辽宁辽阳市2025-2026学年高一下学期7月学情评估数学试题

4 辽阳市2025一2026（下）高一学情评估试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的。) 1.1616°角的终边所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若复数z满足z(2-)=5(1+),则复数z为( ) A.1-3i B.1+3i )81C.1-2i D.1+2i 3.已知xe(0,π)，则“cosx= ”是“six=2 2 1”的() 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知两条不同直线m,n,两个不同平面a,B,下列命题中正确的是() A.若m⊥l,n⊥l,则m/1/m B.若mca,nca且m/IB,nIIB,则a/B C.若aIIB,aca,bcB,则a11b D.若m⊥a,m⊥B,nca,则n/1B 5.已知向量a,6满足=l,l=2,a-(6-)=-l,则2ā+6=() A.2W2 B.2√5 C.8 D.12 高一数学第1页（共4页） 6.在△ABC中，a=4,b=6,边a,b的夹角为C,且mC+君-1，则c=（) A.25 B.2万 （.煤.丽 群水兴D.2美 在.4还·+修受设 7.已知cos -月 则sin20=( 7 卧 7 n 24心92.5-。224 A. 25 B.一 C. 25 D.- 25 25 8. 已知正三棱台ABC-A,B,C,上底面正三角形边长为2，下底面正三角形边长为8， =吹-不. 侧棱长为√21，则此三棱台的体积为() 力装黄南解面，空文水京客城食”英，破/小《双破本能会冲，些 A.21V5 B.283 C.30w3 D.32N3 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9.在△ABC中，a=4,b=2,C=2亚，下列结论正确的有(，) 3 A.c=2W万 B.A=产 6 C.sinB=21 14 .1D.Sa8c=23影15，. 10.关于函数f=cox-}m+写 的叙述中，正确的有(《)名.一 A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)在区间 ππ 63 内单调递增 C.f(x)的图象关于点 0对称 D.+写)是偶函数 11.在四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形，若SD=AD,则 () >位y0)(本5}悦产1)资函法1支1) A.AC⊥SB ,珠 B.AC与SB所成角为60 中网校而（母4）m?(?)溶大《 C.BD与平面SCD所成角为45 球翰洲2少爷水外 D.BD与平面SAB所成角的正切值为 3 高一数学第2页（共4页） 第Ⅱ卷（主观题) 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分，） 12.已知复数z=23+3-4i,则2= 13.已知向量a=2,sin),i=(cos8,-》,若a16,则，sim29 1+cos2日 的值为 14.已知等边三角形ABC的边长为2，BD=BC,CE=CA(0<1<1),AD交BE于点 M,且MA+MB+MC=0,则EM=—, 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15.(13分)己知向量ā=(-1,3)，万=(1，-2)，元=a+2b,d=a+6. (1)求向量ā在6上的投影的数量.%共心0小巴兰恩占)学 (2)求向量c与ā的夹角.民陪，位)t全来白三份： (3)若c1(a-5),求实数2的值. 上. 16.(15分)在四棱锥P-ABCD中，BCI/平面PAD,E、F分别为PD、PA中点，且 PA=AB=AD=2BC=4.CE=27 (1)证明：E、F、B、C四点共面. (2)求直线PA与直线CE夹角正弦值. 17.(15分)已知函数)=m(2x+)0<p<孕，f得-0 (1)求P的值. (2)求函数f(x)=sin(2x+p)的对称中心. (3)求不等式f()>2的解集。 林， 式u4 高一数学第3页（共4页） 18.(17分)如图，在长方体ABCD-4B,CD,中，AB=A4=2,04D√2，E为线段AB 的中点， (1)证明：AC⊥DE. 成专 (2)求二面角D-AC-B的余弦值. 可有密 (3》在线段DB上是否存在点P,使得DE1平面APC?若存在，求出DS的值： PE 若不存在，请说明理由. 活类同4八出D,场 家，回会冰案学气的带淘 回…计味若 D 〈益)春 E 中：个国出合积。罗西代女食心藏w,感小彩积得安每数 19.（17分》在△MBC中，角A,B,C所对的边分别为ab,c,若S=5(6+c22) 4 (1)求角A的大小. (2)若a=2. ①△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围： w-i ②∠BAC的角平分线交BC于点D,求线段AD长度的最大值. 动 n以N11 高一数学第4页（共4页）辽阳市2026-2026（下)高一学情评估试题答案 一、单选 1.B1616°=360°×4+176°，所以1616°所在的象限为第二象限. 2.B2=5(1+1=51+02+2-10+5+10+52 2-i (2-0(2+i) 4+1 =1+31 3.A.x∈(0，)，若cosx= sinx=v1-cos= ∴.“c0Sx= 。可以推出“nx= 2 2 =士W厂anx= 1 ,xe(0,元)，若sinx= 0 2 }”不能推出“cos下=5。 2 4.D若m1,n1l,则m,n可能平行、相交或异面，故A错误；若m/n,则a与B可能相 交，故B错误；若/IB,则a与B无公共点，因此分别在两平面内的直线a、b也无公共点， 无公共点的两条直线位置关系为平行或异面，故C错误；由线面垂直的性质定理可知当m1《, m1B时，可得a//B,当nca时，可得n/B,所以D正确 5.Aa-6-0=-1→a-b-a=-1,得ab=0, 而12a+iP=4a+4a.6+b=4x1+0+4=8,2a+b上22， 6B已知0<C<m,则赠<C+号<由sm(C+)=1,得c+=解得c-员 由余弦定理：c2=42+62-2×4×6×c0sg=16+36-48×3=28,c=2W7. 元.Bsim29=cos6-20)=cos2(任-9=2cs2(年-0）-1=2×)°-1=-名 8.A在正三棱台ABC-A1B1C1中，设上底面中心为0，下底面中心为01，连接01B,OB, 过2作BWo0,交0，于，因为A,8A,=8,M8=2,测0g58号5 OB=5×2x2=2√5，S=V5,Ss=165又易知0011平面A1B1C1,所以B阻1平面 2 33 A84C1:又易得08/0B所以0B=0H,则m-5子5-23，在直角三角形 △BHB中，BB=A4=V21,则BH=V(V2I-(2=3,所以正三棱台ABC-AB,C 的高为3. "m4a专-++SS)=}x3x5+165+3165=21V5 二、多选 9.ACD余弦定理c2=16+4-2×4×2×(-)=28,所以：c=2W7,A正确：由正弦 第1页共6页 定理可推得A≠着B不正确：由正弦定理可推得sinB图C正确：S=absin C=×4× 2×9=2V3,D正确。 10.ABD f()=cos(x-2)sin(x+)=sinx(sinx+cosx) -9 sinx cosx+sin2x=9snm2x+x-2三， 则f)的最小正周期为号=，故A正确：当xe[名到时，2x-[引， 由于y=sinz在z∈[，引上为增函数，f)在区间[引内单调递增，故B正确； 当x=爱时，2x-名=0，此时f()=子即f()的图象关于点（侣，）对称，故C错误： f(x+到)=sin[2(x+)-周+4=sin(2x+)+=cos2x+是 令h()=cos2x+子则h(-)=cos(-2x)+=cos2x+h(), 故f(x+)是偶函数，故D正确。 11.ACD因为SDL平面ABCD,ACC平面ABCD,所以AC⊥SD.因为四边形ABCD是正方形， 所以AC⊥BD,又BD∩SD=D,BD,SDC平面SBD,所以AC⊥平面SBD,又SBC平面SBD,所 以ACLSB,故选项A正确，选项B错误，因为SD⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以BC⊥ SD.因为四边形ABCD是正方形，所以BC⊥CD,又CD∩SD=D,CD,SDC平面SCD,所以BC ⊥平面SCD,所以BD与平面SCD所成角为∠BDC,易知∠BDC=45°，选项C正确.如图， 取SA中点K,连接DK,BK,因为SD⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以 AB⊥SD.因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD,又ADnSD=D,AD,SDC平面SAD,所 以AB⊥平面SAD,又DKC平面SAD,所以AB⊥DK.因为SD=AD,所以DK⊥SA,又SA∩AB=A, SA,ABC平面SAB,所以DKL平面SAB,所以BD与平面SAB所成角为∠DBK.不妨设SD=AD ,易斑K要02a,在△B,得欧婴则am欧兰-9型 选项D正确. 三、填空 12.3V5由3=-i得z=3-6i,所以z=√32+(-6)2=35. 13.3d=(2,sin6),万=(cos6,-1),a1万→sin6=2cos6→tan6=2. 第2页共6页 sin 20 2sinθcos0 2tan0 2 1+cos20 sin20+cos20+cos0 tan20+2 3 14号由M+ME+MC=0,知此时M为AABC的重心，所以D,E分别是BC和AC的中点， 所以a=子16M=B=号 四、解答 15.解：(1) a.b(-1)x1+(-2)×3_75 V2+(-2)3 5 3分 (2)由a=(-1,3),b=(1,-2),可得c=a+2b=(1,3)+21,-2)=1,-1), 4分 d=a+b=(-1,3)+(1,-2)=(0,), 5分 所以cos(,d)= c.d1x0+(-10x1 √2 丽P+10+F 2 7分 所以 G动n可G-买 9分 (3)由a=(-1,3),b=(1,-2),可得a-b=（1,3)1,-2)=(1-1,3+2), 10分 由(2)得6=(1，-1)， 所以c.(a-2)=1×(←1-)+（←1）×(3+22)=-4-31=0， 12分 解：手 13分 16.证明：(1)因为BC/∥面PAD,BCC面ABCD,面PAD⌒面ABCD=AD 所以BCI∥AD 2分 又因为E,F分别为PD,PA中点，则EF∥AD,所以BC∥EF 4分 所以E、F、B、C四点共面！ 5分 (2)连接BF,因为E=)AD=2=BC,由(1)知BC∥EF, 则四边形BCEF为平行四边形 7分 所以CE∥BF,CE=BF=2√7. 8分 因此直线PA与直线CE夹角即为PA与直线BF夹角 9分 在△4BF中，AF=2,AB=4,BF=2N7, 第3页共6页 由余弦定理得c08∠BM-1F+BF-AB2_22+(2)2+42万 2AF.BF 2×2×2√7-7 12分 则sin∠BA=V1-cos2∠BA=1 14分 7 所以直线2A与直线CE夹角正弦值为 15分 7 17.解：(1)f(（③）=sim(g+p)=0号+p=kπk∈Z) ∴0=-+kπ(ke2) 2分 0<9<号9=胃 4分 (②)f)=sim(2x+）由2x+=km(kez) 6分 得x=-+受(ke2) 8分 “f)=sim(2x+)的对称中心是（+受，0）(k∈2) 10分 (3)由f)=sin(2x+)>得：g+2km<2x+号<+2km,keZ 12分 解得：-是+kn<x<+krk∈Z 14分 “fw>的解集是（五+km,4+km),k∈Z 15分 18.证明：(1)连接DE,交AC于M, 因为E是线段AB的中点，所以AB=1,所以始-%=V2 因为△ADE与△DCA均为直角三角形， 所以△ADE∽△DCA,即∠ADE=∠DCA, 2分 所∠DC=ADc=子，所以DELAC, 因为DD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以DD⊥AC, 3分 因为DD∩DE=D,DD,DEc平面DDE,所以AC⊥平面DDE, 因为DEc平面DDE,所以AC⊥D,E 5分 (2)连接DA,DC,连接DM, 因为AC⊥平面DDE,DMc平面DDE,所以DM⊥AC, 由(1)知EM⊥AC,因为DMC平面DAC,EMC平面ABC, 故∠DME即为二面角D-AC-B的平面角， 7分 因为DMCMA,所以DM-DG-2. ME AE 因为AD=√2，AE=1,DD,=2, 第4页共6页 所e=1D+4,即DE5,所以-29.超-9 9分 3 因为DD,⊥平面ABCD,DEC平面ABCD,所以DD⊥DE, 所以aMr=ADDr,AE:BD+nE,所以DM-5=, 11分 所以cos∠AB=D2+ME-DE-1, 2.DM.ME 2 即二面角D-AC-B的余弦值为_1 12分 2 (3)由(1)知，AC⊥DE,因为AB⊥平面ADDA,DAc平面ADDA,所以AB⊥AD, 故在Rt△DAE中作斜边DE上的高，交线段DE于点P,即有AP⊥DE, 14分 又因为AP∩AC=A,AP,ACc平面APC,所以DE⊥平面APC, 此时的点P即为所求， 15分 因为RtaD1PA~Rt4D1AE,故A2-AA,即DP=65,故Pg- DA DE 7 1 所以线段DB上存在点P,此时DP=6 17分 PB D D E 19.解：(1)△ABc中，面积为S=2+2-), 又s=bc4osA=所以42边cosA=csnA 2分 所以tanA=3,又A∈(0，π)， 3分 所以A= 4分 (2)由正弦定理得b=-s血B,c-=智smC,B+C=号 sinA sinA 5分 又△ABC是锐角三角形，得酷<B< 6分 所以s=bcsin A=-5§ 3sinBsin C 4W3 4号sin in(G+®) 4W3 π 3sin B(sin cos B+cos3sin B) 2v3 3 sin2B+2sinBcosB 第5页共6页 3 sin 2 B- 3cos 2B =29sin(2B-)+, 3 8分 <2B-<票所以g<sim(2B-)s1,所以9<29im(2B-)s, 所以s的取值范围是(，V: 10分 (3)由S△ABc=S△ABD+SAACD→be sin写=c·AD·simg+b·AD sin 可得AD=Sac b+c 12分 由(1)知b2+c2-a2=bc,又a=2,所以b2+c2-4=bc, 则3=0+a2-4≤3(，得b+c≤4，当且仅当h=时等号成立， 又因为b+c>a=2,所以2<b+c≤4. 14分 AD=鼎--9b+c-) btc 3 b+c 15分 因为fx)=x-4在(2,4上递增， 所以f(x)ma=f(4)=3,即线段AD长度的最大值为V5. 17分 第6页共6页