精品解析：海南省海南中学2025-2026学年度高二下学期期末考试数学试题卷

海南中学2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共19小题，共150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 一、单选题 1. 若命题，，则该命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得选项. 【详解】根据特称命题的否定是全称命题，得，因为命题，，则该命题的否定为，， 故选：D. 【点睛】本题考查特称命题与全称命题的关系，属于基础题. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义计算. 【详解】因， 故，所以. 故选：C. 3. 已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ） A. B. 2或 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行得到，求出的值，再代入检验即可. 【详解】因为直线与直线互相平行， 所以，解得或， 当时，两直线重合，不符合题意，故舍去； 当时，直线与直线互相平行，符合题意； . 故选：D 4. “”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】求出当直线与圆相切时a,b的关系即可判断. 【详解】解：当直线与圆相切时， 则有，解得或， 所以“”是“直线与圆相切”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 5. 下列几个不等式中，不能取到等号的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. 6. 手电筒、探照灯的反光镜面都是旋转抛物面（如图1），是利用抛物线的光学性质原理设计的．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点．如图2所示，从直线和发出的两条光线经抛物线两次反射后，两条反射光线之间的宽度为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线的光学性质求出两条光线第二次反射的反射点的纵坐标即可. 【详解】抛物线的焦点， 设过点的抛物线弦所在直线方程为， 由消去得， 设弦的两个端点坐标为， 则，当时，；当时，， 因此两条光线第二次反射的反射点的纵坐标分别为， 所以两次反射后，两条反射光线之间的宽度为. 故选：D 7. 已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 8. 设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图， 根据椭圆的定义，， 所以，当最小时，最大， 又当轴，即为椭圆通径时，最小，为， 此时，所以，所以， 所以，. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 10. 已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A. 曲线关于直线轴对称 B. 曲线上的点到原点的最大距离为 C. 该曲线围成的图形的周长为 D. 该曲线围成的图形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据曲线方程研究曲线的对称性，得图形关于轴与轴轴对称，也关于原点成中心对称，进而讨论曲线在第一象限中离原点的距离，图形的周长与面积，进而得答案. 【详解】 对于A：将代入曲线方程，方程不变，因此曲线关于直线轴对称，故A正确； 对于B：易知该曲线关于轴，轴，原点对称，因此研究第一象限区域的图象（含边界）即可， 即,整理得,与坐标轴交于点,且的连线所在直线过圆心,因此为直径，故该曲线在第一象限（含坐标轴）上的图象为半圆. 又因为坐标原点也在上述半圆所在的整圆上，因此曲线上的点到原点的最远距离恰好是上述圆的直径,故B正确； 对于C：由该曲线的对称性可知，该曲线围成的周长是四个半径为的半圆的周长， 因此周长,故C错误. 对于D：由该曲线的图象可知，该曲线围成的面积是四个半径为的半圆的面积与四个直角边长为1的等腰直角三角形的面积之和, 故,故D正确. 故选：ABD. 11. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且左、右焦点分别为，，它们在第一象限的交点为，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的面积为1 B. 若，，则 C. 若，则的最小值为25 D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线有相同的焦点，结合椭圆及双曲线定义，用表示出和. 根据选项给出的已知条件，结合勾股定理逆定理、余弦定理及基本不等式、三角函数的知识逐项分析即可. 【详解】由题意知，. 设，（）， 由椭圆定义：，由双曲线定义：， 所以，. 选项A：若，则，即，. 又， 所以为直角三角形，且. 所以，故A正确. 选项B：若，，则，， 所以，B错误. 选项C：在中，由余弦定理得， 即， 整理得，则. 所以 ，当且仅当即时，等号成立，故C正确. 选项D：同理可得，，即. 设，，则. 又，所以，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与圆O：交于A、B两点，若，则______． 【答案】1或 【解析】 【详解】由，得，所以圆心，半径， 则圆心到直线的距离，又， ，解得. 13. 已知，，则二元函数的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用不等式： 化简即可． 【详解】根据均值不等式： 所以有 当且仅当 时取等号． 【点睛】直接利用不等式：化简．属于中档题 14. 记，当正数、变化时，也在变化，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中定义，由基本不等式求解即可. 【详解】由均值不等式得：， 当，即时，， 当 时，即，， 综上的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且． （1）设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； （2）求矩形面积的最小值． 【答案】（1），理由如下： 方法一：根据相似的性质可得， 所以，解得， 所以. 方法二：根据相似的性质可得，则，得， 所以. （2）240 【解析】 【分析】（1）方法一：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， 方法二：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， （2）由（1）可得，利用基本不等式求其最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最小值为240. 16. 椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． （1）求椭圆的离心率． （2）已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义可得，再求离心率即可； （2）先求得椭圆方程，设，，进而可得，，再利用作差法可得直线的斜率，然后根据点斜式求直线方程即可． 【小问1详解】 椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为， ，， ． 【小问2详解】 ， 椭圆的标准方程为； 设，． 因为是的中点，所以，， 即：，， 点和都在椭圆上：， 将相减；， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为， 其方程为：，即． 17. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点，过该抛物线的焦点且倾斜角为的直线，与抛物线相交于、两点． （1）求抛物线的标准方程和线段的长． （2）求的值． 【答案】（1）抛物线的标准方程为， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，即可得出该抛物线的标准方程，然后将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦点弦长公式可求得的值； （2）利用抛物线的焦半径公式和韦达定理可求得的值． 【小问1详解】 由题意，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线方程得，解得， 故该抛物线的标准方程为， 设点，，易知抛物线的焦点为，则直线的方程为， 联立可得，， 所以，， 故． 【小问2详解】 ． 18. 如图，椭圆（，，为常数），动圆，．点，分别为的左，右顶点，与相交于，，，四点． （1）若，，，求与的四个交点的坐标． （2）求直线与直线交点的轨迹方程． （3）设动圆与相交于，，，四点，其中，．若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值． 【答案】（1），，， （2） （3）证明：设，由矩形与矩形的面积相等，得，故 因为点，均在椭圆上，所以， 由，知，所以．从而 因此为定值． 【解析】 【分析】（1）联立椭圆与圆的方程即可得出交点坐标； （2）设出直线的方程、直线的方程，求得交点满足的方程，利用在椭圆上，化简即可得到M的轨迹方程； （3）根据矩形与矩形的面积相等，可得坐标之间的关系，利用均在椭圆上，即可证得为定值. 【小问1详解】 当，，时联立，得解得 ∴四个交点坐标分别为，，， 【小问2详解】 设，，又知，， 则直线的方程为 直线的方程为 由得 由点在椭圆上，故， 从而代入得； 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线的离心率为，过上的动点作曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为和，的面积为． （1）求曲线的方程． （2）如图，曲线的左顶点为，点位于原点与右顶点之间，过点的直线与曲线交于，两点，直线过且垂直于轴，直线，分别与交于，两点，若，，，四点共圆，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设有，得双曲线方程为.设，应用点线距离公式，，，，四点共圆、三角形面积公式列方程求参数，即可得双曲线方程. （2）由共圆得，设，，，，，且，联立双曲线，应用韦达定理列方程求参数即可. 【小问1详解】 由，又得：，所以渐近线方程为， 则双曲线方程为，即， 设，则到渐近线的距离分别为， 又两渐近线的夹角为，由题意知，，，四点共圆，则或， 的面积 ， 所以，∴曲线的方程为：． 【小问2详解】 如图，，，四点共圆， ， 设，，，，， 易得，令得： 当的斜率为时，不符合题意： 当的斜率不为时，设， 联立双曲线得， 则，且，即，且， 所以，， 由，即， ， ，符合， 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南中学2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共19小题，共150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 一、单选题 1. 若命题，，则该命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ） A. B. 2或 C. 2 D. 4. “”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 下列几个不等式中，不能取到等号的是（ ） A. B. C. D. 6. 手电筒、探照灯的反光镜面都是旋转抛物面（如图1），是利用抛物线的光学性质原理设计的．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点．如图2所示，从直线和发出的两条光线经抛物线两次反射后，两条反射光线之间的宽度为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（ ）． A. B. C. D. 8. 设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A. 曲线关于直线轴对称 B. 曲线上的点到原点的最大距离为 C. 该曲线围成的图形的周长为 D. 该曲线围成的图形的面积为 11. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且左、右焦点分别为，，它们在第一象限的交点为，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的面积为1 B. 若，，则 C. 若，则的最小值为25 D. 若，则的最大值为 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与圆O：交于A、B两点，若，则______． 13. 已知，，则二元函数的最小值为___________. 14. 记，当正数、变化时，也在变化，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且． （1）设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； （2）求矩形面积的最小值． 16. 椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． （1）求椭圆的离心率． （2）已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 17. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点，过该抛物线的焦点且倾斜角为的直线，与抛物线相交于、两点． （1）求抛物线的标准方程和线段的长． （2）求的值． 18. 如图，椭圆（，，为常数），动圆，．点，分别为的左，右顶点，与相交于，，，四点． （1）若，，，求与的四个交点的坐标． （2）求直线与直线交点的轨迹方程． （3）设动圆与相交于，，，四点，其中，．若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值． 19. 已知双曲线的离心率为，过上的动点作曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为和，的面积为． （1）求曲线的方程． （2）如图，曲线的左顶点为，点位于原点与右顶点之间，过点的直线与曲线交于，两点，直线过且垂直于轴，直线，分别与交于，两点，若，，，四点共圆，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $