辽宁营口市部分校2025-2026学年高一下学期期末联考数学试卷

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教B版必修第三册，必修第四册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.复数z=(一2十i)i的共轭复数为 A.1+2i B.-1+2i C.2+i D.-2+i 2.已知向量a=(2m+1,1),b=(1,5-4m),且a⊥b,则m的值为 A.3 B.-3 C.2 D.-2 3.如图是“二十四节气圆周”图，各节气点等分“节气圆周”，则一年内在“节气圆 周”上从清明节气点沿顺时针方向旋转到小寒节气点，旋转的角度为 A一受 春分 秋分 B-受 头 c暨 D 4.如图，用斜二测画法作出△ABC的直观图△A'B'C',若A'B'=A'C'=1,则BC= A.2√2 B.√5 C.√2 /O(A) D号 B 5.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=bcos A,则△ABC的形状是 A,等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 【高一数学第1页（共4页）】 6.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，D为母线SB的中点，C是AB的中 点，SO=AB=2,则直线SA与CD所成角的余弦值为 A号 恩 c 7.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈（-受，受)时，f(x)=x2+-tan-cosx,则 A.f(4)<f(2)<f(3) B.f(3)<f(4)<f(2) C.f(3)<f(2)<f(4) D.f(2)<f(3)<f(4) 8.已知四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球O的球面上，且四边形ABCD是边长为√6的正方形，若四棱 锥P-ABCD的体积的最大值为6，则球O的表面积为 A.64π B.48元 C.16元 D.12m 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数x1=1十i,z2=一2十3i,则 A.21十z2=-1+41 B.1一z2在复平面内对应的点位于第二象限 C.好=-2i D.lz2|2=|z2引 10.已知a,B是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题错误的是 A.若m∥a,mCB,a∩=n,则m∥n B.若a⊥B,m⊥a,则m∥9 C.若a∥B,mCa,nCB,则m∥n D.若m,n是异面直线，且mCa,m∥B,nCB,n∥a,则a∥g 11.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin2A十√2 sin Bsin C=sin2B+sin2C,c=3,则下 列结论正确的是 A.A- B,若Q=号，则满足条件的△ABC有且只有-个 C.若c>b>a,且tanB是整数，则tanC=3 D,若A是△ABC的最小内角，则△ABC面积的取值范围是[？，号] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知tana=-3,则tan(a-牙)- 13.底面边长为8的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为4，高为5的正三棱锥，所 得棱台的体积为 14.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,点P为矩形ABCD所在平面内一点，则(PA+PC)·PB的最小 值为 【高一数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知a∈R,复数z=(a2一3a一4)十(a十1)i,且z为纯虚数. (1)求a的值； (2)若=3千求. 16.(本小题满分15分) 如图，在正四棱锥P-ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H,E,F分别为PA,AH,HO的中点，点 M在棱PD上，且PM=3MD. (1)证明：HO∥平面PCD; (2)证明：平面EFM∥平面ABCD. D 0 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a一c)(a十c)=b(a一b). (1)若2 cos Bsin C=sinA,求证：△ABC为等边三角形； (2)若a=3,b=4,点D是边AB上的一点，且∠ACD=∠BCD,求线段CD的长 【高一数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知函数fx)=6os(?-x)-号os2z (1)证明：x)≤号； (2)求f(x)的单调递增区间； (3③)若函数y=(分z一号(w>0)在区间[于，受)上存在2个零点和1个对称轴，求实数u的取值 范围。 19.(本小题满分17分) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C中，底面ABC是边长为3的等边三角形，AA1=A,C=5,A1B=4. (1)证明：A1B⊥平面ABC; (2)求二面角A-BC-B1的正弦值； (3)若点P是棱AA,上的动点（包括端点），求直线BP与平面BB1CC所成角 的正弦值的取值范围。 【高一数学第4页（共4页）】高一数学参考答案、提示及评分细则 1.B依题意，x=(-2十i)i=一2i十=一1-2i,所以之的共轭复数=-1十2i故选B. 2.A因为a=(2m+1,1),b=(1,5-4m),且a⊥b,所以a·b=(2m+1,1)·(1,5-4m)=2m+1+5-4m=6-2m= 0,解得m=3.故选A. 3.A从清明节气点沿顺时针方向旋转到小寒节气点，共经过18个节气点，所以旋转的角度为18×（一卺）=一要故 选A. 4.B根据斜二测画法可知，AB⊥AC,又A'B′=A'C'=1,所以AB=1,AC=2,所以BC=√22+1卫=√5.故选B. 5.C由c=bcos A及正弦定理，得sinC=sin Bcos A,因为A+B+C=π，所以sinC=sin(A十B),即sin Acos B+ sin Beos A-=sin Beos A,故sin Acos B-=0,因为A∈(0，x),所以sinA≠0，故cosB=0,因为B∈(0，元)，所以B=, 即△ABC的形状为直角三角形.故选C. 6.D如图，连接OC,OD,易得OC⊥OD,又O,D分别是AB,SB的中点，所以OD∥SA,所以 直线SA与CD所成角为∠CD0或其补角)，因为5SA=V®+T=5,0D合S=9.CD √（停）+1=号，所以co∠C0-8器号.放选D 7.B当x∈(-交，受)时，f(x)=f(-x),且f(x)=z2+-tanl2-cosx在(0，受)上单 调递增，又f(x)=f(x-x),所以f(2)=f(x-2),f(3)=f(π-3)，f(4)=f(π-4)=f(4-π)，因为0<π-3< 4-<π-2<受，所以f(x-3)<f(4-x)<f(x-2),所以f(3)<f(4)<f(2).故选B. 8.C设球O的半径为R,正方形ABCD的中心为O,所以OO=√R2一AO=√R一3，所以四棱锥P-ABCD的体积 的最大值为3SD·(R+R-3)=令X()(R+√R-3)=6,所以R+√R-3=3,即VR一3=3-R,解 得R=2,所以球O的表面积为4πR=16m.故选C. 9.AD名十2=一1十4i,故A正确：因为之1一之2=3-2i,所以名一2在复平面内对应的点为(3，一2)，位于第四象限，故 B错误；因为好=(1+i)2=1+2i十=2i,故C错误；x212=(-2)2+32=13,号=(-2+3i)2=-5-12i,号1= /(-5)2+(-12)产=13=|22，故D正确.故选AD. 10.BC对于A,若m∥a,mC3,a∩3=n,则m∥n,故A正确；对于B,若a⊥3，m⊥a,则m∥3或mC3,故B错误；对于C, 若a∥B,mCa,nC3,则m∥n或m,n是异面直线，故C错误；对于D,若m∥B,则存在平面Y,使得mCY,3∩y=m',所 以m∥m',若m'Ca,则a∩B-m',又nC3,n∥a,则n∥m'∥m,与m,n是异面直线矛盾，所以m中a,又m∥m',mCa, 所以m∥a,又m,n是异面直线，n,m'CB,所以m',n相交，又n∥a,所以a∥B,故D正确.故选BC. 1.AD对于A,由simA十2 sin Bsin C=-sim2B+smC及正弦定理，可得+2-d=2c,所以osA=+女c_ 2bc 朵-号，因为AC(0,x),所以A=子，A正确：对于B.因为nA3号，3号<a=吕<3，满是条件的△ABC有两 个，B错误：对于C.由题可得B叶C-要夸>C>B>平，mC=m(停-B)--1一mB又amB 是整数，若tanB=2,tanC=3>tanB,符合题意；若tanB=3,则tanC=2<tanB,不合题意；随着tanB取更大的整 【高一数学参考答案第1页（共4页）】 数，tanC的值逐渐减小，不合题意，所以tanC=3,C正确：对于D,因为A是△ABC的最小内角，则B>于，B+A≥ 受则子<C<受，当C=号时，6要，sr=合imC-子×29×3-是：当登<C<多时，由正弦定理，得 2 。鼎2=始是，所以x一专咖c=×想里×（亭 =9×simC+cosC- sin C sin C sin C 4 sin C 是(1十)，因为amC≥1，所以1<1十C≤2，所以号<S≤号.综上，△AC面积的取值范图是 [是，号]，D正确放选AGD 12.2tan(a-平) tana-tan 1+aam年i开2 4 -3-1 13.140 3 由于青-合，而裁去的正三棱锥的高为5，所以原正三棱锥的高为10，所以正三棱锥的体积为宁×合×8X 8音×10=169，栽去的正三棱锥的体积为时××4X4sm吾×5=20，所以校台的体积为16020 3 3 3 3 -1403 3 如图所示，以A为原点，以AB,AD所在直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系， 设P(x,),则A(0,0),B1,0),C(1,2),可得PA=(-x,-y),P元=(1-x,2-),P市=(1 -x,-),则PA+P元=(1-2x,2-2y),所以(PA+P亡)·Pi=(1-2x,2-2y)· 1-,-)=2(。-)°+2(0-合)-音，所以当且仅当x=是y=合时， p成+P衣)·P市取得最小值-吾 a2-3a-4=0, 15.解：(1)因为复数x为纯虚数，所以 …3分 a+1≠0， a=-1或a=4, 解得 所以a=4.… a≠-1， …6分 (2)由(1)，得a=4,2=5i,… …7分 5i 5i3=1i-或5= 所以一3杀3开；93D9 3 10 10分 所以✉=√（分）+（号》=四 2 13分 16.证明：(1)连接AC,正四棱锥P-ABCD中，O为正方形ABCD的中心，则O为AC的中点，…2分 又H为PA的中点，则HO∥PC,…4分 因为HO对平面PCD,PCC平面PCD,所以HO∥平面PCD.…6分 (2)因为E,F分别为AH,HO的中点，则EF∥AO,…7分 H 因为EF丈平面ABCD,AOC平面ABCD,所以EF∥平面ABCD,… …9分 因为H,E分别为PA,AH的中点，则PE=3EA, 又PM=3MD,所以EM/∥AD,… 11分 EM平面ABCD,ADC平面ABCD,则有EM∥平面ABCD,… 13分 EF,EMC平面EFM,EF∩EM=E,所以平面EFM∥平面ABCD.… 15分 【高一数学参考答案第2页（共4页）】 17.解：因为(a-c)(a+c)=b(a-b),所以a2+-2=ab,所以cosC=+-C= 2ab 2ab …3分 又C∈(0，元)，所以C=牙.… …5分 （1证明：若20osnC=如A,由正孩定理得2aos片=a,所以cosB-是心c. 2ac 所以2-62=0，所以c=b,… …8分 又C=苓，所以△ABC为等边三角形. … 10分 (2)解：因为Sae=SD+SaD,即7 asin C--b,CDsin∠ACD+号a:CDsin∠BCD, 所以2×3X4sin吾-=X4CDsm吾+X3·CDsin吾， 13分 解得CD=12 7 15分 18.(1)证明：fx）)= 2 =sim(2x-子)+2 3分 当2x-吾=2kx+受，k∈Z时，即x-登+，k∈Z时，f)m 4分 故)≤受 5分 (2)解：令2km—受≤2x-答≤2kx十5，k∈Z,… 7分 解得r意<x+登k∈乙。 9分 放f代)的单调递增区间为[x一竞x+登]，(k∈Z。 10分 (3)解：y=f(分z）一号=sin(o-号)，设函数)y一sin(or-于)的最小正周期为T, 由题意可知，号<子<T,即<子<解得4<8， 11分 由正弦函数的图象可知，两个相邻零点之间必有一条对称轴 由sim(ar-晋）=0，得ar-号-kx,k∈么，由ze[至，受)得a-受∈[-子，受-) 又4长<8，所以等<警-吾<警警<受-吾<， 13分 432π， 则 或 15分 解得号w号或号<w号 放实数。的取值范周为（号，9]U(号，号] 17分 19.(1)证明：在△ABA中，AB=3,AA=5,AB=4,所以AA￥=AB+AB,所以AB⊥AB, 1分 在△ABC中，BC=3,AC=5,AB=4,所以AC2=BC十AB,所以BC⊥AB,…2分 【高一数学参考答案第3页（共4页）】 又AB,BCC平面ABC,AB∩BC=B,所以A1B平面ABC.… …3分 (2)解：如图，连接BC,取BC的中点D,连接AD,CD,AC. 因为A,B⊥平面ABC,平面ABC∥平面AB1C1,ACC平面AB,C1,所以AB⊥AC1, 因为A1B=4,AC1=3,所以BC=5,… …4分 因为AB=AC=3,CC=BC1=5,D是BC的中点，所以AD⊥BC,CD⊥BC, 所以∠ADC是二面角A一BC-B1的平面角. …5分 在等边△ABC中，AB=3,BD=CD,所以AD=3 2 … …6分 在△0G中，因为C=5,CD-=号，所以CD=VCC-CD=√25-g=四 ,…7分 在平行四边形AACC中，os∠AAC=3,+5-5-3 2×3×510 所以cos∠AAC= 3 /3+3-2×3×5×(-哥)=， …8分 (3)+()-( 在△ADC中，cos∠ADC1 35 2×3y5× 91 2 2 所以sin∠ADC=√-cos∠ADC-8/ 91 放二面角A-C-B的正弦值为8夏 …9分 (3)解：如图，过点A作AH⊥CD,交CD的延长线于点H. 因为BC⊥AD,BC⊥CD,AD∩CD=D,AD,CDC平面ACD,所以BC⊥平面ACD. 因为AHC平面ACD,所以AH⊥BC.…10分 又AH⊥C1D,BC∩CD=D,BC,CDC平面BB1CC, 所以AH⊥平面BB,CC,sin∠ADH=sin∠ADC=8Y 91 所以AH=ADsin∠ADH=3yE×8A=1227E 2 91 91 12分 因为AA∥BB,BBC平面BBCC,AA￠平面BBCC,所以AA∥平面BBCC 又因为点P在棱AA上，所以点P到平面BB,CC的距离为AH=122至 91 所以直线BP与平面B,GC所成角的正孩值为部票 91BP1 …15分 当BPLAA,时，BP最短，为3学4=号， 59 可得直线BP与平面BB,CC所成角的正弦值的最大值为2/2零-52至， 91X号 91 当点P与A1重合时，BP最长，为4， 可得直线B即与平面B,CC所成角的正弦值的最小值为受-3平， 91 故直线BP与平面BB,CC所成角的正弦值的取值范围为[32还，5/27至] 91 91 ………17分 【高一数学参考答案第4页（共4页）】