精品解析：海南省某校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

高二第二学期数学期末测试 一、单选题 1. 二项式的展开式中第5项的系数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 从一批棉花中随机抽测了8根棉花的纤维长度（单位：mm），其数据为88，89，76，101，121，89，90，90，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 89 B. 90 C. 89.5 D. 101 4. 点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 一个盒子中装有4个白色乒乓球和5个橘黄色乒乓球.现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（ ） A. 45种 B. 90种 C. 150种 D. 240种 8. 有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有，，，，，，，共八个点，一枚棋子起始位置在点处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为. 则棋子前进步，每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束.若此时棋子在点处，则游戏过关. 试问游戏结束时过关的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 某同学根据的5组数据，绘制了散点图（图1），并进行回归分析，若在这5组数据的基础上又增加了2组数据（图2），重新进行回归分析，则下列叙述正确的是（ ） A. 决定系数变大 B. 样本相关系数的绝对值更趋近于0 C. 残差的平方和变大 D. 解释变量与响应变量的相关性变强 10. 点在圆：上，点在圆：上，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 11. 已知A，B，C是抛物线上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为，则（ ） A. 当时，的最大值为32 B. 当时，的最小值为22 C. 当时，直线AB的斜率为 D. 当时，点P到直线l的距离的最小值为14 三、填空题 12. 已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 13. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和17，则估计出总样本的方差为___________. 14. 1911年5月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用α粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望α粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分α粒子从金箔上反弹.如图，显示了卢瑟福实验中偏转的α粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为_________；如果α粒子的路径经过，A和B三点，记直线PA，PB的斜率分别为，且满足，则直线AB的斜率_________ 四、解答题 15. 某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 50 10 女性 25 15 40 总计 25 100 （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ （3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为，求的数学期望. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 市场调查员小王统计了某款拖把的销售单价（单位：元）与月销量（单位：个）之间的一组数据如下表所示： 单价元 18 19 20 21 22 月销量个 570 520 420 320 270 （1）根据以往经验，与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程； （2）若这款拖把的进货价为14元/个，根据（1）中回归方程，求该拖把月利润最大时拖把的单价为多少元.（结果精确到0.1元） 附：回归直线方程中，. 17. 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）M为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，若，求证：直线过定点． 18. 在高中数学教材苏教版选择性必修2的101页11题阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为p，则从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是p，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为p，那么从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，每个细胞繁衍下去的概率都是p，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的，他每步走动都会有的概率向左移动1个单位，有的概率向右移动一个单位，原点处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以代表当这个人由开始，最终掉入陷阱的概率． （1）若这个人开始时位于点处，且， （i）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率； （ii）求他最终掉入陷阱的概率； （iii）已知，若，求． （2）已知是关于的连续函数，求关于的表达式，并作出函数图象． 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. （1）求椭圆的离心率； （2）已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； （3）求四边形面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第二学期数学期末测试 一、单选题 1. 二项式的展开式中第5项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意写出二项式的展开式的通项，令即可求出第5项的系数. 【详解】根据题意，二项式的展开式的通项为： ， 当时，二项式的展开式中第5项的系数为：， 故选：C. 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性进行求解即可. 【详解】，， . 故选：C. 3. 从一批棉花中随机抽测了8根棉花的纤维长度（单位：mm），其数据为88，89，76，101，121，89，90，90，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 89 B. 90 C. 89.5 D. 101 【答案】B 【解析】 【分析】将这组数据从小到大排列后借助百分位数定义计算即可得. 【详解】将该组数据从小到大排列： 76，88，89，89，90，90，101，121， 由，故该组数据的第60百分位数为. 故选：B. 4. 点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件和斜率公式列出等式化简可得. 【详解】 设，因为，所以， 由已知，，化简得， 故选：B． 5. 已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义把点到的距离转化到点到焦点的距离，就是求点到直线的距离. 【详解】设过点分别向准线和作垂线，垂足分别为， 因为抛物线的焦点，由抛物线的定义得：， 所以只需要求最小即可. 当且仅当三点共线时最小，且最小值为点到直线的距离，即. 故选：B. 6. 一个盒子中装有4个白色乒乓球和5个橘黄色乒乓球.现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：求出的可能取值和对应的概率，利用期望公式进行求解； 方法二：服从超几何分布，运用超几何分布的期望公式计算即可. 【详解】方法一：显然的可能取值为0,1,2,3， 其中，，， ， 故； 方法二：服从超几何分布，由超几何分布的期望公式可得. 故选：B. 7. 某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（ ） A. 45种 B. 90种 C. 150种 D. 240种 【答案】C 【解析】 【分析】先将5人按照，或进行分组，然后再将3组进行全排列即可. 【详解】5名学生分成三组的情况有或， 当为时，则不同的安排方法有种， 当为时，则不同的安排方法有种， 所以，一共有种方法. 故选：C. 8. 有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有，，，，，，，共八个点，一枚棋子起始位置在点处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为. 则棋子前进步，每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束.若此时棋子在点处，则游戏过关. 试问游戏结束时过关的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意棋子在点处，可得三次骰子点数之和为或，再利用列举法以及古典概型的概率公式计算可得． 【详解】举出在点数中能够使得三次数字和为或的有： ，，共有7种组合， 前2种组合每种情况可以排列出种结果，共有种结果； 后5种组合各有3种结果，共有种结果， 由分类加法计数原理知，共有种结果； 拋次骰子共有种结果， 故拋掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的概率. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出三次骰子点数之和为或，列出所有可能得组合，在分析相应的排列数，最后由古典概型的概率公式计算. 二、多选题 9. 某同学根据的5组数据，绘制了散点图（图1），并进行回归分析，若在这5组数据的基础上又增加了2组数据（图2），重新进行回归分析，则下列叙述正确的是（ ） A. 决定系数变大 B. 样本相关系数的绝对值更趋近于0 C. 残差的平方和变大 D. 解释变量与响应变量的相关性变强 【答案】BC 【解析】 【分析】从图中分析得到增加2组数据后，回归效果变差，再由决定系数，相关系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断. 【详解】由图可知：增加2组数据后，回归效果变差，所以决定系数变小，线性相关系数的绝对值变小，残差的平方和变大，解释变量与响应变量的相关性变弱. 故选：BC 10. 点在圆：上，点在圆：上，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】先求出两个圆的圆心坐标和半径，根据圆心距可得两圆相离，从而求得两圆上动点的距离最值，计算直线斜率公式判断各个选项； 【详解】对于A、B选项：由题意得：，半径为1， ：，，半径为1， 圆心距为，又点在圆上，点在圆上， ，，故A错误，B正确； 对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确； 对于D选项：圆心距，所以无公共弦，D错误； 故选：BC． 11. 已知A，B，C是抛物线上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为，则（ ） A. 当时，的最大值为32 B. 当时，的最小值为22 C. 当时，直线AB的斜率为 D. 当时，点P到直线l的距离的最小值为14 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设直线的方程为，与抛物线方程联立得韦达定理，由推得，由弦长公式计算，利用二次函数的性质即可求得其最大值；对于B，利用抛物线的定义转化，利用三点共线时线段和最小原则得到最小值为长，借助于梯形中位线定理即得；对于C，由A项结论可得，求出值，即得直线的斜率；对于D，由判断直线过焦点，设直线的方程为，联立抛物线方程得韦达定理，仿照B项作图转化求得，即可求得最小值. 【详解】 对于A，如图设直线的方程为，代入可得：， 由可得， 设，则， 因的中点为，则，故， ，即，则， 于是 ， 故当时，取得最大值为32，故A正确； 对于B，如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为， 设交抛物线于点，因，故， 由图知当且仅当三点共线时取得最小值为长， 因的中点为，则为梯形的中位线，且， 故此时，即的最小值为15，故B错误； 对于C，由A项得到，因，故得， 解得，故直线的斜率为，故C正确； 对于D，由可得直线经过点，可设直线的方程为， 代入可得：，设，则， 仿照B项作图，则点P到直线l的距离为： ， 故当时，点P到直线l的距离的最小值为14，即D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：解决圆锥曲线的相关问题，一般应从曲线定义，设直线方程与之联立得韦达定理，以及弦长公式或弦中点有关的点差法等入手探求，对于线段有关的最值问题，可考虑结合图象转化，利用三点共线时线段和最小，以及将其转化为函数，利用其单调性求其最值. 三、填空题 12. 已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据两点分布确定X的期望，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，， 所以， 所以， 因为，所以 故答案为：0. 13. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和17，则估计出总样本的方差为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出总平均数，然后根据分层方差和总方差关系直接计算可得. 【详解】总平均数， 则总样本方差. 故答案为： 14. 1911年5月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用α粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望α粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分α粒子从金箔上反弹.如图，显示了卢瑟福实验中偏转的α粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为_________；如果α粒子的路径经过，A和B三点，记直线PA，PB的斜率分别为，且满足，则直线AB的斜率_________ 【答案】 ①. ②. -2 【解析】 【分析】根据渐近线可求离心率，根据离心率及过点得到双曲线方程，设直线的方程为，，联立得到，再利用可解得直线AB的斜率. 【详解】设双曲线方程为， 根据题意一条渐近线方程为，所以，即， ，即该双曲线的离心率为， 又经过，所以， 所以双曲线方程为， 设直线的方程为， ， ，解得或， ， ， ， 若，则，即， 此时直线过点，不符合题意， 所以. 故答案为：，-2. 四、解答题 15. 某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 50 10 女性 25 15 40 总计 25 100 （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ （3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为，求的数学期望. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1），； （2）与性别有关 （3） 【解析】 【分析】（1）利用表格数据直接计算即可. （2）列出零假设，计算，再进行独立性检验即可. （3）先判断服从二项分布，再利用二项分布的期望公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得，. 【小问2详解】 零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联. 根据列联表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05； 【小问3详解】 随机抽取1人购买B款车的概率为， X的可能取值有，由题意得， 由二项分布的期望公式得. 16. 市场调查员小王统计了某款拖把的销售单价（单位：元）与月销量（单位：个）之间的一组数据如下表所示： 单价元 18 19 20 21 22 月销量个 570 520 420 320 270 （1）根据以往经验，与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程； （2）若这款拖把的进货价为14元/个，根据（1）中回归方程，求该拖把月利润最大时拖把的单价为多少元.（结果精确到0.1元） 附：回归直线方程中，. 【答案】（1） （2）19.6元 【解析】 【分析】（1）利用表中的数据先求出，，再把表中数据代入公式，即可求得，从而即可求得回归直线方程； （2）由总利润等于销售单价减去进货价再乘以月销售量，易得总利润函数，再利用二次函数的最值求得单价. 【小问1详解】 由表中数据求得：，， ， 故关于的回归直线方程为. 【小问2详解】 设每月的总利润， 抛物线的对称轴方程为， 该拖把月利润最大时，拖把的单价为19.6元. 17. 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）M为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，若，求证：直线过定点． 【答案】（1）; （2）证明：M为椭圆C的左顶点， 又由（1）可知：，设直线AB的方程为：，， 联立方程可得：， 则，即， 由韦达定理可知：，， ，则， ， 又， ， ， 展开后整理得：，解得：或， 当时，AB的方程为：，经过点，不满足题意，舍去， 当时，AB的方程为：，恒过定点. 所以直线过定点． 【解析】 【分析】（1）根据条件求出的值即可； （2）联立直线方程和椭圆方程后利用两直线垂直可算出. 【小问1详解】 由题意得：，，， 故可知， 椭圆方程为：. 【小问2详解】 略 18. 在高中数学教材苏教版选择性必修2的101页11题阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为p，则从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是p，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为p，那么从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，每个细胞繁衍下去的概率都是p，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的，他每步走动都会有的概率向左移动1个单位，有的概率向右移动一个单位，原点处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以代表当这个人由开始，最终掉入陷阱的概率． （1）若这个人开始时位于点处，且， （i）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率； （ii）求他最终掉入陷阱的概率； （iii）已知，若，求． （2）已知是关于的连续函数，求关于的表达式，并作出函数图象． 【答案】（1）（i）； （ii）；（iii） （2） ， 【解析】 【分析】（1）（i）这个人必须走奇数步才能进入陷阱，就每一种情况分类计算后可得概率；（（ii））根据题设中给出的类似的计算方法可求；（（iii）利用构造法可求数列的通项. （2）类似于（1）中（ii）的计算方法可求概率. 【小问1详解】 （i）这个人必须走奇数步才能进入陷阱， 若1步进入陷阱，则概率为；若3步进入陷阱，则概率； 若5步进入陷阱，则概率为， 故5步内进入陷阱的概率为. （ii）由题设从最终进入陷阱，可分成两类， 1.向左一步，进入陷阱； 2.向右一步，然后多步后进入，再进入陷阱； 故，故或（舍）. （iii）因为，故， 所以，而， 故为等比数列，故， 故，故， 当时，符合，故. 【小问2详解】 由（1）中（ii）的解析可得， 若，则或（舍）； 若，则（舍）或， 故， 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. （1）求椭圆的离心率； （2）已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； （3）求四边形面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，最大距离为；当时，最大距离为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意:利用为为面积为1的直角三角形，可得到，再求解离心率即可. （2）设，利用两点间距离公式表示，转化为二次函数分类讨论求解最值即可. （3）设直线的方程为，利用圆锥曲线“设而不求”的方法可以把四边形的面积可表示为关于的函数，再利用函数单调性求得范围即可. 【小问1详解】 如图，设椭圆的焦距为， 易得，，， 又因为为面积为1直角三角形，， 所以椭圆的离心率. 【小问2详解】 由第一问知，故椭圆方程为， 设，且，即， ， 其对称轴为，而，当，即时， 在时取得最大值，； 当，即时， 在时取得最大值，. 综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为. 【小问3详解】 设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则，. 因为点分别在第一、四象限， 所以，即， 故，解得， 得到四边形的面积为， ， 因为，， 所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增， 故，即四边形面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $