精品解析：吉林长春市宽城区2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

七年级期末测试题数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中属于一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义判断即可，一元一次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，等号两边都是整式． 【详解】解：A、未知数的最高次数为，不符合条件，不是一元一次方程； B、含有和两个未知数，不符合条件，不是一元一次方程； C、分母含有未知数，不是整式方程，不符合条件，不是一元一次方程； D、只含一个未知数，的最高次数为，且是整式方程，符合一元一次方程的定义，是一元一次方程． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称，据此判断即可求解． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不符合题意． 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的性质逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、由于，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，则，故本选项正确； B、由于，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，则，故本选项错误； C、由于，当时，，此时，故本选项错误； D、由于，不等式两边同时减去b，不等号方向不变，则，故本选项错误． 4. 下列多边形中，内角和度数与其外角和度数相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和和外角和，先得到多边形的内角和为，然后根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：∵多边形的外角和是， ∴这个多边形的内角和也是， 设多边形的边数为n， 则， 解得：， 故选：B． 5. 机器人社团要制作三角形机械臂，现有2根金属连杆，长度分别为、，以下哪个长度可以与其构成三角形机械臂（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再对比选项得到符合条件的长度． 【详解】解：设第三根连杆的长度为，则 ， 即 ， 对比选项，只有满足，因此选D． 6. 古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；两人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，则下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中两个乘车条件，分别找出总人数、车辆数之间的等量关系，列出方程，即可得到正确的方程组． 【详解】解：设有人，辆车，根据题意，得 ． 7. 如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出的度数，根据翻折变换的性质求出的度数，根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：在中，，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴． 故选：C． 8. 如图，，的延长线经过点且交于点．，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用邻补角的性质得，利用三角形内角和定理及对顶角的性质得，利用全等三角形的性质得，再根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分 9. “x的2倍与3的差不小于5”所列出的不等式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先表示出的2倍，再表示出与3的差，最后根据不等关系列出不等式即可． 【详解】解：根据题意可得，． 10. 如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是_______. 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性，即可求解． 【详解】解：松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，其中的数学道理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 11. 商场为吸引顾客，计划将某种衬衫打折，如果按定价的七折出售将赔20元，而按定价的九折出售将赚10元．设这种衬衫的定价是x元，根据题意列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用衬衫成本不变的等量关系列方程，先分别用含定价的代数式表示两种销售情况下的成本，再根据成本相等建立方程即可． 【详解】解：由题意得，这种衬衫定价为元， 按定价七折出售售价为元，此时赔20元，因此成本价可表示为元， 按定价九折出售售价为元，此时赚10元，因此成本价可表示为元， 因为衬衫的成本价固定不变，因此可得方程． 12. 如图，一个正方形水池的四周恰好被4个正n边形地板铺满，则__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况，体现了学数学用数学的思想，同时考查了多边形的内角和公式．根据平面镶嵌的条件，先求出正n边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出n的值． 【详解】解：正n边形的一个内角， 则， 解得， 故答案为：8． 13. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】利用平移的性质求出空白部分矩形的长，宽即可解决问题． 【详解】解：由题意，空白部分是矩形，长为6﹣2＝4（cm），宽为4﹣1＝3（cm）， ∴阴影部分的面积＝6×4×2﹣2×4×3＝24（cm2）， 故答案为：24． 【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14. 如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，其中正确结论的序号是__． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 【详解】解：①绕点逆时针旋转得到， ，故①正确； ②绕点逆时针旋转， ． ， ． ， ． ，故②正确； ③在中， ，， ． ． 与不垂直．故③不正确； ④在中， ，， ． ，故④正确． ①②④这三个结论正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了旋转性质的应用，掌握图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】解：去括号，得 ， 移项，得， 合并同类项，得 ， 系数化为，得． 16. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】． 【解析】 【分析】先求解第一个一元一次不等式，通过移项、合并同类项得到该不等式的解集．再求解第二个一元一次不等式，先两边同乘2消去分母，再通过移项、合并同类项得到该不等式的解集．取两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，再根据数轴表示解集的规则，将最终解集对应到题干给出的数轴上． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为． 17. 一个多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差为，求这个多边形内角和的度数与边数． 【答案】这个多边形的内角和为，边数为 【解析】 【分析】设这个多边形的一个内角度数为，根据每个内角与相邻外角的差为，列出方程即可求得内角度数，根据每个内角都相等，进而可得每个外角相等，由多边形的外角和为360°，即可求的边数，根据边数以及多边形内角和公式即可求得这个多边形内角和的度数． 【详解】解：设这个多边形的一个内角度数为， 根据题意得：， 解得：． 故多边形的外角度数为：． ∵多边形的外角和等于 ∴这个多边形的边数为：， 内角和为：． 故这个多边形的内角和为，边数为． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的外角和为360°，掌握以上知识是解题的关键． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图． （1）将平移，使点与点是对应点，在图①中画出平移后的； （2）将沿直线翻折，在图②中画出翻折后的； （3）将绕点顺时针旋转，在图③中画出旋转后的． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据平移的性质画出图形即可； 根据折叠的性质画出图形即可； 根据旋转的性质画出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 某纪念品店调查发现：与年大冬会吉祥物吉冰和吉雪相关的两款纪念品深受青少年的喜爱，于是决定购进这两款纪念品．已知款纪念品的进货单价为元，款纪念品的进货单价为元，该店决定购买这两款纪念品共个，其总费用不超过元，求至少需要购买款纪念品的数量． 【答案】个 【解析】 【分析】设需要购买款纪念品个，根据题意列出不等式解答即可． 【详解】解：设需要购买款纪念品个， 由题意得， ， 解得， 答：至少需要购买款纪念品个． 20. 如图，在中，，于点D． （1）尺规作图：作的平分线，分别交、于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作法画出图形即可； （2）由三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理和对顶角的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ， 平分， ， ， ， ∴． 21. 若关于x，y的二元一次方程变形为的形式（a、b是常数，），则其中一对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． （1）二元一次方程的“相伴系数对”为_________； （2）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求k的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）将变形为，二元一次方程的“相伴系数对”为； （2）根据题意，得关于x、y的二元一次方程是，代入，求解即可； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：该方程的“相伴系数对”为， 该方程为． 把代入方程可得：． 解得：． 22. 暑期来临，某校计划组织七年级师生外出研学，结合相关调研数据完成任务． 调研一 租用型客车数量 租用型客车数量 租金总费用 调研二 型客车每辆有个座位，型客车每辆有个座位； 调研三 七年级师生共人前往外地研学； （1）任务一：确定两种型号客车每辆的租金分别是多少元； （2）任务二：某校租用型、型两种客车，若每辆客车恰好都坐满，写出所有租车方案，并从费用和环保两方面考虑选用哪种方案更合适． 【答案】（1）元，元 （2）两种方案：方案：型辆，型辆；方案：型辆，型辆；选用方案更合适 【解析】 【分析】（1）设两种型号客车每辆的租金分别是元，元，根据题意列方程组求解即可； （2）设租用型客车辆，型客车辆，根据题意得出，求出的非负整数解，即可解答； 【小问1详解】 解：任务一：设两种型号客车每辆的租金分别是元，元， 由题意得，， 解得， 答：两种型号客车每辆的租金分别是元，元； 【小问2详解】 解：任务二：设租用型客车辆，型客车辆， 由题意得，， 整理得，， ∵为非负整数， ，或，， ∴有两种方案：方案：型辆，型辆； 方案：型辆，型辆； 方案的费用：元； 方案的费用：元， ∵两种方案费用相同， ∴从环保的角度考虑，车辆总数越少越环保， ∴选用方案更合适． 23. 如图，在中，平分，平分． （1）【结论形成】如图①，若，求的度数； （2）【结论应用】如图②，点分别是边、上一点，连接，将沿折叠，使得点与点重合．若，求的度数； （3）【拓展延伸】如图③，点在的延长线上，作的平分线交延长线于点．若，则________度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】由三角形内角和定理得，进而由角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理解答即可； 由折叠的性质得，，又由平角定义得，即得，得到，再根据即可求解； 利用角平分线及平角定义可得，即得，再根据角平分线的定义及三角形内角和定理解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由折叠可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由可得，； 【小问3详解】 解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在中，，，，．点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿的路径向终点C运动；点P出发的同时点Q从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路径向点B运动．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间是t秒． （1）用含t的代数式表示的长； （2）当点P在线段上运动，Q在线段上运动时，若，求t的值； （3）当的面积等于面积的时，求t的值； （4）当线段将的周长分成两部分的比为时，直接写出t的值． 【答案】（1），；， （2） （3）t的值为8或 （4）t的值为或 【解析】 【分析】（1）分点P在上和上两种情况讨论即可； （2）根据题意，得，，则有，然后问题可求解； （3）根据题意得，则可分当时，点在线段上，此时，当时，点在线段上，此时； （4）根据题意得的周长为，则可分当在上，点在上（），则有，当在上，点在上（），则有，当在上，点在上（），则有，然后分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴点P运动的总时间为18秒， ∴当时，点P在上，时，点P在上， ∴当时，； 当时，； 【小问2详解】 解：根据题意，点P在线段上，，点Q在边上时，， ∴， ∵， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：根据题意得：， ∵的面积等于面积的， ∴， 由题意可分：当时，点在线段上，此时， ∴， 解得：； 当时，点在线段上，此时， ∴， 解得：； 综上，t的值为8或； 【小问4详解】 解：根据题意得的周长为， 当在上，点在上（），则有， ∵线段将的周长分成两部分的比为， ∴或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当在上，点在上（），则有， ∵线段将的周长分成两部分的比为， ∴或， 解得：或（都不符合题意，舍去）； 当在上，点在上（），则有， ∵线段将的周长分成两部分的比为， ∴或， 解得：（不符合题意，舍去）或； 综上，当线段将的周长分成两部分的比为时，t的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级期末测试题数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中属于一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列多边形中，内角和度数与其外角和度数相等的是（ ） A. B. C. D. 5. 机器人社团要制作三角形机械臂，现有2根金属连杆，长度分别为、，以下哪个长度可以与其构成三角形机械臂（ ） A. B. C. D. 6. 古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；两人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，则下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，的延长线经过点且交于点．，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分 9. “x的2倍与3的差不小于5”所列出的不等式是__________． 10. 如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是_______. 11. 商场为吸引顾客，计划将某种衬衫打折，如果按定价的七折出售将赔20元，而按定价的九折出售将赚10元．设这种衬衫的定价是x元，根据题意列方程为__________． 12. 如图，一个正方形水池的四周恰好被4个正n边形地板铺满，则__________． 13. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为________． 14. 如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，其中正确结论的序号是__． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 16. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 17. 一个多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差为，求这个多边形内角和的度数与边数． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图． （1）将平移，使点与点是对应点，在图①中画出平移后的； （2）将沿直线翻折，在图②中画出翻折后的； （3）将绕点顺时针旋转，在图③中画出旋转后的． 19. 某纪念品店调查发现：与年大冬会吉祥物吉冰和吉雪相关的两款纪念品深受青少年的喜爱，于是决定购进这两款纪念品．已知款纪念品的进货单价为元，款纪念品的进货单价为元，该店决定购买这两款纪念品共个，其总费用不超过元，求至少需要购买款纪念品的数量． 20. 如图，在中，，于点D． （1）尺规作图：作的平分线，分别交、于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 21. 若关于x，y的二元一次方程变形为的形式（a、b是常数，），则其中一对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． （1）二元一次方程的“相伴系数对”为_________； （2）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求k的值． 22. 暑期来临，某校计划组织七年级师生外出研学，结合相关调研数据完成任务． 调研一 租用型客车数量 租用型客车数量 租金总费用 调研二 型客车每辆有个座位，型客车每辆有个座位； 调研三 七年级师生共人前往外地研学； （1）任务一：确定两种型号客车每辆的租金分别是多少元； （2）任务二：某校租用型、型两种客车，若每辆客车恰好都坐满，写出所有租车方案，并从费用和环保两方面考虑选用哪种方案更合适． 23. 如图，在中，平分，平分． （1）【结论形成】如图①，若，求的度数； （2）【结论应用】如图②，点分别是边、上一点，连接，将沿折叠，使得点与点重合．若，求的度数； （3）【拓展延伸】如图③，点在的延长线上，作的平分线交延长线于点．若，则________度． 24. 如图，在中，，，，．点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿的路径向终点C运动；点P出发的同时点Q从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路径向点B运动．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间是t秒． （1）用含t的代数式表示的长； （2）当点P在线段上运动，Q在线段上运动时，若，求t的值； （3）当的面积等于面积的时，求t的值； （4）当线段将的周长分成两部分的比为时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $