＝m， 令g（x）＝2x－4x， 函数f（x）有零点等价于方程2x－4x＝m有解，等价于m在g（x）的值域内， 设t＝2x，∵x∈[－1，1]，∴t∈［，2］， 则y＝t－t2＝－（t－）2＋，当t＝时，ymax＝，当t＝2时，ymin＝－2. ∴g（x）的值域为［－2，］. ∴m的取值范围为［－2，］. 13.解：（1）假设函数f（x）＝有“漂移点”x0，则＝＋2， 即＋x0＋1＝0，由此方程无实根，与题设矛盾，所以函数f（x）＝没有漂移点. （2）证明：令h（x）＝f（x＋1）－f（x）－f（1）＝（x＋1）2＋3x＋1－（x2＋3x）－4＝2×3x＋2x－3， 所以h（0）＝－1，h（1）＝5. 所以h（0）h（1）＜0， 又h（x）在（0，1）上连续，所以h（x）＝0在（0，1）上至少有一个实根x0， 即函数f（x）＝x2＋3x在（0，1）上存在漂移点. （3）若f（x）＝lg 在（0，＋∞）上有漂移点x0，所以lg ＝lg ＋lg a成立，即＝·a，a＞0， 整理得a＝＝（）2， 由x0＞0，得0＜＜1，则0＜a＜1. 则实数a的取值范围是（0，1）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $