2.3 有理数的乘方-导学案--2026-2027学年人教版七年级数学上册

2.3 有理数的乘方

 

知识框架：

         有理数的乘方

         科学记数法

         近似数

 

一、有理数的乘方

探究新知:

一个细胞分裂一次可得2个细胞？分裂两次呢？分裂三次呢？六次呢？

分析：四次得2×2×2×2个；六次得2×2×2×2×2×2个．

比较上述这两个式子有什么相同点？这样的运算能像平方、立方那样简写吗？

2×2×2×2记作24；2×2×2×2×2×2记作26．

 

               =an读作“a的n次方”．

         求n个相同因数的积的运算叫做乘方．乘方的结果叫做幂．

         在an中，a叫做底数，n叫做指数．当an看作a的n次方的结果时，读作a的n次幂．

例如；在94中，底数是9，指数是4，94读作9的4次方，或9的4次幂．

一个数可以表示成这个数本身的一次方，例如，5=51， 指数1通常省略不写．

 

提出问题：

1.在an中，底数a表示什么？指数n表示什么？an就是多少个什么相乘？

底数a表示相同的因数，可以是任何有理数； 指数n表示相同因数的个数，现阶段是正整数．

2．如何应用乘方？先研究乘方的计算．

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．

正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．

3．比较：23与32有什么不同？（－2）4与－24呢？

23表示3个2相乘，底数是2，指数是3．32表示2个3相乘，底数是3，指数是2．

（－2）4的意义是－2的4次方；即4个－2相乘；－24的意义是2的4次方的相反数．

 

练习1：

（1）（－5）2的底数是________，指数是________，（－5）2表示2个________相乘，读作________的2次方，也读作－5的________．

（2）表示________个相乘，读作的________次方，也读作的________次幂，其中叫做________，6叫做________．

 

例题讲解

例1 计算：（1）(－4)3； （2）(－2)4；（3）.

解：（1）＝(－4)×(－4)×(－4)＝－64；（2）＝(－2)×(－2)×(－2)×(－2)＝16；

（3）.

检测1

1．表示（　　）．

A．4个（－3）相加　  B．－3×4   C．4个（－3）相乘　　D．3个（－4）相乘

2．表示（　　）．

A．6个－2相乘　　 B．6个2相乘的相反数   C．2个－6相乘　　 D．2个6的相反数

3．下列各组数中，相等的一组是（　　）．

A．与　　B．与   C．与　　　D．和－3+（－3）

4．在(－2)4中，指数是_______，底数是_______，在中底数是_______，指数是_______．

5．把(－5)×(－5)×(－5)写成幂的形式是________，把写成幂的形式是________．

6．(－3)2________，－32＝________，－33＝________，(－3)3＝________．

7．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．

 

         有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

（1）先乘方，再乘除，最后加减；

（2）同级运算，从左到右进行；

（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．

 

例题讲解

例1　计算

（1）；（2）．

解：（1）原式＝2×（－27）－（－12）＋15＝－54＋12＋15＝－27．

     （2）原式＝－8＋（－3）×（16＋2）－9÷（－2）

＝－8＋（－3）×18－（－4.5）＝－8－54＋4.5＝－57.5．

例2　观察下面三行数：

－2，4，－8，16，－32，64，…；    ①

0，6，－6，18，－30，66，…；      ②

－1，2，－4， 8， －16，32，…；   ③

（1）第①行数按什么规律排列？

（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？

（3）取每行数的第十个数，计算这三个数的和．

分析：（1）第①行数，从符号看负、正相隔，奇数项为负数，偶数项为正数，从绝对值看，它们都是2的乘方．

 解：（1）第①行数是 －2，，，，，，…

（2）对比①②两行中位置对应的数，你有什么发现？

  

第②行数是第①行相应的数加2． 即－2＋2，＋2，＋2，＋2，…

 对比①③两行中位置对应的数，有什么发现？第③行数是第①行相应的数的一半，即

    －2×0.5，×0.5，×0.5，×0.5，…

（3）根据第①行数的规律，得第10个数为，那么第②行的第10个数为＋2，第③行中的第10个数是×0.5．

所以每行数中的第10个数的和是：

 ＋[＋2]＋[×0.5]＝1 024＋（1 024＋2）＋1 024×0.5

＝1 024＋1 026＋512＝2 562．

 

练习2

1．计算：．

2．观察下面三行数：

－3，9，－27，81，－243，…

－5，7，－29，79，－245，…

－1，3，－9，27，－81，…

（1）第一行数按什么规律排列？

（2）第二、第三行数与第一行数分别有什么关系？

（3）分别取这三行数的第10个数，计算这三个数的和．

 

 

检测2

1．下列各式中，一定成立的是(　　)．

A．(－3)2＝32    B．(－3)3＝33   C．－32＝|－32|   D．(－3)3＝|(－3)3|

2．现规定一种新的运算“*”，a*b＝ab－1，如3*2=32－1=8，则*3等于(　　)．

A．     B．     C．     D．

3．为了求1＋2＋22＋23＋…＋22 010的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22 010，则2S＝2＋22＋23＋…＋22 011，因此2S－S＝22 011－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22 010＝22 011－1.仿照以上推理计算出1＋9＋92＋93＋…＋92 011的值是(　　)．

A．92 011－1    B．92 012－1   C．     D．

4．__________的平方是，__________的立方是.

5．如图，小明用一张半径为18.8 cm的圆形厚纸板，剪下半径皆为1.9 cm的四个圆形，形成一个有眼、鼻、口的面具，则此面具的面积为______cm2(π≈3)．

6．计算：

(1)；(2)；

(3)．

 

二、科学记数法

探究规律：观察10的乘方有如下的特点：