专题3.1 列代数式表示数量关系（举一反三讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦列代数式表示数量关系核心知识点，从用字母表示数、代数式概念及书写规则起步，逐步过渡到代数式实际意义、列代数式，延伸至数字与图形变化规律探究，最后结合正比例和反比例关系，构建从基础到应用的学习支架。 资料通过9大题型系统归纳，配套例题与变式题，以仓库运货、温度变化等现实情境为载体，培养学生用数学眼光观察数量关系，用数学思维分析规律，用数学语言精准表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生举一反三巩固知识，查漏补缺。

专题3.1 列代数式表示数量关系（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 用含字母的式子表示数】 2 【题型2 识别代数式】 3 【题型3 代数式的书写方法】 5 【题型4 代数式表示的实际意义】 7 【题型5 列代数式】 9 【题型6 规律型：数字的变化类】 10 【题型7 规律型：图形的变化类】 12 【题型8 正比例关系】 15 【题型9 反比例关系】 17 考点1 代数式的相关概念 知识点1 用含字母的式子表示数 用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，为我们今后的学习和研究带来了极大的方便． 用含字母的式子表示数的书写规则： （1）字母与字母相乘时，“”号通常省略不写或写成“”； （2）字母与数相乘时，数通常写在字母的前面； （3）带分数与字母相乘时，通常化带分数为假分数； （4）字母与字母相除时，要写成分数的形式． （5）当式子为几个数的和或差的形式，且结果带单位时，式子整体加括号． 知识点2 代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式．单独的一个数或字母也是代数式．例如：0，a都是代数式． 知识点3 代数式的意义 根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来，就是将代数式的字母及运算符号赋予具体的含义． 知识点4 列代数式 把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式．例如：用代数式表示：a与a减去b的差的商，其中运算词“差”表示的数量关系是a减去b，列成式子为a-b；运算词“商”表示的数量关系是a除以“差”，即（填完整的代数式）． 【题型1 用含字母的式子表示数】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）仓库里存有货物180吨，运走了12车，每车x吨．表示_________________ ，表示___________ ，这里x的最大值是_________ ． 【答案】 12车运走货物的吨数 运走12车后仓库剩余货物的吨数 15 【分析】本题考查用字母表示数的应用，掌握知识点是解题的关键． 表示运走的总吨数，表示剩余吨数，x的最大值由运走总吨数不超过原有货物量决定． 【详解】解：运走了12车，每车x吨，因此表示运走的货物总吨数． 仓库原有货物180吨，运走12x吨后，剩余货物为吨． 由于运走的货物总吨数不能超过原有货物量，则运走的货物总吨数最大为吨， 此时（吨）， ∴x的最大值为15． 故答案为：12车运走货物的吨数；运走12车后仓库剩余货物的吨数；15． 【变式1-1】一天早晨的温度是b摄氏度，中午比早晨高6摄氏度，中午的温度是_____摄氏度． 【答案】 【分析】本题考查了用字母表示数，明确题目当中“早晨的温度”和“中午的温度”两个量之间的基本关系：中午的温度早晨的温度中午比早晨高的温度，是解答此题的关键． 本题根据：中午的温度早晨的温度中午比早晨高的温度，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵早晨的温度是b摄氏度，中午比早晨高6摄氏度，中午的温度早晨的温度中午比早晨高的温度， ∴中午的温度是摄氏度， 故答案为：； 【变式1-2】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用字母表示两位数，关键是掌握十进制中十位和个位的位值原理． 根据两位数的表示方法，十位数字乘以10加上个位数字即可得到该数． 【详解】解：∵十位数字是， ∴表示； ∵个位数字是， ∴表示； ∴这个两位数为． 故选：D． 【变式1-3】（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米． A． B．at C． D． 【答案】A 【分析】本题考查匀速进水问题．熟练掌握：总水量 = 原有水量 + 进水总量，进水总量 = 进水速度 × 时间，是解题的关键． 泳池总水量由原有水量和进水量组成，进水量为进水速率乘以时间． 【详解】∵原有水量为20立方米，进水速率为a立方米/小时，时间为t小时， ∴进水量为立方米， ∴总水量为立方米． 故选：A． 【题型2 识别代数式】 【例2】下列各式中，是代数式的有（     ） ，0，，， ， A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：根据定义，用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子是代数式，单独的一个数或字母也是代数式，含等号，含不等号的都不是代数式． 逐个判断： ∵ 是等式， 是不等式，二者都不属于代数式， ∴ 符合代数式定义的式子为，，， ，共个． 【变式2-1】（25-26六年级上·上海静安·期末）下列各式中不是代数式的为（   ） A． B．314 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式的识别，代数式是由运算符号连接数或字母的式子，不能包含等号或不等号，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵代数式定义为由运算符号连接数或字母的式子，不含等号或不等号， 选项A、B、C均符合代数式定义，故均不符合题意， 选项D含有等号“”，为方程，不是代数式，符合题意． 故选：D． 【变式2-2】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列各式中，是代数式的是 __________．（填序号） ①；②；③；④π；⑤；⑥． 【答案】①④⑤ 【分析】本题主要考查代数式，代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．根据代数式的概念求解即可． 【详解】解：是代数式的是①；④π；⑤． 故答案为：①④⑤． 【变式2-3】（25-26九年级下·安徽淮北·期中）下列说法正确的是(　　) A．是代数式，不是代数式 B．表示，，的积的代数式为 C．代数式的意义是与的差除的商 D．与的差是 【答案】D 【详解】解：∵ 单独的一个数或单独的一个字母都是代数式，∴ 是代数式，A错误． ∵ 带分数与字母相乘时，应将带分数化为假分数，∴ 的书写不符合规范，应写为，B错误． ∵ 表示与的差除以的商，“与的差除”对应的代数式为，∴ C错误． ∵ 与的差可表示为，∴ D正确． 【题型3 代数式的书写方法】 【例3】下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据代数式的书写规范，逐一判断每个式子，统计符合要求的个数即可．代数式书写规则为：乘号通常省略不写或写为 ，数字需写在字母前方；除法运算写成分数形式；系数为 时省略不写；带分数需化为假分数． 【详解】解：逐个判断式子：∵ 保留乘号 ，不符合书写要求； 中系数的未省略，不符合书写要求； 未将除法写为分数形式，不符合书写要求； 中数字未写在字母前方，不符合书写要求； 未将带分数化为假分数，不符合书写要求； 只有符合所有书写要求，共个符合要求． 【变式3-1】（2025六年级上·上海·专题练习）下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查代数式的书写规范，包括乘号省略、数字与字母的位置、带分数化假分数、除法写成分数等． （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （2）带分数要写成假分数的形式； （3）1通常省略不写； （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写． 【详解】（1）解：不规范，数字应写在字母前面，乘号省略，应写为． 故答案为：． （2）解：不规范，带分数应写成假分数，即． 故答案为：． （3）解：不规范，1应省略不写，应写为或． 故答案为：或． （4）解：不规范，除法应写成分数形式，即． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）下列各式中，符合代数式书写规则的有（   ）个． ，，，，，，，米 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】依据代数式书写规则，逐一判断每个式子是否符合规范．本题主要考查了代数式的书写规则，熟练掌握“数字与字母相乘省略乘号、除法写成分数形式、带分数化为假分数”是解题的关键． 【详解】解：：符合（数字在前，乘号省略）； ：不符合（含乘号）； ：符合（乘号省略）； ：符合（单独的数是代数式）； ：不符合（带分数未化为假分数）； ：不符合（含除号）； ：符合（除法写成分数形式）； 米：不符合（含单位）． 故符合规则的有4个． 故选：C． 【变式3-3】（24-25七年级上·吉林·期中）下列书写∶①；②；③；④；⑤；⑥ 千克中，正确的有__________．（填写序号即可） 【答案】③ 【分析】本题考查代数式书写规范，根据数字与字母之间乘号省略不写，数字在前字母在后，分数写成假分数，多项式与单位之间要加括号逐个判断即可得到答案； 【详解】解：应写成，不符合题意， 应写成，不符合题意， 书写规范符合题意， 应写成，不符合题意， 应写成，不符合题意， 千克应写成千克，不符合题意， 故答案为：③． 【题型4 代数式表示的实际意义】 【例4】（24-25七年级上·湖南常德·期末）小明根据方程编写了一道应用题，请你把空缺的部分补充完整．甲、乙两名工人生产零件，已知甲工人每天比乙工人多生产5个零件，______，请问甲工人每天生产多少个零件？（设甲工人每天生产个零件） 【答案】甲工人工作5天，乙工人工作10天，共生产了400个零件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．判断出相应的等量关系代表的实际意义是解决问题的关键． 分析方程各项的意义，即可解答． 【详解】解：因为设甲工人每天生产个零件，则乙工人每天生产个零件， 所以方程中表示甲工人5天共生产零件的数量， 表示乙工人10天共生产零件的数量， 故表示甲工人工作5天，乙工人工作10天，共生产了400个零件． 故答案为：甲工人工作5天，乙工人工作10天，共生产了400个零件 【变式4-1】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）代数式的意义为（    ） A．与的差的平方 B．与的平方差 C．与的平方的差 D．的平方与的差 【答案】C 【分析】本题考查代数式表示的意义，表示y的平方，表示x减去y的平方，据此可得答案． 【详解】解：表示y的平方，表示x减去y的平方，即x与y的平方的差． 故选：C． 【变式4-2】（25-26七年级上·江苏南通·期末）下列各项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．长方形的周长： D．整个图形的面积 ： 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的意义，熟练掌握线段长度的和，长方形周长，面积计算是解题的关键．根据线段的和，长方形的周长，长方形的面积的计算公式解答即可． 【详解】解：A、整条线段的长度：，表示为，不符合题意； B、整条线段的长度：，表示为，不符合题意； C、这个长方形的周长： ，表示为，不符合题意； D、这个图形的面积： ，表示为，符合题意． 故选：D． 【变式4-3】在一项居民住房节能改造工程中，某社区计划用a天完成建筑面积为1000平方米的居民住房节能改造任务，若实际比计划提前b天完成改造任务，则代数式“”表示的意义为_____． 【答案】实际每天完成的改造任务 【分析】根据计划完成建筑面积为1000平方米的居民住房节能改造任务需要a天，实际提前b天，可知实际完成需要（a﹣b）天，从而可以得到代数式“”表示的意义． 【详解】解：∵计划完成建筑面积为1000平方米的居民住房节能改造任务需要a天，实际提前b天， ∴实际完成需要（a﹣b）天， ∴代数式“”表示的意义是实际每天完成的改造任务， 故答案为：实际每天完成的改造任务． 【点睛】本题考查代数式，解题的关键是明确代数式在原题中表示的实际含义． 【题型5 列代数式】 【例5】（25-26七年级上·山东临沂·期末）年全国两会强调“加快新型基础设施建设”，某科创园区规划用地为长方形，长为米，宽为米，则该园区的周长为________． 【答案】米/米 【分析】先根据长方形周长公式列出表达式，利用乘法分配律展开化简得到结果． 【详解】解：已知该科创园区的长为米，宽为米， ∴园区的周长为米． 【变式5-1】（25-26七年级上·广西崇左·期末）若5箱苹果的总质量为m千克，则平均每箱苹果的质量为（   ）千克 A． B．m C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式． 根据“平均每箱质量=总质量÷箱数”的数量关系求解即可． 【详解】解：∵5箱苹果的总质量为m千克， ∴平均每箱苹果的质量为总质量除以箱数，即千克． 故选：C． 【变式5-2】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：每小时上升或下降．若初始温度为，经过小时后的温度可能表示为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升，②若某日棚内温度变化规律为：每小时下降，分别列出代数式即可得． 【详解】解：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升， 则经过小时后的温度可能表示为； ②若某日棚内温度变化规律为：每小时下降， 则经过小时后的温度可能表示为； 综上，经过小时后的温度可能表示为或． 【变式5-3】（25-26七年级上·山西晋中·期末）采摘机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人搭载了10个机械手，它的一个机械手8秒可以采摘一个苹果．小时该机器人可以采摘________个苹果． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式． 先将小时转化为秒，再求出一个机械手的采摘量，乘以10即可． 【详解】解：小时秒， ∵一个机械手8秒可以采摘一个苹果， ∴一个机械手小时可以采摘个苹果， ∴10个机械手小时可以采摘个苹果， 即小时该机器人可以采摘个苹果． 故答案为：． 【题型6 规律型：数字的变化类】 【例6】（25-26七年级上·上海·期末）一组数∶1，，3，，5，，…，第n个数是____________(用含n的代数式表示)． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律． 序列的绝对值是连续正整数，符号交替变化，利用的幂次表示符号规律． 【详解】解：序列的绝对值依次为1，2，3，…，n， 因此第n个数的绝对值为n． 符号规律：当n为奇数时为正，当n为偶数时为负， 因此第n个数为． 故答案为：． 【变式6-1】（25-26七年级下·云南玉溪·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】所有代数式都含字母，找出系数的变化规律，即可推出第个代数式． 【详解】解：∵第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， ……， ∴以此类推，第个代数式的系数为，即第个代数式是． 【变式6-2】（25-26九年级上·云南昭通·期末）按某种规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察代数式的符号、分子、分母的变化规律，分别总结后组合得到第个代数式的表达式． 【详解】解： 观察符号规律：第1个为负，第2个为正，第3个为负……，符号可表示为， 分子均为，保持不变， 分母依次为，，，……，分母可表示为， 第个代数式是， 故选A． 【变式6-3】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）有一数列，前五个数依次为、、、、，…，则这个数列的第n项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式相关规律的探索．观察数列的分子、分母和符号规律，分子为n，分母为，符号规律：n为奇数时为正，n为偶数时为负，用 表示符号． 【详解】解：∵ 数列前五项：，，，， ， ∴分子为n，分母为，符号规律：n为奇数时为正，n为偶数时为负， ∵，当n为奇数时，为偶数，； 当n为偶数时，为奇数，， ∴ 第n项为， 故选：D． 【题型7 规律型：图形的变化类】 【例7】（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，用棋子摆出一组形如平行四边形的图形，按照这种方法摆下去，摆第n个图形需要棋子的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，发现规律是解答本题的关键． 观察前几个图形可知每个图形需要的棋子数为，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形需要枚棋子； 第2个图形需要枚棋子； 第3个图形需要枚棋子； 以此类推， 第n个图形需要枚棋子， 故选：C． 【变式7-1】（25-26七年级上·河南安阳·期末）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．依此规律，第n个图案中共有_____个圆片（用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】此题主要考查学生对图形的变化类的知识点的理解和掌握，此题的关键是注意发现前后图形中的数量之间的关系． 观察图形，发现：圆片在2的基础上，依次多3个；根据其中的规律，用字母表示即可． 【详解】解：第1个图案中有圆片个， 第2个图案中有圆片个， 第3个图案中有圆片个， 第n个图案中有圆片个数是：． 故答案为：． 【变式7-2】（25-26七年级上·甘肃甘南·期末）现用围棋中的黑子摆出如图所示的图案，则第个图案中黑子的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】观察示例图形，探索规律是解题的关键．由所给图形，可推出第n个图形黑子的个数即可． 【详解】解：依题意，观察图形，得第1个图案，黑子有个； 第2个图案，黑子有个； 第3个图案，黑子有个； …… 第n个图案，黑子个， 【变式7-3】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，是用地板砖铺设的部分图案，中央是一块边长和内角均相等的六边形的地板砖，周围是等边三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个等边三角形，第2层包括6个正方形和18个等边三角形……依此类推．第层中包括____________个等边三角形． 【答案】 【分析】本题考查平面镶嵌，规律型：图形的变化类，多边形内角与外角，掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键．根据题意分析可得：从里向外的第1层含有6个正三角形；第2层含有个正三角形；根据正三角形的规律此后每层都比前一层多个，所以第3层含有个正三角形，第4层含有个正三角形，从而写出第层中含有的正三角形个数． 【详解】解：第1层中含有正三角形个数是个， 第2层中含有正三角形个数是个， 第3层中含有正三角形个数是个， 第4层中含有正三角形个数是个， 第层中含有正三角形个数是个． 故答案为：． 考点2 正比例关系和反比例关系 知识点5 正比例关系和反比例关系 1. 正比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定,，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系．如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的比值（k是一个确定的值，且k≠0），正比例关系可以用来表示，其中k叫作比例系数． 2. 反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系．如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0)，反比例关系可以用或来表示，其中k叫作比例系数． 【题型8 正比例关系】 【例8】（25-26七年级上·广东汕头·期中）一场电影的票价一定时，该场电影的票房收入与出售票数之间的关系是（   ） A．反比例 B．正比例 C．不成比例 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了正比例关系． 票价固定时，票房收入和出售票数比值一定，两者满足正比例关系． 【详解】解：票房收入票价出售票数， 票价固定时，票房收入和出售票数比值一定，两者满足正比例关系． 故选：B． 【变式8-1】（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）如表， x与y成正比例， “△”和“▲”的组合不可能是（    ）． x 2 △ y ▲ 12 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例，掌握相关知识是解决问题的关键．若x与y成正比例，则▲△，由此解答问题即可． 【详解】解：若x与y成正比例，则▲△， 即▲△， 故C选项不符合题意， 故选：C． 【变式8-2】（2025七年级上·山西大同·专题练习）科技小组的同学制作弹簧秤，不挂重物时弹簧长8厘米．实验发现这个弹簧秤伸长的长度与它所挂物体的质量存在如下关系（弹簧自身的质量忽略不计）： 弹簧伸长的长度/厘米 1 2 3 … 5 物体的质量/千克 2 4 6 … 10 在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成( )比例．当弹簧的总长度是12.8厘米时，所称物体的质量是( )千克． 【答案】 正 9.6 【分析】此题考查了正比例关系的认识及应用，要求学生掌握． （1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫反比例关系． （2）因为不挂重物时弹簧长8厘米，所以弹簧伸长的长度是弹簧伸长后的总长度减去弹簧原来的长度；用弹簧伸长的长度乘弹簧伸长每厘米所称物体的质量，就是所称物体的质量． 【详解】解：（1）（千克/厘米） （千克/厘米） （千克/厘米） …… （千克/厘米） 2是一定值，所以在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成正比例． （2）因为不挂重物时弹簧长8厘米，所以弹簧伸长的长度是： （厘米） 所挂物体的质量是： （千克） 答：当弹簧的长度是12.8厘米时，所称物体的质量是9.6千克． 故答案为：（1）正．（2）9.6． 【变式8-3】如图，在长方形中，动点沿着边从点移动到点，三角形的面积随动点的运动在不断变化．当时，三角形的面积是，当时，三角形的面积是__________．在点的运动过程中，三角形的面积和线段的长度成__________比例关系． 【答案】 48 正 【分析】本题考查了正比例关系，理解题意，掌握正比例关系的含义是关键． 根据三角形面积为得到，再代入三角形面积公式，结合正比例关系的概念判定即可． 【详解】解：在长方形中，， ∴， 当时，三角形的面积是， ∴， 解得，， ∴当时，， ∵，线段的长不变，三角形的面积随着的长度增大而增大， ∴三角形的面积和线段的长度成正比例关系， 故答案为：①；② 正． 【题型9 反比例关系】 【例9】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段检测）下列成反比例关系的两种量（   ） A．圆柱底面积一定，体积和高 B．时间一定，路程和速度 C．长方形面积一定，长和宽 D．圆周长一定，直径和圆周率 【答案】C 【分析】本题考查了反比例关系，解题的关键是掌握反比例关系的概念． 反比例关系的概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系，进行判断即可． 【详解】 解：A．圆柱体的底面积一定，体积高底面积，体积和高是正比例关系，选项说法错误，不符合题意； B． 路程公式（是时间，是速度 ），时间一定时，（比值一定），路程和速度成正比例，不是反比例，故本选项不符合题意； C． 长方形面积公式（是长，是宽 ），面积一定时，（乘积一定 ），长和宽成反比例，故本选项符合题意； D．圆周长公式（是周长，是直径 ），圆周率是定值，不是变量，所以直径和圆周率不成比例，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式9-1】（25-26七年级上·湖北黄石·期末）某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如表： 每天运输的吨数 300 150 100 75 60 50 ··· 运输的天数 1 2 3 4 5 6 ··· 若每天运输a吨，则运输天数是____（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例关系的应用． 从表格数据可知，每天运输的吨数与运输天数的乘积恒为300吨，因此货物总吨数为300吨；每天运输a吨时，运输天数为总吨数除以a． 【详解】解：由表可知，， 故货物总吨数为300吨， 若每天运输吨，则运输天数为天． 故答案为：． 【变式9-2】（24-25七年级上·湖北荆州·期末）小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字/分）之间的关系如下表： 完成录入的时间t（分） 75 60 50 30 … 录入文字的速度v（字/分） 40 50 60 100 … (1)这篇社会调查报告共有多少字？ (2)完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？ (3)用t表示完成录入的时间，用v表示录入文字的速度，用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系？ 【答案】(1)3000字 (2)完成录入的时间随着录入文字的速度变大而变小 (3)，t与v成反比例关系 【分析】本题考查成反比例关系的量，熟练掌握成反比例关系的量的特征是解题的关键． （1）用录入文字的速度乘完成录入的时间即可得到答案； （2）根据表格中的数据即可得到完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的； （3）由于总字数一定，则完成录入的时间t与录入文字的速度v的乘积一定，为3000，则可知t与v成反比例关系． 【详解】（1）解：， 即这篇社会调查报告共有3000字； （2）解：由表可知完成录入的时间随着录入文字的速度变大而变小； （3）解：∵总字数一定，为， ∴， ∴t与v成反比例关系． 【变式9-3】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）某工厂要加工600件毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如表： 每小时加工件数（件） 60 50 40 … 加工时间（小时） 10 12 20 … (1)填空：_____，_____； (2)加工时间是怎样随着每小时加工件数的变化而变化的？ (3)用表示每小时加工毛绒玩具的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系，与成什么比例关系？ 【答案】(1)15，30 (2)加工时间随着每小时加工件数的增大而减小（或减小而增大） (3)，反比例关系 【分析】本题考查了乘法运算及应用，变量之间的变化关系以及反比例关系． （1）通过每小时加工的件数与加工时间的乘积等于玩具的总件数计算即可； （2）观察表格中每小时加工件数和加工时间的数据，可得出加工时间随着每小时加工件数的变化情况； （3）由工作总量每小时加工件数加工时间可得与的乘积等于 600 ，即，根据反比例关系的定义，如果两个变量的乘积是一个定值，那么这两个变量成反比例关系，由于，所以与成反比例关系． 【详解】（1）解：∵这批毛绒玩具共 600 件， ∴， ∴． （2）解：结合表格，得出加工时间随着每小时加工件数的增大而减小（或减小而增大）． （3）解：∵工作总量不变，都是 600 件， ∴加工时间与每小时加工件数乘积都是 600 ，即乘积不变， ， 故与成反比例关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 列代数式表示数量关系（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 用含字母的式子表示数】 2 【题型2 识别代数式】 2 【题型3 代数式的书写方法】 3 【题型4 代数式表示的实际意义】 3 【题型5 列代数式】 4 【题型6 规律型：数字的变化类】 4 【题型7 规律型：图形的变化类】 5 【题型8 正比例关系】 6 【题型9 反比例关系】 7 考点1 代数式的相关概念 知识点1 用含字母的式子表示数 用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，为我们今后的学习和研究带来了极大的方便． 用含字母的式子表示数的书写规则： （1）字母与字母相乘时，“”号通常省略不写或写成“”； （2）字母与数相乘时，数通常写在字母的前面； （3）带分数与字母相乘时，通常化带分数为假分数； （4）字母与字母相除时，要写成分数的形式． （5）当式子为几个数的和或差的形式，且结果带单位时，式子整体加括号． 知识点2 代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式．单独的一个数或字母也是代数式．例如：0，a都是代数式． 知识点3 代数式的意义 根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来，就是将代数式的字母及运算符号赋予具体的含义． 知识点4 列代数式 把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式．例如：用代数式表示：a与a减去b的差的商，其中运算词“差”表示的数量关系是a减去b，列成式子为a-b；运算词“商”表示的数量关系是a除以“差”，即（填完整的代数式）． 【题型1 用含字母的式子表示数】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）仓库里存有货物180吨，运走了12车，每车x吨．表示_________________ ，表示___________ ，这里x的最大值是_________ ． 【变式1-1】一天早晨的温度是b摄氏度，中午比早晨高6摄氏度，中午的温度是_____摄氏度． 【变式1-2】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米． A． B．at C． D． 【题型2 识别代数式】 【例2】下列各式中，是代数式的有（     ） ，0，，， ， A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2-1】（25-26六年级上·上海静安·期末）下列各式中不是代数式的为（   ） A． B．314 C． D． 【变式2-2】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列各式中，是代数式的是 __________．（填序号） ①；②；③；④π；⑤；⑥． 【变式2-3】（25-26九年级下·安徽淮北·期中）下列说法正确的是(　　) A．是代数式，不是代数式 B．表示，，的积的代数式为 C．代数式的意义是与的差除的商 D．与的差是 【题型3 代数式的书写方法】 【例3】下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】（2025六年级上·上海·专题练习）下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式3-2】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）下列各式中，符合代数式书写规则的有（   ）个． ，，，，，，，米 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-3】（24-25七年级上·吉林·期中）下列书写∶①；②；③；④；⑤；⑥ 千克中，正确的有__________．（填写序号即可） 【题型4 代数式表示的实际意义】 【例4】（24-25七年级上·湖南常德·期末）小明根据方程编写了一道应用题，请你把空缺的部分补充完整．甲、乙两名工人生产零件，已知甲工人每天比乙工人多生产5个零件，______，请问甲工人每天生产多少个零件？（设甲工人每天生产个零件） 【变式4-1】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）代数式的意义为（    ） A．与的差的平方 B．与的平方差 C．与的平方的差 D．的平方与的差 【变式4-2】（25-26七年级上·江苏南通·期末）下列各项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．长方形的周长： D．整个图形的面积 ： 【变式4-3】在一项居民住房节能改造工程中，某社区计划用a天完成建筑面积为1000平方米的居民住房节能改造任务，若实际比计划提前b天完成改造任务，则代数式“”表示的意义为_____． 【题型5 列代数式】 【例5】（25-26七年级上·山东临沂·期末）年全国两会强调“加快新型基础设施建设”，某科创园区规划用地为长方形，长为米，宽为米，则该园区的周长为________． 【变式5-1】（25-26七年级上·广西崇左·期末）若5箱苹果的总质量为m千克，则平均每箱苹果的质量为（   ）千克 A． B．m C． D． 【变式5-2】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：每小时上升或下降．若初始温度为，经过小时后的温度可能表示为（     ） A． B． C．或 D． 【变式5-3】（25-26七年级上·山西晋中·期末）采摘机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人搭载了10个机械手，它的一个机械手8秒可以采摘一个苹果．小时该机器人可以采摘________个苹果． 【题型6 规律型：数字的变化类】 【例6】（25-26七年级上·上海·期末）一组数∶1，，3，，5，，…，第n个数是____________(用含n的代数式表示)． 【变式6-1】（25-26七年级下·云南玉溪·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·云南昭通·期末）按某种规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）有一数列，前五个数依次为、、、、，…，则这个数列的第n项是（   ） A． B． C． D． 【题型7 规律型：图形的变化类】 【例7】（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，用棋子摆出一组形如平行四边形的图形，按照这种方法摆下去，摆第n个图形需要棋子的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26七年级上·河南安阳·期末）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．依此规律，第n个图案中共有_____个圆片（用含n的代数式表示）． 【变式7-2】（25-26七年级上·甘肃甘南·期末）现用围棋中的黑子摆出如图所示的图案，则第个图案中黑子的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式7-3】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，是用地板砖铺设的部分图案，中央是一块边长和内角均相等的六边形的地板砖，周围是等边三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个等边三角形，第2层包括6个正方形和18个等边三角形……依此类推．第层中包括____________个等边三角形． 考点2 正比例关系和反比例关系 知识点5 正比例关系和反比例关系 1. 正比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定,，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系．如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的比值（k是一个确定的值，且k≠0），正比例关系可以用来表示，其中k叫作比例系数． 2. 反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系．如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0)，反比例关系可以用或来表示，其中k叫作比例系数． 【题型8 正比例关系】 【例8】（25-26七年级上·广东汕头·期中）一场电影的票价一定时，该场电影的票房收入与出售票数之间的关系是（   ） A．反比例 B．正比例 C．不成比例 D．不确定 【变式8-1】（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）如表， x与y成正比例， “△”和“▲”的组合不可能是（    ）． x 2 △ y ▲ 12 A． B． C． D． 【变式8-2】（2025七年级上·山西大同·专题练习）科技小组的同学制作弹簧秤，不挂重物时弹簧长8厘米．实验发现这个弹簧秤伸长的长度与它所挂物体的质量存在如下关系（弹簧自身的质量忽略不计）： 弹簧伸长的长度/厘米 1 2 3 … 5 物体的质量/千克 2 4 6 … 10 在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成( )比例．当弹簧的总长度是12.8厘米时，所称物体的质量是( )千克． 【变式8-3】如图，在长方形中，动点沿着边从点移动到点，三角形的面积随动点的运动在不断变化．当时，三角形的面积是，当时，三角形的面积是__________．在点的运动过程中，三角形的面积和线段的长度成__________比例关系． 【题型9 反比例关系】 【例9】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段检测）下列成反比例关系的两种量（   ） A．圆柱底面积一定，体积和高 B．时间一定，路程和速度 C．长方形面积一定，长和宽 D．圆周长一定，直径和圆周率 【变式9-1】（25-26七年级上·湖北黄石·期末）某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如表： 每天运输的吨数 300 150 100 75 60 50 ··· 运输的天数 1 2 3 4 5 6 ··· 若每天运输a吨，则运输天数是____（用含a的代数式表示）． 【变式9-2】（24-25七年级上·湖北荆州·期末）小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字/分）之间的关系如下表： 完成录入的时间t（分） 75 60 50 30 … 录入文字的速度v（字/分） 40 50 60 100 … (1)这篇社会调查报告共有多少字？ (2)完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？ (3)用t表示完成录入的时间，用v表示录入文字的速度，用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系？ 【变式9-3】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）某工厂要加工600件毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如表： 每小时加工件数（件） 60 50 40 … 加工时间（小时） 10 12 20 … (1)填空：_____，_____； (2)加工时间是怎样随着每小时加工件数的变化而变化的？ (3)用表示每小时加工毛绒玩具的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系，与成什么比例关系？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $