2.3 有理数的乘方-导学案--2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“有理数的乘方、科学记数法、近似数”核心知识点，以细胞分裂情境导入，从具体数量关系抽象出乘方概念，衔接乘法知识，通过定义辨析、例题练习搭建学习支架。 特色在于情境化导入培养抽象能力，对比不同乘方形式发展推理意识，科学记数法与近似数结合实际问题提升应用意识，分层习题助力巩固，帮助学生理解数学与现实的联系，提升学习效率。

2.3 有理数的乘方 知识框架： · 有理数的乘方 · 科学记数法 · 近似数 1、 有理数的乘方 探究新知: 一个细胞分裂一次可得2个细胞？分裂两次呢？分裂三次呢？六次呢？ 分析：四次得2×2×2×2个；六次得2×2×2×2×2×2个． 比较上述这两个式子有什么相同点？这样的运算能像平方、立方那样简写吗？ 2×2×2×2记作24；2×2×2×2×2×2记作26． =an读作“a的n次方”． · 求n个相同因数的积的运算叫做乘方．乘方的结果叫做幂． · 在an中，a叫做底数，n叫做指数．当an看作a的n次方的结果时，读作a的n次幂． 例如；在94中，底数是9，指数是4，94读作9的4次方，或9的4次幂． 一个数可以表示成这个数本身的一次方，例如，5=51， 指数1通常省略不写． 提出问题： 1.在an中，底数a表示什么？指数n表示什么？an就是多少个什么相乘？ 底数a表示相同的因数，可以是任何有理数； 指数n表示相同因数的个数，现阶段是正整数． 2．如何应用乘方？先研究乘方的计算． 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0． 3．比较：23与32有什么不同？（－2）4与－24呢？ 23表示3个2相乘，底数是2，指数是3．32表示2个3相乘，底数是3，指数是2． （－2）4的意义是－2的4次方；即4个－2相乘；－24的意义是2的4次方的相反数． 练习1： （1）（－5）2的底数是________，指数是________，（－5）2表示2个________相乘，读作________的2次方，也读作－5的________． （2）表示________个相乘，读作的________次方，也读作的________次幂，其中叫做________，6叫做________． 例题讲解 例1 计算：（1）(－4)3； （2）(－2)4；（3）. 解：（1）＝(－4)×(－4)×(－4)＝－64；（2）＝(－2)×(－2)×(－2)×(－2)＝16； （3）. 检测1 1．表示（　　）． A．4个（－3）相加　 B．－3×4 C．4个（－3）相乘　　D．3个（－4）相乘 2．表示（　　）． A．6个－2相乘　　 B．6个2相乘的相反数 C．2个－6相乘　　 D．2个6的相反数 3．下列各组数中，相等的一组是（　　）． A．与　　B．与 C．与　　　D．和－3+（－3） 4．在(－2)4中，指数是_______，底数是_______，在中底数是_______，指数是_______． 5．把(－5)×(－5)×(－5)写成幂的形式是________，把写成幂的形式是________． 6．(－3)2________，－32＝________，－33＝________，(－3)3＝________． 7．计算：（1）；（2）；（3）；（4）． · 有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 例题讲解 例1　计算 （1）；（2）． 解：（1）原式＝2×（－27）－（－12）＋15＝－54＋12＋15＝－27． （2）原式＝－8＋（－3）×（16＋2）－9÷（－2） ＝－8＋（－3）×18－（－4.5）＝－8－54＋4.5＝－57.5． 例2　观察下面三行数： －2，4，－8，16，－32，64，…； ① 0，6，－6，18，－30，66，…； ② －1，2，－4， 8， －16，32，…； ③ （1）第①行数按什么规律排列？ （2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？ （3）取每行数的第十个数，计算这三个数的和． 分析：（1）第①行数，从符号看负、正相隔，奇数项为负数，偶数项为正数，从绝对值看，它们都是2的乘方． 解：（1）第①行数是 －2，，，，，，… （2）对比①②两行中位置对应的数，你有什么发现？ 第②行数是第①行相应的数加2． 即－2＋2，＋2，＋2，＋2，… 对比①③两行中位置对应的数，有什么发现？第③行数是第①行相应的数的一半，即 －2×0.5，×0.5，×0.5，×0.5，… （3）根据第①行数的规律，得第10个数为，那么第②行的第10个数为＋2，第③行中的第10个数是×0.5． 所以每行数中的第10个数的和是： ＋[＋2]＋[×0.5]＝1 024＋（1 024＋2）＋1 024×0.5 ＝1 024＋1 026＋512＝2 562． 练习2 1．计算：． 2．观察下面三行数： －3，9，－27，81，－243，… －5，7，－29，79，－245，… －1，3，－9，27，－81，… （1）第一行数按什么规律排列？ （2）第二、第三行数与第一行数分别有什么关系？ （3）分别取这三行数的第10个数，计算这三个数的和． 检测2 1．下列各式中，一定成立的是(　　)． A．(－3)2＝32 B．(－3)3＝33 C．－32＝|－32| D．(－3)3＝|(－3)3| 2．现规定一种新的运算“*”，a*b＝ab－1，如3*2=32－1=8，则*3等于(　　)． A． B． C． D． 3．为了求1＋2＋22＋23＋…＋22 010的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22 010，则2S＝2＋22＋23＋…＋22 011，因此2S－S＝22 011－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22 010＝22 011－1.仿照以上推理计算出1＋9＋92＋93＋…＋92 011的值是(　　)． A．92 011－1 B．92 012－1 C． D． 4．__________的平方是，__________的立方是. 5．如图，小明用一张半径为18.8 cm的圆形厚纸板，剪下半径皆为1.9 cm的四个圆形，形成一个有眼、鼻、口的面具，则此面具的面积为______cm2(π≈3)． 6．计算： (1)；(2)； (3)． 二、科学记数法 探究规律：观察10的乘方有如下的特点： ； ； ；； ……； ． · 总结规律：一般地，10的几次幂就等于10的后面带几个0． 应用规律：根据以上特点可以用10的乘方的方法来表示较大的数． 如：；． · 像上面这样，把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤a＜10，n是正整数）使用的是科学记数法． 例题精讲 例1 用科学记数法表示下列各数： 解：；；． 例2　下列用科学记数法记出的数，原来各是什么数？ （1）2×；（2）7.12×；（3）8.5×. 解：（1）2×＝200 000；（2）7.12×＝7 120；（3）8.5×＝8 500 000. 思考：观察上面的式子，等号左边的整数的位数与右边的10的指数有什么关系？用科学记数法表示一个位整数，其中10的指数是 ． 分析参考：1000000是7位数，而10的指数是6，57000000是8位数，而10的指数是7．（即等号右边的10的指数比左边的整数的位数小1．） · 小结：右边10的指数等于左边整数的位数减1.即用科学记数法表示一个n 位整数，其中10的指数是n－1． 作业1 1．填空： （1）地球上的海洋面积为36 100 000 km2，用科学记数法表示为_______； （2）光速约3×108米/秒，用科学记数法表示的数的原数是_________． 2．据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失为1.5亿元．若一年按365天计算，用科学记数法表示我国一年因沙漠化造成的经济损失为（ ）． A．5.475×1011（元） B．5.47 5×1010（元） C．0.547 5×1011（元） D．5 475×108（元） 3．设n为正整数，则10n是（ ）． A．10个n相乘 B．10后面有n个零 C．a＝0 D．是一个(n＋1)位整数 4．分别用科学记数法表示下列各数： （1）100万；　（2）10 000； （3）44；　（4）679 000； （5）30 000； （6）113.2． 5．已知a=2，b=3，求(ab－ba) (ba－ab)． 6．地球绕太阳每小时转动经过的路程约为1.1×105千米，声音在空气中每小时约传播1.2×103千米，求地球绕太阳转动的速度与声音传播的速度哪个快． 检测3 1．科学记数法就是把一个大于10的数表示成 的形式（其中a是整数位数只有一位的数，n是正整数），在转化过程中，10的指数比原数的整数的位数 ． 2．107 500用科学记数法表示 　　　　 ． 3．5.8×104表示的原数是 ． 4．6.29×1011的整数位是　　　　　　　　　． 5．－7 201 000＝a×10n，则a＝ ，n＝　 ． 6.计算： （1）（8×1012）×（－7.2×106）；（2）（－6.5×103）×（－1.2×109）； （3）（3.5×102）×（－5.2×103）． 三、近似数 1．关于精确度问题 · 近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。 以圆周率π=3.141592…为例计算，我们按照要求取近似数： 如果要求按四舍五入精确到个位，那么π≈3； 如果要求按四舍五入精确到0.1（或精确到十分位），那么π≈3.1； 如果要求按四舍五入精确到0.01（或精确到百分位），那么π≈3.14； 如果要求按四舍五入精确到0.001（或精确到千分位），那么π≈ 3.142 ； 反过来，若π≈3.1416，那么精确到万分位，或叫精确到0.0001 ． …… · 一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位． 例题精讲 例1：按括号内的要求，用四舍五入法对下列数取近似数． （1）0.0158（精确到0.001）；（2）304.35（精确到个位）； （3）1.804（精确到0.1）； （4）1.804（精确到0.01）． 解：（1）0.015 8≈0.016；（2）304.35≈304；（3）1.804≈1.8；（4）1.804≈1.80． 归纳：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位 ；如果近似数后有“单位”或是写成科学记数法的形式，要先将这个近似数写成完整形式（不够的位数用0补），再去判断它所精确到的位数. 练习3 1． 用四舍五入法，求出下列各数的近似数． （1）0.632 8（精确到0.01）；（2）7.912 2（精确到个位）； （3）47 155（精确到百位）； （4）130.06（保留4个有效数字） （5）460 215（保留3个有效数字）（6）1.200 0（精确到百分位）． 2．下列是由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ （1）132.4； （2）0.057 2； （3）2.40万； （4）3000． 答案 练习1 解：（1）（－5）2的底数是－5，指数是2，（－5）2表示2个－5相乘，读作－5的2次方，也读作－5的平方．（2）表示6个相乘，读作的6次方，也读作的6次幂，其中叫做底数，6叫做指数． 检测1 1．C 2．B 3．A 4．4，，，2．5．，．6．9，，， 7．（1）； （2）；（3）=0； （4）． 练习2 1：＝＝＝483． 2：（1）第一行数是按照排列的，n为第n个数． （2）第二行数为第一行对应的数减去2，第三行数为第一行对应的数除以3． （3）第一行的第10个数为，第二行的第10个数－2， 第三行的第10个数为×． 它们的和为：＋[－2]＋× ＝2×－2＋×＝118 098－2＋19 683＝137 779． 检测2： 1．A． 2．B． 3．D．4．；　．5．1 017． 6．(1)． (2). （3）． 作业1 1．（1）3.61×107千米2；（2）300 000 000米/秒．2．B．　3．D． 4．解：（1）100万＝1 000 000＝1×106＝106；　（2）10 000＝104；（3）44＝4.4×10； （4）679 000=6.79×105；　　（5）30 000=3×104；　　（6）113.2=1.132×102． 5．解：原式＝－(ab－ba)2＝－(23－32)2＝－(8－9)2＝－1．6．地球绕太阳转动的速度快． 检测3 1．a×10n；小1． 2．1.075×105． 3．58 000．4．12．　5．－7.201； 6．（1）5.76×1019；（2）7.8×1012；（3）－1.82×106． 练习3 1：（1）0.632 8≈0.63； （2）7.912 2≈8； （3）47 155≈4.72×104； （4）130.06≈1.301×102； （5）460 215≈4.60×105； （6）1.200 0≈1.20． 2：（1）132.4是精确到0.1．（2）0.0572是精确到0.000 1．（3）2.40万是精确到百位．（4）3000是精确到个位． 学科网（北京）股份有限公司 $