寒假作业06（三角函数的图象与性质）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教A版必修一寒假作业——三角函数篇 06测试范围：三角函数的图象与性质 知识梳理 1．“五点法” （1）在函数的图象上，以下五个点 ， ， ， ， 在确定函数图象时取确定性作用，描出这5个点，就可确定出前者的图象. （2）在余弦函数，的图像上，起关键作用的“五点”为 . 2．（1）函数的周期性 ①周期函数：一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个 ，使得对每一个都有，且 ，那么函数就叫做周期函数． 叫做这个函数的周期． ②最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的 ，那么这个最小 就叫做的 ． （2）正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 周期 （且） （且） 最小正周期 奇偶性 3．正弦函数的性质 （1）正弦函数的周期为 ，最小正周期为 .正弦型函数的最小正周期为 （2）正弦函数为 （在奇函数、偶函数、非奇非偶函数中选择），正弦曲线的对称轴方程为 ，对称中心为 . （3）正弦函数的单调增区间为 ；单调减区间为 ，值域为 . 4．正切函数的性质 （1）正切函数的周期为 ，最小正周期为 .正切型函数的最小正周期为 . （2）正切函数为 （在奇函数、偶函数、非奇非偶函数中选择），正切函数的对称中心为 . （3）正切函数的单调增区间为 ，值域为 . 06 三角函数的图象与性质的寒假作业 一、单选题 1．下列函数中，周期为的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则的图象的对称中心可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若，则=（   ） A． B． C．1 D．2 4．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 5．函数，的图象与直线（a为常数）的交点个数不可能为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 6．下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 8．在下列区间中是函数的一个递增区间的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．对于函数，则下列命题中正确的是（   ） A．该函数的值域是 B．当且仅当时，函数取得最大值1 C．该函数的最小正周期为 D．当且仅当时， 10．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A． B．为偶函数 C．图象的对称中心为 D．的定义域为 11．已知函数的最小正周期为，则（    ） A．直线是图象的一条对称轴 B．点是图象的一个对称中心 C．的单调递减区间为 D．在内恰有6个零点 三、填空题 12．函数在上的最大值与最小值之和是 13．已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 14．函数（）的最大值为 ． 四、解答题 15．已知函数. (1)利用“五点法”完成表格，并在图中画出函数在区间上的图象； (2)当时，求不等式的解集； (3)若不等式对恒成立，求及. 16．已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称. (1)求的解析式. (2)求在上的单调递减区间. (3)求在上的值域. 17．设函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； 18．已知函数的最小正周期为． (1)求函数在区间上的单调递增区间； (2)已知函数，若，，使得，求实数m的取值范围． 19．已知函数 (1)求函数的增区间 (2)直接写出取得最大值时的集合； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一寒假作业——三角函数篇 06测试范围：三角函数的图象与性质 知识梳理 1．“五点法” （1）在函数的图象上，以下五个点 ， ， ， ， 在确定函数图象时取确定性作用，描出这5个点，就可确定出前者的图象. 【答案】 （2）在余弦函数，的图像上，起关键作用的“五点”为 . 【答案】，，，， 2．（1）函数的周期性 ①周期函数：一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个 ，使得对每一个都有，且 ，那么函数就叫做周期函数． 叫做这个函数的周期． ②最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的 ，那么这个最小 就叫做的 ． （2）正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 周期 （且） （且） 最小正周期 奇偶性 【答案】非零常数 非零常数 正数 正数 最小正周期 奇函数 偶函数 3．正弦函数的性质 （1）正弦函数的周期为 ，最小正周期为 .正弦型函数的最小正周期为 （2）正弦函数为 （在奇函数、偶函数、非奇非偶函数中选择），正弦曲线的对称轴方程为 ，对称中心为 . （3）正弦函数的单调增区间为 ；单调减区间为 ，值域为 . 【答案】 奇函数 4．正切函数的性质 （1）正切函数的周期为 ，最小正周期为 .正切型函数的最小正周期为 . （2）正切函数为 （在奇函数、偶函数、非奇非偶函数中选择），正切函数的对称中心为 . （3）正切函数的单调增区间为 ，值域为 . 【答案】 ， 奇函数 . . 06 三角函数的图象与性质的寒假作业 一、单选题 1．下列函数中，周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的周期公式逐项求出周期即可判断得解. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A不是；对于B，函数的最小正周期为，B不是；对于C，函数的最小正周期为，C是；对于D，函数的最小正周期为，D不是.故选：C 2．已知函数，则的图象的对称中心可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的对称中心计算求解. 【详解】函数的对称中心的横坐标为：，解得，当时，得到对称中心.故选:B. 3．已知函数，若，则=（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】求出的值即可求解. 【详解】由题可得：, 所以，故选：B 4．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的范围，再由正切函数的性质求出范围，再乘以3即可. 【详解】，故选：C. 5．函数，的图象与直线（a为常数）的交点个数不可能为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】作出在的图象，再根据数形结合法得出交点个数即可. 【详解】作出在的图象如下：则可得当或时，与的交点个数为0；当或时，与的交点个数为1；当时，与的交点个数为2.故选：A. 6．下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的诱导公式及正弦函数和正切函数的单调性可得， 【详解】对于A，正弦函数在上单调递增，，A正确； 对于B，，B错误；对于C ，，C错误；对于D，，D错误.故选：A 7．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的奇偶性和特殊点的函数值符号，可排除干扰项. 【详解】由可知，，即，，显然该函数定义域关于原点对称，由可知，函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除BD两项；又，所以排除A.又C选项的图象满足函数的性质．故选：C 8．在下列区间中是函数的一个递增区间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】依题意，函数；由，，得，，所以函数的单调递增区间是； 当时，，又，所以函数在单调递增，故B正确； 函数在，上单调递减，在上不单调，故ACD均错误.故选：B. 二、多选题 9．对于函数，则下列命题中正确的是（   ） A．该函数的值域是 B．当且仅当时，函数取得最大值1 C．该函数的最小正周期为 D．当且仅当时， 【答案】ACD 【分析】作出函数图象，根据图象即可逐项判断得到答案． 【详解】作出函数的图象如图所示， 选项A：则该函数的值域是，故A正确；选项B：函数取得最大值1时，或，故B错误；选项C：函数的最小正周期为，故C正确；选项D：当且仅当时，，故D正确．故选：ACD． 10．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A． B．为偶函数 C．图象的对称中心为 D．的定义域为 【答案】ACD 【分析】代入求值判断A；先求得，然后利用偶函数定义判断B；利用正切函数的对称性求解判断C；利用正切函数的定义域求解判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，由，得.对于，由，得，所以其定义域为，关于原点对称，又，所以为奇函数，即为奇函数，故B错误；对于C，由，得， 所以图象的对称中心为，故C正确；对于D，令，得，所以的定义域为，故D正确.故选：ACD. 11．已知函数的最小正周期为，则（    ） A．直线是图象的一条对称轴 B．点是图象的一个对称中心 C．的单调递减区间为 D．在内恰有6个零点 【答案】ACD 【分析】根据三角函数的周期性、对称性、单调性及零点等性质逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，，所以，. 选项A：结合余弦函数的图象及性质可知，的对称轴为，，当时，，故A正确；选项B：结合余弦函数的图象及性质可知，的对称中心为，，故B错误；选项C：令，，解得，，所以的单调递减区间为，故C正确；选项D：令，即，即，解得，，即，，所以在内的解为：，共6个零点，故D正确.故选：ACD. 三、填空题 12．函数在上的最大值与最小值之和是 【答案】/ 【分析】直接利用的范围求得函数的最值，即可求解. 【详解】∵，∴， ∴，∴最大值与最小值之和为， 13．已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的单调性，计算解得参数的取值范围. 【详解】正弦函数的单调递增区间为，因为函数，，所以，要使函数在上单调递增，所以，解得，结合，故的取值范围是. 14．函数（）的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据同角的三角函数关系式中的平方和关系，结合正弦函数的单调性、二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，，令，， 设，该二次函数的对称轴为，且开口向下，当时，当时，函数有最大值，即时，取得最大值． 四、解答题 15．已知函数. (1)利用“五点法”完成表格，并在图中画出函数在区间上的图象； (2)当时，求不等式的解集； (3)若不等式对恒成立，求及. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)， 【分析】（1）利用五点作图法列表、作图即可； （2）根据正弦函数的性质求解即可； （3）由题意可得为的最小值，进而求解即可. 【详解】（1）五点法填表如下： 0 0 1 0 0 1 3 1 1 函数在区间上的图象如下： （2）令，即，可得， 所以不等式的解集为； （3）因为对恒成立，可知为的最小值，则， 则，所以. 16．已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称. (1)求的解析式. (2)求在上的单调递减区间. (3)求在上的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦函数的最小正周期和对称轴求解即可. （2）根据正弦函数的单调性求解计算即可. （3）根据正弦函数的值域求解即可. 【详解】（1）因为函数的最小正周期为， 所以，解得，所以.由于函数关于对称， 所以，解得 又，所以令，得.所以. （2）由（1）知，. 当时，函数单调递减，此时. 当时，；当时，； 所以在上的单调递减区间为. （3）由（1）知，.因为，所以. 所以，所以.所以在上的值域为. 17．设函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； 【答案】(1)，(2)； 【分析】（1）令，根据正弦函数的有界性知，原函数变为以为自变量的开口向下的二次函数，讨论对称轴与区间端点的关系分别求解即可； （2）利用换元法将问题转化为在上恒成立求解即可； 【详解】（1）令，则变为， ①当，即时，， ②当，即时，， ③当，即时，， 综上可知，. （2）若要，则需，当时，， 函数变为，所求问题变为恒成立， 易知的图象是开口向下的抛物线的一部分，最小值一定在区间端点处取得， 所以，解得，故的取值范围是. 18．已知函数的最小正周期为． (1)求函数在区间上的单调递增区间； (2)已知函数，若，，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由周期求得函数的解析式，由正弦函数的性质求得函数的单调递增区间，即可得答案； （2）令，利用二次函数的图象与性质得出，由（1）中结论求得在对应区间的范围，讨论，，时分别求得的范围，由集合的包含关系建立不等式组，解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，故，即， 令，即，又， 则只有当和时的范围才存在，即得，和. 故函数在区间上的单调递增区间为，； （2）令，由得：， 该函数的图象的对称轴， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数的最小值为，最大值为， 即函数，即 由（1）可知函数在区间上单调递增，在上单调递减， 且，， 时，， 当时，，不合题意舍去， 当时，，由题意得， 即，解得， 当时，，由题意得， 即，解得， 综上可得：. 19．已知函数 (1)求函数的增区间 (2)直接写出取得最大值时的集合； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据余弦函数的图像性质即可求解； （2）由题意，可得的最大值为，令，解方程即可求解； （3）将函数的解析式代入方程，结合三角恒等变换，化简可得，通过换元法结合函数图像性质分析，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数，令， 解得，故函数的单增区间为； （2）由题意，可得，即的最大值为，令，即， 故，解得，故取得最大值时的集合； （3）由，可得， 即，即， 即，又根据题意，方程在上有四个不同的实数根，即方程在上有四个不同的实数根，令，则，又，则， 所以，即，令，则，如图， 所以要使在上有四个不同的实数根， 则需要在上有两个不相等的实数根，故，由于时，无解，故，则，令则且，故，由于在单调递减，此时至多一个实数根，不符合题意，故，如图： 当时，，， 当且仅当时，取等号，故. 学科网（北京）股份有限公司 $