专题1.1 探索勾股定理（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦勾股定理这一核心知识点，系统梳理定理内容、三种变形公式，详解邹元治证法、赵爽弦图、梯形证法等经典面积证法，覆盖求第三边、证明平方线段、构造无理数线段等应用，构建从原理到题型的完整学习支架。 资料通过经典证法培养几何直观与推理能力，题型设计融入分类讨论、网格割补等方法提升抽象思维，即学即练与变式题助力学生用数学语言解决问题。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

专题1.1 探索勾股定理 教学目标 1.熟记勾股定理内容与三边关系式，掌握三种变形公式，分清直角边、斜边，能简单计算直角三角形边长。 2.理解勾股定理三种经典面积证法的推导逻辑，会借助等面积思路完成定理推导与简单证明。 3.掌握勾股定理三类基础应用，能求第三边、证明平方线段、构造带无理数长度的线段。 建立数形结合思想，学会设未知线段列方程，利用直角三角形三边关系解决几何计算问题。 教学重难点 重点： 1.勾股定理原始公式与常用变形，分清直角三角形斜边、直角边，已知两边快速求解第三条边长。 2.赵爽弦图、内弦图、总统梯形证法，熟练运用面积相等的思路推导证明勾股定理。 3.勾股定理基础实际应用，结合方程思想处理几何线段求值、线段平方相关证明题型。 难点： 1.区分图形中直角边与斜边，未指明斜边时分类讨论，避免直接套用公式出现漏解。 2.看懂弦图、梯形拼接图形的边长对应关系，准确列出面积等式并完整化简推导定理。 3.灵活运用数形结合，在复杂图形中构造直角三角形，借助勾股建立方程求解线段。 知识点01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 即在中，直角边长为，斜边长为，则： 重要说明： 1.勾股定理只适用于直角三角形，刻画直角三角形三边的数量关系。 2.数形结合思想：已知直角三角形边长，可设未知边列方程求解线段长度。 3.常用变形公式 ，， 定理三大应用 1.已知直角三角形任意两条边长，求出第三条边长； 2.证明含有平方关系的线段等式； 3.在数轴上作出长度为（为正整数）的无理数线段。 【即学即练】 1．如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 【答案】D 【详解】解：根据勾股定理得，所代表的正方形的面积为， ∴所代表的正方形的边长是10． 2．在中，，，则_______． 【答案】 【详解】解：在中，， 故； ∴， ∵， 故， 即． 知识点02 勾股定理经典三种证明方法 1.邹元治证法（内弦图） 用四个全等直角三角形拼接成大正方形，通过大正方形面积=小正方形面积+4个直角三角形面积，即，化简推出。 2.赵爽弦图（外弦图） 四个全等直角三角形围成大正方形，中间形成小正方形，利用面积相等，化简推出。 3.梯形证法 两个全等直角三角形与一个等腰直角三角形拼成直角梯形，梯形面积等于三个三角形面积之和，即，化简推出。 【即学即练】 3．勾股定理在我国有着悠久的历史．三国时期的数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时，利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理．后人通常把如图所示的“勾股圆方图”称为“赵爽弦图”．赵爽利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理所运用的数学思想是（   ） A．数形结合 B．方程思想 C．转化思想 D．统计思想 【答案】A 【详解】解：赵爽弦图是通过几何图形的面积关系来推导代数的勾股定理公式， 把数和形结合起来，这种思想是数形结合思想． 4．勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． (1)用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：________，用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：______； (2)利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：图1的大正方形的面积； 图2的大正方形的面积； （2）解：由题图可知，两个大正方形的边长都是， ∴两个大正方形的面积相等， ， 化简可得． 题型01以直角三角形三边为边长的图形面积 例1．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ） A．27 B．24 C．21 D．15 【答案】A 【详解】解：∵四边形为正方形，且面积为， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴正方形的面积为． 变式1-1．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ，， ． ∴． 变式1-2．如图，这是通信基站内部构件的截面图，它由两个直角三角形和三个正方形组成．若一直角三角形的直角边和斜边的长分别为12，13，则阴影部分的面积是__________． 【答案】 【详解】解：如图， 由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积是. 变式1-3．如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 【答案】B 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵正方形中，，， ∴． 题型02已知直角三角形的两边，求第三边长 例2．如图，在中，，，，则的面积为________． 【答案】1 【详解】解∶∵在中，，，， ∴， ∴． 变式2-1．如图，池塘边有、两点，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．求、两点间的距离． 【答案】 【详解】解：由题意可知，， 由勾股定理可得，． 变式2-2．如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵中，，，， ∴， 根据垂线段最短，可知的长不可小于3，当P和C重合时，， 由，即长不可能是． 变式2-3．如图，在中，，，，，则的长度为_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴和均为直角三角形， 在中，，， 由勾股定理得：， 由图可知点在线段上， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：． 1.分类讨论法：题目未说明哪条边是斜边时，分两种情况计算。 情况一：已知两边均为直角边，第三边； 情况二：较长已知边为斜边，短边为直角边，第三直角边。 2.直接套用勾股变形：、。 题型03等面积法求直接斜边上的高问题 例3．如图在中，，于D，若，，则______． 【答案】 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 变式3-1．设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a、b及h，那么a、b、h的数量关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设该直角三角形的斜边长为， 根据勾股定理可得 ， ∵直角三角形的面积可表示为，也可表示为， ∴ ，即， ∴ ， 两边同时平方得， 等式两边同时除以得，即． 故选：C． 变式3-2．如图，在中，，，点为垂足，，．求： (1)的面积； (2)斜边的长； (3)斜边上的高的长． 【答案】(1)2.94 (2)3.5 (3)1.68 【分析】 【详解】（1）解：． （2）解：∵在中，， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴． 变式3-3．等腰直角三角形的一条直角边长为2，则它斜边上的高为______． 【答案】 【详解】解：设该等腰直角三角形的斜边长为，斜边上的高为. 根据勾股定理，可得， 整理得， 因为三角形的边长为正数，因此， 根据三角形面积公式，三角形面积等于两直角边乘积的一半，也等于斜边与斜边上高乘积的一半， 因此可得， 化简得， 解得. 题型04勾股定理与网格问题 例4．如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为______．    【答案】 【详解】解：由勾股定理得：， ∵， ∴的面积=， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 变式4-1．图1、图2的两个正方形网格的面积分别为、，正方形、满足，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设第一正方形网格边长为，第二个网格正方形边长为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D 【点睛】本题主要考查网格中面积的计算和勾股定理，利用勾股定理用网格的边长表示正方形面积，然后转化为网格正方形面积的比值是解题的关键． 变式4-2．如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设边上的高为， ，， ， ， 故边上的高为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出的长． 变式4-3．如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为，已知的三个顶点均在格点上．按要求画图： (1)画出的边上的中线； (2)画出的边上的高； (3)若，则边上的高等于____________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：根据中线的定义，找到的中点，连接和即可得到中线，线段即为所求； （2）解：根据高的定义，找到从点垂直于的线段，即为所求； （3）解：设边上的高为， ， ， ． 网格割补法+勾股求线段长 （1）求网格中任意两点距离：横向、纵向数格子得到直角边，再用勾股算斜边。 （2）求不规则图形面积：割补成矩形、直角三角形，用整体减空白。 （3）判断三角形形状：算出三边平方，利用与大小关系判断直角、锐角、钝角三角形。 题型05勾股定理与折叠问题 例5．如图，在中，，，，将折叠，沿折叠，使点与点重合，则的周长等于_____． 【答案】17 【分析】 【详解】解：在中，， 由勾股定理，得， 由翻折的性质，得． 的周长． 故答案为：17． 变式5-1．将一个斜边长为的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠次后得到另一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到又一个等腰直角三角形（如图3），若连续将图的等腰直角三角形折叠次后所得到的等腰直角三角形的斜边长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得出： 第一次折叠后，如图2，腰长为， 第二次折叠后，如图3，腰长为， ， 依此类推，将图1的等腰直角三角形折叠次后新等腰三角形的腰长为， 则将图1的等腰直角三角形折叠次后所得到的等腰直角三角形的斜边长为． 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形折叠问题，图形探究，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理的运用，解题的关键是利用勾股定理分别计算出折叠两次后的等腰三角形的腰长，从中发现规律，此类题目难度较大，属于难题． 变式5-2．如图的实线部分是由 经过两次折叠得到的，首先将 沿 折叠，使点 C落在斜边上的点处，再沿 折叠，使点 A 落在 的延长线上的点 处．若图中，则 的长为___________．    【答案】 【详解】解：由折叠可知，， 又 ∵， ∴， 在直角 中，， ∴， ∵， ∴， 即 ， 故答案为 ． 【点睛】本题考查翻折变换的性质，勾股定理，熟记性质并利用直角三角形的面积公式是解题的关键． 变式5-3．如图，三角形纸片中，．沿过点C的直线将纸片折叠，使点A落在边上的点D处；再沿直线将纸片折叠，使点B与点D重合．若直线与的交点为E，则的长是 ___________． 【答案】 【详解】设， 由折叠知，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理，得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 题型06利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 例6．如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 变式6-1．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 变式6-2．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 变式6-3．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 【答案】231 【详解】证明：在 中，由勾股定理，得①， 在 中，由勾股定理，得②， 得． 在 中，由勾股定理，得③， 在 中，由勾股定理，得④， 得， 所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 题型07利用勾股定理证明线段平方关系 例7．在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【答案】(1)（i）>；（ii）< (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>， （ii）若，则． （2）若，则>；证明如下： 如图，过点A作于点D，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵ ∴ 若，则．证明如下： 如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵， ∴． 变式7-1．如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 变式7-2．如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 【答案】见解析 【详解】解：连接． 因为， 所以， 所以，， 因为， 所以． 因为M为中点， 所以， 所以． 变式7-3．如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． （2） 如图，连接． ∵． ∴． 同（1）法可得：． ∴． ∴，即． 在中，由勾股定理可知：． ∴， ∵， ∴， ∴． 题型08勾股定理的证明方法 例8．[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有种．如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为或者是，因此得到，运用乘法公式展开整理得到． [尝试探究] (1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图，用个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，请你根据古人的拼图证明勾股定理． [实践应用] (2)如图，用个全等直角三角形拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，直角三角形的两条直角边分别为，，求的值． 【答案】(1)证明：∵四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为， ∴大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，即， ∴． (2) 【分析】 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵直角三角形的两条直角边分别为，， ∴，， ∵正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为， ∴，， ∴， ∴． 变式8-1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， 故A选项能证明勾股定理； B、梯形的面积为：； 也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ∴， ∴， 故B选项能证明勾股定理； C、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴， 故C选项能证明勾股定理； D、大正方形的面积为：； 也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴D选项不能证明勾股定理． 变式8-2．小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 【答案】证明：如图，作，垂足为点， 设与的交点为， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为长方形， ， ， . 【详解】略 变式8-3．【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， 观察图形可知：， ∴， ∴； （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，设， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即的值为． 1．在直角三角形中，斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设另一条直角边长为 ∵该三角形是直角三角形，斜边长为，一条直角边长为 ∴根据勾股定理可得 整理得 ∵三角形边长为正数 ∴ 2．如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，， 在中，， 与关于直线对称， ． 3．如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面的点处连接着出水口所在的水管，水管上的点处安装有红外线感应装置．已知出水口到点的距离为，出水口到点的距离为，并且，则红外线感应装置距离洗手台面的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵， ∴，即是直角三角形 在中，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴． 4．在中，，如果，则（     ） A．6 B．8 C．10 D．以上都不是 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴可设，，其中， ∵ 在中，，斜边， ∴ 由勾股定理得， ∴ ， 整理得， 即， ∵， ∴， ∴ ． 5．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（     ） A．12 B．13 C．14 D．21 【答案】B 【详解】解：由图可知，中间小正方形的边长为， 小正方形的面积为 ， 即①， ， ②， 得 ， ， 大正方形的边长为直角三角形的斜边， 大正方形的面积为直角三角形斜边的平方即， 6．直角三角形两边分别为，，那么该直角三角形的斜边长为______． 【答案】或/8或10 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ① 当为直角边时，也为直角边，由勾股定理得，斜边长为： ， ② 当为斜边时，斜边长即为，满足直角三角形三边关系，符合题意. 7．三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 【答案】 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， ，， ， ． 8．如图，在中，，于点D，若，，则的长为_____． 【答案】 【详解】解：，，， ，， 于点， ， ． 故答案为：． 9．如图，在中，边上的高． (1)根据图1，求的长； (2)根据图2，求的长． 【答案】(1)21 (2)9 【分析】 【详解】（1）解：如图1，当在三角形的内部时， 在中,      在中,      ∴； （2）如图2，当在三角形的外部时， 在 中,      在 中,      ∴． 10．在中，分别表示的对边． (1)已知，求； (2)已知，求（用含的式子表示）． 【答案】(1)13 (2) 【分析】 【详解】（1）解：在中，， 由勾股定理得，，则； （2）解：在中，， 由勾股定理得，， 则 11．如图，某自动感应门的正上方A处安装着一个感应器，离地，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开．一个身高的学生面对着自动感应门，缓慢走到离门的地方时()，感应门自动打开，求感应器 A 到学生头顶D 的距离． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可得为长方形， ，，， ， 在中，由勾股定理得： ． 12．（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量，． ①求停靠站A与D之间的距离； ②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离． 【答案】（1）见解析；（2）①，② 【分析】 【详解】解：（1）由图1可得，大正方形的边长为c，小正方形的边长为， 大正方形的面积为，也是4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即大正方形的面积，其中小正方形的面积为， 大正方形的面积， ∴， 化简可得，； （2）①当时，A到停靠站D的距离最短， 在中，， ∴， 答：停靠站A与D之间的距离为； ②设， ∵， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即， 答：停靠站B到村庄C的距离为． 13．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 【答案】A 【详解】解：是中间小正方形的对角线，正方形对角线相等， ． ， ． 单个直角三角形面积为，， 四个直角三角形总面积． 大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和， ． 大正方形的面积是25． 14．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点D作于点E，如图， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴． 15．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 【答案】C 【详解】解：A、设，则， 在中，， 正方形的面积为， ，则， 解得， 四个相同的直角三角形（，，，）， ， 则正方形的面积为，选项结论错误； B、在中，，选项结论错误； C、在正方形中，，则， ， ， 由A的推导过程可知，则， ，即是的中点，选项结论正确； D、由前面的求解过程可知，，则，选项结论错误． 16．如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴为直角三角形 根据勾股定理可得：， ∴ ∵在中，根据勾股定理有，， ∴， ∴. 17．如图，某厂的自动化流水线由两条平行的传送带a、b组成，a、b之间的距离为1米，在a、b之间要布置跨线工位，使得，物料供应点A到传送带a的距离米，物料供应点B到传送带b的距离米，A，B之间的距离为米，若要求两个物料供应点到工位的搬运距离相等，即，则________． 【答案】 【详解】解：过点作交的延长线于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， 解得； 即． 18．在中，，，，P是上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解：∵点P是上的动点， ∴当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，如图 ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得． 19．在中，，，高，则的周长是______． 【答案】或 【详解】解：分两种情况讨论：当高在的内部时， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 此时的周长为； 当高在的外部时， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 此时的周长为； 综上所述，的周长是或． 20．如图，在中，，，，点是的中点，，垂足为，连接，则线段的长度为_______． 【答案】 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即 ，解得：， ∴， 如图：过点 E 作 交 于点 F， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 21．在中，，，，点D为中点，点E和点F分别在与上，连接，将沿所在直线折叠，使得点B恰好和点D重合，连接交于点O． (1)求线段的长； (2)求的周长． 【答案】(1) (2)15 【分析】 【详解】（1）解：点是的中点，，， ， 设，则， 由折叠性质得， 在中，根据勾股定理，得：，即：， 解得， 的长． （2）解：在中，， 由折叠得， 在中，， ∴的周长为． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 探索勾股定理 教学目标 1.熟记勾股定理内容与三边关系式，掌握三种变形公式，分清直角边、斜边，能简单计算直角三角形边长。 2.理解勾股定理三种经典面积证法的推导逻辑，会借助等面积思路完成定理推导与简单证明。 3.掌握勾股定理三类基础应用，能求第三边、证明平方线段、构造带无理数长度的线段。 建立数形结合思想，学会设未知线段列方程，利用直角三角形三边关系解决几何计算问题。 教学重难点 重点： 1.勾股定理原始公式与常用变形，分清直角三角形斜边、直角边，已知两边快速求解第三条边长。 2.赵爽弦图、内弦图、总统梯形证法，熟练运用面积相等的思路推导证明勾股定理。 3.勾股定理基础实际应用，结合方程思想处理几何线段求值、线段平方相关证明题型。 难点： 1.区分图形中直角边与斜边，未指明斜边时分类讨论，避免直接套用公式出现漏解。 2.看懂弦图、梯形拼接图形的边长对应关系，准确列出面积等式并完整化简推导定理。 3.灵活运用数形结合，在复杂图形中构造直角三角形，借助勾股建立方程求解线段。 知识点01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 即在中，直角边长为，斜边长为，则： 重要说明： 1.勾股定理只适用于直角三角形，刻画直角三角形三边的数量关系。 2.数形结合思想：已知直角三角形边长，可设未知边列方程求解线段长度。 3.常用变形公式 ，， 定理三大应用 1.已知直角三角形任意两条边长，求出第三条边长； 2.证明含有平方关系的线段等式； 3.在数轴上作出长度为（为正整数）的无理数线段。 【即学即练】 1．如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 2．在中，，，则_______． 知识点02 勾股定理经典三种证明方法 1.邹元治证法（内弦图） 用四个全等直角三角形拼接成大正方形，通过大正方形面积=小正方形面积+4个直角三角形面积，即，化简推出。 2.赵爽弦图（外弦图） 四个全等直角三角形围成大正方形，中间形成小正方形，利用面积相等，化简推出。 3.梯形证法 两个全等直角三角形与一个等腰直角三角形拼成直角梯形，梯形面积等于三个三角形面积之和，即，化简推出。 【即学即练】 3．勾股定理在我国有着悠久的历史．三国时期的数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时，利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理．后人通常把如图所示的“勾股圆方图”称为“赵爽弦图”．赵爽利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理所运用的数学思想是（   ） A．数形结合 B．方程思想 C．转化思想 D．统计思想 4．勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． (1)用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：________，用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：______； (2)利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理． 题型01以直角三角形三边为边长的图形面积 例1．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ） A．27 B．24 C．21 D．15 变式1-1．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则______． 变式1-2．如图，这是通信基站内部构件的截面图，它由两个直角三角形和三个正方形组成．若一直角三角形的直角边和斜边的长分别为12，13，则阴影部分的面积是__________． 变式1-3．如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 题型02已知直角三角形的两边，求第三边长 例2．如图，在中，，，，则的面积为________． 变式2-1．如图，池塘边有、两点，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．求、两点间的距离． 变式2-2．如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（     ） A． B．3 C．4 D．5 变式2-3．如图，在中，，，，，则的长度为_________． 1.分类讨论法：题目未说明哪条边是斜边时，分两种情况计算。 情况一：已知两边均为直角边，第三边； 情况二：较长已知边为斜边，短边为直角边，第三直角边。 2.直接套用勾股变形：、。 题型03等面积法求直接斜边上的高问题 例3．如图在中，，于D，若，，则______． 变式3-1．设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a、b及h，那么a、b、h的数量关系是（       ） A． B． C． D． 变式3-2．如图，在中，，，点为垂足，，．求： (1)的面积； (2)斜边的长； (3)斜边上的高的长． 变式3-3．等腰直角三角形的一条直角边长为2，则它斜边上的高为______． 题型04勾股定理与网格问题 例4．如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为______．    变式4-1．图1、图2的两个正方形网格的面积分别为、，正方形、满足，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 变式4-2．如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为，已知的三个顶点均在格点上．按要求画图： (1)画出的边上的中线； (2)画出的边上的高； (3)若，则边上的高等于____________． 网格割补法+勾股求线段长 （1）求网格中任意两点距离：横向、纵向数格子得到直角边，再用勾股算斜边。 （2）求不规则图形面积：割补成矩形、直角三角形，用整体减空白。 （3）判断三角形形状：算出三边平方，利用与大小关系判断直角、锐角、钝角三角形。 题型05勾股定理与折叠问题 例5．如图，在中，，，，将折叠，沿折叠，使点与点重合，则的周长等于_____． 变式5-1．将一个斜边长为的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠次后得到另一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到又一个等腰直角三角形（如图3），若连续将图的等腰直角三角形折叠次后所得到的等腰直角三角形的斜边长为（    ）    A． B． C． D． 变式5-2．如图的实线部分是由 经过两次折叠得到的，首先将 沿 折叠，使点 C落在斜边上的点处，再沿 折叠，使点 A 落在 的延长线上的点 处．若图中，则 的长为___________．    变式5-3．如图，三角形纸片中，．沿过点C的直线将纸片折叠，使点A落在边上的点D处；再沿直线将纸片折叠，使点B与点D重合．若直线与的交点为E，则的长是 ___________． 题型06利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 例6．如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 变式6-1．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 变式6-3．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 题型07利用勾股定理证明线段平方关系 例7．在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 变式7-1．如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式7-2．如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 变式7-3．如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 题型08勾股定理的证明方法 例8．[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有种．如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为或者是，因此得到，运用乘法公式展开整理得到． [尝试探究] (1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图，用个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，请你根据古人的拼图证明勾股定理． [实践应用] (2)如图，用个全等直角三角形拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，直角三角形的两条直角边分别为，，求的值． 变式8-1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（     ）． A． B． C． D． 变式8-2．小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 变式8-3．【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 1．在直角三角形中，斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面的点处连接着出水口所在的水管，水管上的点处安装有红外线感应装置．已知出水口到点的距离为，出水口到点的距离为，并且，则红外线感应装置距离洗手台面的高度为（     ） A． B． C． D． 4．在中，，如果，则（     ） A．6 B．8 C．10 D．以上都不是 5．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（     ） A．12 B．13 C．14 D．21 6．直角三角形两边分别为，，那么该直角三角形的斜边长为______． 7．三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 8．如图，在中，，于点D，若，，则的长为_____． 9．如图，在中，边上的高． (1)根据图1，求的长； (2)根据图2，求的长． 10．在中，分别表示的对边． (1)已知，求； (2)已知，求（用含的式子表示）． 11．如图，某自动感应门的正上方A处安装着一个感应器，离地，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开．一个身高的学生面对着自动感应门，缓慢走到离门的地方时()，感应门自动打开，求感应器 A 到学生头顶D 的距离． 12．（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量，． ①求停靠站A与D之间的距离； ②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离． 13．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 14．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 15．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 16．如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________． 17．如图，某厂的自动化流水线由两条平行的传送带a、b组成，a、b之间的距离为1米，在a、b之间要布置跨线工位，使得，物料供应点A到传送带a的距离米，物料供应点B到传送带b的距离米，A，B之间的距离为米，若要求两个物料供应点到工位的搬运距离相等，即，则________． 18．在中，，，，P是上一动点，则的最小值为________． 19．在中，，，高，则的周长是______． 20．如图，在中，，，，点是的中点，，垂足为，连接，则线段的长度为_______． 21．在中，，，，点D为中点，点E和点F分别在与上，连接，将沿所在直线折叠，使得点B恰好和点D重合，连接交于点O． (1)求线段的长； (2)求的周长． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $