精品解析：黑龙江省哈尔滨市阿城区2025-2026学年八年级下学期期末调研数学试卷

阿城区八年级期末调研测试 数学学科试卷 2026.07 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”书写（填涂）在答题卡正面和背面的规定位置，将“条形码”准确粘贴在条形码区域处． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（涂卡） 一、选择题：（每小题3分，共计30分） 1. 下列根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 8 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 1，1，2 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 6，8，9 5. 如图，要测量池塘的两端点之间的距离，在外选一点，连接，并分别确定它们的中点，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图中有3张黑色正方形纸片，第2个图中有5张黑色正方形纸片，第3个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第n个图中黑色正方形纸片的张数为（ ） …． A. 4n+1 B. 3n+1 C. 3n D. 2n+1 7. 我国幅员辽阔，不同地方的气温差异较大，甲、乙两市年月日的最高气温箱线图如图所示，关于①、②两个判断说法正确的是（ ）． ①该段时间内甲、乙两市最高气温的下四分位数相等 ②该段时间内甲市最高气温的波动比乙市大 A. 只有①对 B. 只有②对 C. ①、②都对 D. ①、②都不对 8. 开窗见蓝天、出门迎白云，如今已成为太原市民的日常．一组数据印证了这份“蓝天幸福感”：2023年全年太原市空气污染天数为121天，2025年全年太原市空气污染天数为82天．设连续两年太原市空气污染天数的平均减少率为x，则下面所列方程正确的是（） A. B. C. D. 9. 如图，已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，四边形是菱形 B. 当时，四边形是正方形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当时，四边形是菱形 10. 如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，如果点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，那么表示y与x的函数关系的图像大致是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：（每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 12. 计算的结果是______． 13. 如图，正六边形常被用于古建筑窗棂图案，其在中国传统文化中有重要意义，“六合”代表天地四方，象征吉祥如意．正六边形的每个内角是__________度． 14. 《九章算术》中有这样一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：如图，一根竹子，原高1丈（1丈尺），风将其折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断处离地面的高度是______尺． 15. 中国结寓意团圆、美满，小云家有一个菱形中国结装饰如图所示，其示意图如图所示，测得，，则该菱形的面积为______． 16. 已知点在正比例函数的图像上，则的值为_______． 17. 设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 18. 如图，在菱形中，已知，交于点，且，则线段的长为___________． 19. 用两个完全相同的等腰直角三角板拼平行四边形，若等腰直角三角板的直角边长为，则得到的平行四边形的周长是___________． 20. 如图，矩形中，点为对角线的中点，连接，点在上，，，，有下列结论： ①；②；③矩形的面积为；④若为线段上的动点（不包括端点），连接、，的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分；25~27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B均为格点（网格线的交点），请仅用无刻度直尺按要求画图． （1）点、点在格点上，以线段为一边，画平行四边形，使其面积是，连接，以线段为边画正方形； （2）画出的高线；直接写出的长． 23. 2026年2月17日（大年初一），《惊蛰无声》在各大影院同时上映．这不只是一部电影，更是一堂生动的国家安全教育课、一次对无名英雄的致敬．为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，98，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 a 70和98 b 176.36 乙 86.3 c 90 73.41 根据以上信息，回答下列问题： （1）__________，__________，__________； （2）求甲组学生竞赛成绩的第一四分位数为__________，第三四分位数为__________； （3）根据以上信息，对甲、乙两组学生的竞赛成绩进行比较，并简述理由．（可以从平均数，四分位数，方差等方面进行比较，写出一条合理的理由即可） 24. 定义：有两组邻边分别相等的凸四边形叫做筝形． （1）如图1，在菱形中，点、分别是边、上的两个点，，连接、．求证：四边形是筝形； （2）如图2，方格纸中每个小正方形的边长为个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点、均在格点上，以点为原点，点、所在直线为轴，建立平面直角坐标系，，若点、均在格点上，且四边形为筝形，请直接写出网格中所有符合条件的点的坐标． 25. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 东北地区城市足球联赛持续在哈尔滨市阿城区火热开赛，赛事期间多地参赛队伍、观赛群众与体育爱好者来到阿城，汇聚海量人流热度，激活赛事经济．阿城区山林资源丰富，生态条件优越，盛产各类优质原生态山珍，某特产专营店推出、两款山珍礼盒，深受消费者喜爱． 素材一 顾客甲在该专营店购买记录：盒款礼盒、盒款礼盒，共元； 素材二 顾客乙在该专营店购买记录：盒款礼盒、盒款礼盒，共元． 素材三 某球迷协会，计划采购这两款礼盒共盒，用于现场宾客分发与互动使用，要求款礼盒的数量不超过款礼盒数量的倍． 请完成下列任务： （1）求每盒款礼盒、每盒款礼盒的单价； （2）求款礼盒购买多少盒时，使得该球迷协会购买的总费用最低，最低总费用是多少元？ 26. 在平行四边形中，，． （1）求证：平行四边形是正方形； （2）如图1，点，分别在边，上，，与相交于点．求证：； （3）如图2，在（2）的条件下，点在上，，连接，平分交于点，连接并延长交于的，若，，求线段的长． 27. 如图，已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与坐标轴交于A、B两点，，． （1）求直线的解析式； （2）如图1，点C为中点，点D在延长线上，交y轴于点E，设D点横坐标为t，点E纵坐标为d，求d与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点F在延长线上，，连接，过点F作轴与的垂直平分线相交于点G，过A作轴交线段于点H，点M在上，，连接、，点N在上，连接、，若，，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阿城区八年级期末调研测试 数学学科试卷 2026.07 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”书写（填涂）在答题卡正面和背面的规定位置，将“条形码”准确粘贴在条形码区域处． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（涂卡） 一、选择题：（每小题3分，共计30分） 1. 下列根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】∵最简二次根式需满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式， 对选项逐一判断： A选项：的被开方数是能开得尽方的因数，化简得，因此不是最简二次根式． B选项：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义． C选项：的被开方数含有分母，因此不是最简二次根式． D选项：，被开方数含有分母，因此不是最简二次根式． 2. 以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的面积计算，，再根据勾股定理计算即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ， 的值为6， 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，不能直接合并，，A错误； B选项：合并同类二次根式可得，，B错误； C选项：根据积的乘方法则计算可得，，C错误； D选项：根据二次根式除法法则计算可得，，运算正确； 故选：D． 4. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 1，1，2 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 6，8，9 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项，，， ，不是勾股数，不符合题意； B选项，，， ，且3，4，5均为正整数，是勾股数，符合题意； C选项，，， ，不是勾股数，不符合题意； D选项，，， ，不是勾股数，不符合题意． 5. 如图，要测量池塘的两端点之间的距离，在外选一点，连接，并分别确定它们的中点，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵分别为中点， ∴是的中位线， ∴． 6. 下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图中有3张黑色正方形纸片，第2个图中有5张黑色正方形纸片，第3个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第n个图中黑色正方形纸片的张数为（ ） …． A. 4n+1 B. 3n+1 C. 3n D. 2n+1 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形的规律可知，从第二个图形开始，每个图形中的黑色正方形纸片数比前一个图形多2个，由此可推出结果． 【详解】第1个图中有3张黑色正方形纸片， 第2个图中有5张黑色正方形纸片， 第3个图中有7张黑色正方形纸片， …， 依次类推，第n个图中黑色正方形纸片的张数为2n+1， 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的规律，代数式表示图形的个数，掌握图形的规律是解题的关键． 7. 我国幅员辽阔，不同地方的气温差异较大，甲、乙两市年月日的最高气温箱线图如图所示，关于①、②两个判断说法正确的是（ ）． ①该段时间内甲、乙两市最高气温的下四分位数相等 ②该段时间内甲市最高气温的波动比乙市大 A. 只有①对 B. 只有②对 C. ①、②都对 D. ①、②都不对 【答案】C 【解析】 【分析】由箱线图可知甲、乙的下四分位数相等，因为甲箱线图的箱体较高，说明该段时间内甲市最高气温的波动比乙市大． 【详解】解：由箱线图可知，甲、乙两市最高气温的下四分位数都是， 该段时间内甲、乙两市最高气温的下四分位数相等， 故①正确； 甲箱线图的箱体较高，说明甲的数据较分散，数据波动较大， 该段时间内甲市最高气温的波动比乙市大， 故②正确； 综上所述，①、②都对． 8. 开窗见蓝天、出门迎白云，如今已成为太原市民的日常．一组数据印证了这份“蓝天幸福感”：2023年全年太原市空气污染天数为121天，2025年全年太原市空气污染天数为82天．设连续两年太原市空气污染天数的平均减少率为x，则下面所列方程正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据初始污染天数和平均减少率推导两年后污染天数，即可列出正确方程． 【详解】解：∵2023年空气污染天数为121天 ∴2024年空气污染天数为 ∴2025年空气污染天数为 又∵2025年空气污染天数为82天 ∴可得方程． 9. 如图，已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，四边形是菱形 B. 当时，四边形是正方形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当时，四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、当时，四边形是菱形，正确； B、当时，四边形是矩形，不是正方形，故错误； C、当时，四边形是矩形，正确； D、当时，四边形是菱形，正确． 10. 如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，如果点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，那么表示y与x的函数关系的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先作出合适的辅助线，再证明和的关系，即可建立y与x的函数关系，从而确定函数图像． 【详解】解：由题意可得：，， ，，，点C的纵坐标是y， 作轴，作于点D，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x轴的距离， ∴， 结合选项可得，A符合题意． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，明确题意、建立相应的函数关系式是解答本题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：（每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件，即可求解自变量的取值范围． 【详解】解：由题意得，该函数分母含有二次根式，因此分式的分母不能为，且二次根式的被开方数为非负数，可得， 解得， ∴在函数中，自变量的取值范围是． 12. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和二次根式的减法法则，即可求解． 【详解】= 故答案是：． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质和运算法则，是解题的关键． 13. 如图，正六边形常被用于古建筑窗棂图案，其在中国传统文化中有重要意义，“六合”代表天地四方，象征吉祥如意．正六边形的每个内角是__________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式求出正六边形的内角和，再根据正多边形各内角相等，除以边数即可求解． 【详解】解：正六边形的边数， 根据多边形内角和公式，得正六边形的内角和为， 因为正六边形的个内角相等， 所以每个内角的度数为． 14. 《九章算术》中有这样一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：如图，一根竹子，原高1丈（1丈尺），风将其折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断处离地面的高度是______尺． 【答案】 【解析】 【详解】解：设折断处离地面的高度是尺，则该直角三角形的斜边长为尺，由勾股定理可得： ， 解得：， 即折断处离地面的高度是尺． 15. 中国结寓意团圆、美满，小云家有一个菱形中国结装饰如图所示，其示意图如图所示，测得，，则该菱形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可。 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴该菱形的面积为。 16. 已知点在正比例函数的图像上，则的值为_______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】将点的坐标代入函数解析式，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：点在正比例函数的图象上， 将点的坐标代入解析式得：， 解得． 17. 设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得，， ． 18. 如图，在菱形中，已知，交于点，且，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知，利用勾股定理即可求出，，再次利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ，， ， ， ． 19. 用两个完全相同的等腰直角三角板拼平行四边形，若等腰直角三角板的直角边长为，则得到的平行四边形的周长是___________． 【答案】4或 【解析】 【分析】两个完全相同的等腰直角三角板可拼接出两种不同的平行四边形，分情况计算即可． 【详解】解：用两个完全相同的等腰直角三角板拼成平行四边形，共有种情况． ①拼接时重合边为等腰直角三角板的斜边∶ 等腰直角三角板的直角边长为， 拼接得到的平行四边形的四条边长均为， 平行四边形的周长为． ②拼接时重合边为等腰直角三角板的直角边∶ 由勾股定理，可得 等腰直角三角板的斜边长为， 拼接得到的平行四边形邻边长分别为和， 平行四边形的周长为． ∴得到的平行四边形的周长是或． 20. 如图，矩形中，点为对角线的中点，连接，点在上，，，，有下列结论： ①；②；③矩形的面积为；④若为线段上的动点（不包括端点），连接、，的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据矩形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知①正确；根据矩形的性质与角的和差关系可得②；延长，使得，连接，由题意易得，，则有，设，则有，然后根据勾股定理可得③；作点关于的对称点，连接，取的中点，连接，根据“将军饮马”问题可得④． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 点为对角线的中点， ，故①正确； 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； 延长，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴矩形的面积为，故③正确； 作点关于的对称点，连接，取的中点，连接，如图所示： 根据轴对称的性质可知：，， ∴， ∴当点三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为线段的长， 由③可知：， ∵为的中点，是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为，故④错误； 综上所述：正确的有①②③． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分；25~27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的运算法则化简原式，再计算的值，代入化简后的式子计算即可得到结果． 【详解】解： , 当时， 原式． 22. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B均为格点（网格线的交点），请仅用无刻度直尺按要求画图． （1）点、点在格点上，以线段为一边，画平行四边形，使其面积是，连接，以线段为边画正方形； （2）画出的高线；直接写出的长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的定义并结合面积是16，画出图形即可；根据正方形的定义作图即可； （2）根据高线的定义作图即可，再结合平行四边形的面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：作图略； 证明：由图可知， ∴四边形是平行四边形； 由勾股定理可知， 如图，连接，可知， 可知四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴菱形是正方形； 【小问2详解】 解：作图略； 证明：如图， 同（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是的高线； 由勾股定理可得， ∵， ∴． 23. 2026年2月17日（大年初一），《惊蛰无声》在各大影院同时上映．这不只是一部电影，更是一堂生动的国家安全教育课、一次对无名英雄的致敬．为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，98，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 a 70和98 b 176.36 乙 86.3 c 90 73.41 根据以上信息，回答下列问题： （1）__________，__________，__________； （2）求甲组学生竞赛成绩的第一四分位数为__________，第三四分位数为__________； （3）根据以上信息，对甲、乙两组学生的竞赛成绩进行比较，并简述理由．（可以从平均数，四分位数，方差等方面进行比较，写出一条合理的理由即可） 【答案】（1）84.8，90，92 （2）70，98 （3）解：乙组竞赛成绩比甲组竞赛成绩好，理由如下： 从平均数上看，乙组的平均数大于甲组平均数，乙组竞赛成绩较好；从方差上看，乙组的方差73.41小于甲组的方差176.36，乙组竞赛成绩更稳定；故乙组竞赛成绩比甲组竞赛成绩好． 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可； （2）根据第一四分位数和第三四分位数的定义求解即可； （3）言之有理即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 把甲组学生竞赛成绩按照从低到高的顺序排列为，第5个数为89，第6个数为91，则， ∵乙组学生竞赛成绩中，得分为92分的人数最多， ∴； 【小问2详解】 解：把甲组学生竞赛成绩按照从低到高的顺序排列为， 方法一：， ∴甲组学生竞赛成绩的第一四分位数为排序后的第3个数据，第三四分位数为排序后的第8个数据， ∴甲组学生竞赛成绩的第一四分位数为70，第三四分位数为98； 方法二：取排序后的前5个数，它们的中位数为70，则甲组学生竞赛成绩的第一四分位数为70， 取排序后的后5个数，它们的中位数为98，则甲组学生竞赛成绩的第三四分位数为98； 综上所述，甲组学生竞赛成绩的第一四分位数为70，第三四分位数为98； 【小问3详解】 略 24. 定义：有两组邻边分别相等的凸四边形叫做筝形． （1）如图1，在菱形中，点、分别是边、上的两个点，，连接、．求证：四边形是筝形； （2）如图2，方格纸中每个小正方形的边长为个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点、均在格点上，以点为原点，点、所在直线为轴，建立平面直角坐标系，，若点、均在格点上，且四边形为筝形，请直接写出网格中所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 四边形是筝形； （2），，， 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质可证、，根据筝形的定义可证结论成立； （2）根据筝形的定义分情况求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图所示，当点的坐标是时， ，， 四边形是筝形； 如下图所示，当点的坐标是时， ，， 四边形是筝形； 如下图所示，当点的坐标是时， ，， 四边形是筝形； 如下图所示，当点的坐标是时， ，， 四边形是筝形； 综上所述，点的坐标可以是、、、． 25. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 东北地区城市足球联赛持续在哈尔滨市阿城区火热开赛，赛事期间多地参赛队伍、观赛群众与体育爱好者来到阿城，汇聚海量人流热度，激活赛事经济．阿城区山林资源丰富，生态条件优越，盛产各类优质原生态山珍，某特产专营店推出、两款山珍礼盒，深受消费者喜爱． 素材一 顾客甲在该专营店购买记录：盒款礼盒、盒款礼盒，共元； 素材二 顾客乙在该专营店购买记录：盒款礼盒、盒款礼盒，共元． 素材三 某球迷协会，计划采购这两款礼盒共盒，用于现场宾客分发与互动使用，要求款礼盒的数量不超过款礼盒数量的倍． 请完成下列任务： （1）求每盒款礼盒、每盒款礼盒的单价； （2）求款礼盒购买多少盒时，使得该球迷协会购买的总费用最低，最低总费用是多少元？ 【答案】（1）每盒款礼盒单价为元，每盒款礼盒单价为元 （2）采购款礼盒盒时总费用最低，最低总费用为元 【解析】 【分析】（1）设每盒款礼盒单价为元，每盒款礼盒单价为元，列二元一次方程组求解即可； （2）设采购款礼盒盒，求出的取值范围，设购买这批物资的总费用为，可得：，根据一次函数的性质可得：当时，的最小值． 【小问1详解】 解：设每盒款礼盒单价为元，每盒款礼盒单价为元， ， 解得：， 答：每盒款礼盒单价为元，每盒款礼盒单价为元； 【小问2详解】 解：设采购款礼盒盒， 根据题意可得：， 解得：， 设购买这批物资的总费用为， 根据题意可得：， ， 随的增大而增大， 当时，的最小值， 答：采购款礼盒盒时总费用最低，最低总费用为元． 26. 在平行四边形中，，． （1）求证：平行四边形是正方形； （2）如图1，点，分别在边，上，，与相交于点．求证：； （3）如图2，在（2）的条件下，点在上，，连接，平分交于点，连接并延长交于的，若，，求线段的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平行四边形是矩形， ， 平行四边形是正方形； （2）证明：在正方形中，， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可证，根据可证四边形是正方形； （2）根据正方形的性质可证，根据全等三角形的性质可证； （3）作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形和勾股定理求出线段的长度即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如下图所示，过点作交延长线于，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 延长到点，使， 在和中，， ， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ． 设， 则，，， 可得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ， ， ， ， ，，， 过点作于， ，， ， 在和中，， ， ，，， ， ． 27. 如图，已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与坐标轴交于A、B两点，，． （1）求直线的解析式； （2）如图1，点C为中点，点D在延长线上，交y轴于点E，设D点横坐标为t，点E纵坐标为d，求d与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点F在延长线上，，连接，过点F作轴与的垂直平分线相交于点G，过A作轴交线段于点H，点M在上，，连接、，点N在上，连接、，若，，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，求解即可； （2）连接，证明，得到，根据D点横坐标为t，点E纵坐标为d，变形求解即可； （3）设，则，，延长交x轴于点P，设，则，，得到，解得，根据勾股定理，待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， ， 解得， 故直线的解析式为； 【小问2详解】 解：连接， ，， ， ， 点C为中点， ，． ， ， ， ， ∵， ∴， ， ∵D点横坐标为t，点E纵坐标为d， ∵ 故d与t的函数解析式为； 【小问3详解】 解：根据题意，得轴，轴，轴， ， 四边形是矩形， ，， ∵D点横坐标为t，点E纵坐标为d， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， 延长交x轴于点P， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， 设，则，， ， ， ， 解得， ∴， ∴，∴， ∴，，，， 过点D作，交的延长线于点T， 则四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∵过点F作轴与的垂直平分线相交于点G， , 根据勾股定理，得， 解得， ， ∴ 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $