专题1.4 两条直线的交点（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“两条直线的交点”核心知识点，先通过方程组解的情况建立直线位置关系（相交、平行、重合）的联系，再引入直线系方程，为求交点坐标、参数问题等题型搭建学习支架。 资料按6类题型分类，例题与变式题结合，通过参数讨论、三线围三角形等问题，培养学生用数学思维推理、用数学语言表达。课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

专题1.4 两条直线的交点（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 求直线交点坐标】 1 【题型2 由直线交点的个数求参数】 2 【题型3 由直线的交点坐标求参数】 2 【题型4 经过两直线交点的直线方程】 3 【题型5 三线能围成三角形的问题】 4 【题型6 直线交点系方程及应用】 5 考点1 两条直线的交点坐标 知识点1 两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. 2．两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 【题型1 求直线交点坐标】 【例1】（25-26高二上·浙江·期中）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型2 由直线交点的个数求参数】 【例2】（25-26高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【变式2.1】（25-26高二上·安徽宿州·阶段检测）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【变式2.3】（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型3 由直线的交点坐标求参数】 【例3】（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二上·全国·课后作业）三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3.2】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【题型4 经过两直线交点的直线方程】 【例4】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）经过与的交点且垂直于的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线，，求下列直线l的一般方程: (1)若直线经过和的交点，且经过点； (2)若直线经过和的交点，且与直线垂直. 【变式4.3】（25-26高二上·重庆·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： (1)倾斜角为的直线； (2)与直线平行的直线； (3)与直线垂直的直线． 【题型5 三线能围成三角形的问题】 【例5】（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【变式5.1】（25-26高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式5.2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【变式5.3】（25-26高二上·广西钦州·开学考试）已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 考点2 直线系方程 知识点2 直线系方程 1．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 【题型6 直线交点系方程及应用】 【例6】（25-26高二上·安徽合肥·期末）过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（25-26高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【变式6.2】（25-26高二上·重庆·阶段检测）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6.3】（25-26高二·全国·课后作业）已知两直线和的交点为P．求： (1)过点P与的直线方程； (2)过点P且与直线平行的直线方程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 两条直线的交点（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 求直线交点坐标】 1 【题型2 由直线交点的个数求参数】 3 【题型3 由直线的交点坐标求参数】 5 【题型4 经过两直线交点的直线方程】 6 【题型5 三线能围成三角形的问题】 9 【题型6 直线交点系方程及应用】 12 考点1 两条直线的交点坐标 知识点1 两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. 2．两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 【题型1 求直线交点坐标】 【例1】（25-26高二上·浙江·期中）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解两直线构成的方程组即可. 【解答过程】由，解得， 所以直线和的交点坐标为， 故选：B. 【变式1.1】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据两直线垂直，求出值，代入方程，联立即可求得交点. 【解答过程】由直线与互相垂直，可得，解得， 将代入直线，得到， 联立方程组，解得，交点坐标为. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出直线的方程与的方程联立,即可解得交点坐标为. 【解答过程】设直线的方程为，因为直线经过两点， 所以，解得， 所以的方程为， 将直线与直线的方程联立，解得， 所以直线与的交点坐标为． 故选：C. 【变式1.3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两直线垂直充要条件列式求出，再联立方程组求出交点坐标. 【解答过程】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 直线的方程为. 由，解得，故交点坐标为. 故选：A. 【题型2 由直线交点的个数求参数】 【例2】（25-26高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【解题思路】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【解答过程】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【变式2.1】（25-26高二上·安徽宿州·阶段检测）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【解答过程】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B. 【变式2.2】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可. 【解答过程】由，即两直线交点坐标为， 代入得：. 故选：C. 【变式2.3】（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意联立方程得，再解不等式即可得答案； 【解答过程】联立，得， ∵直线与射线恒有公共点， ∴， 解得. ∴m的取值范围是. 故选：C. 【题型3 由直线的交点坐标求参数】 【例3】（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【解答过程】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 故选：D. 【变式3.1】（25-26高二上·全国·课后作业）三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】先求两直线的交点，进而得是直线上的点，将点代入直线即可得解. 【解答过程】联立，解得， 所以是直线上的点， 代入直线得，解得. 故选：B. 【变式3.2】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【解答过程】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A. 【变式3.3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【答案】B 【解题思路】根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，再将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，由此可得出的值. 【解答过程】已知直线的斜率为，直线的斜率为． 又两直线垂直，则，解得． ，即， 将交点代入直线的方程中，得． 将交点代入直线的方程中，得． 所以，． 故选：B． 【题型4 经过两直线交点的直线方程】 【例4】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）经过与的交点且垂直于的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】联立两直线的方程，解得交点坐标，根据两直线垂直可得所求直线斜率，利用点斜式方程，可得答案. 【解答过程】由题意联立方程，解得，则直线与的交点为， 由可知其斜率为，则与直线垂直的直线斜率为， 所以过直线与的交点且垂直于的直线方程为，化简可得. 故选：B. 【变式4.1】（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直线的方程，求出实数的值，即可得出直线的方程. 【解答过程】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为. 故选：B. 【变式4.2】（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线，，求下列直线l的一般方程: (1)若直线经过和的交点，且经过点； (2)若直线经过和的交点，且与直线垂直. 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)先联立和的方程，解出交点，用交点和求斜率，最后用点斜式得方程后整理为. (2)根据垂直关系，由斜率得的斜率为，点斜式得方程后整理为. 【解答过程】（1）首先求直线和的交点，联立方程：， 解得，所以两直线交点坐标为，已知直线过点和点， 则直线的斜率，则直线的方程为， 即直线l的一般方程. （2）直线的方程为，化为斜截式得， 即斜率为：，与垂直的直线斜率满足， 所以直线的斜率为，直线经过交点，由点斜式得： ,化为一般式为. 【变式4.3】（25-26高二上·重庆·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： (1)倾斜角为的直线； (2)与直线平行的直线； (3)与直线垂直的直线． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）求得直线l1与l2的交点，根据直线的点斜式方程求得直线的方程，并转化为一般式方程； （2）根据平行求出直线l4的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程； （3）根据垂直求出直线l5的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程. 【解答过程】（1）联立直线方程得解得：，∴交点， ∵直线的倾斜角为，∴， ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. （2）∵直线与直线平行，∴， ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. （3）∵直线与直线垂直，∴，∴， ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. 【题型5 三线能围成三角形的问题】 【例5】（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解题思路】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【解答过程】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 【变式5.1】（25-26高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解题思路】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【解答过程】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B. 【变式5.2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；    （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【解答过程】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，与有交点， 若，，可以围成一个三角形，则满足：直线不与，这两条直线平行，且，，不交于一点. 由（1）可知，当，，不交于一点时，则，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为. 【变式5.3】（25-26高二上·广西钦州·开学考试）已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标； （2）在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为和不为两种情况讨论即可； （3）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可. 【解答过程】（1）由题意得，，解得，点的坐标为． （2）设所求直线为， （ⅰ）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即； （ⅱ）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． （3）（ⅰ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅲ）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 考点2 直线系方程 知识点2 直线系方程 1．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 【题型6 直线交点系方程及应用】 【例6】（25-26高二上·安徽合肥·期末）过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用直线系方程结合直线平行的条件可得参数，进而即得． 【解答过程】由已知，可设所求直线的方程为：， 即， 又因为此直线与直线平行， 所以：， 解得：， 所以所求直线的方程为：，即． 故选：A． 【变式6.1】（25-26高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【答案】D 【解题思路】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可. 【解答过程】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 【变式6.2】（25-26高二上·重庆·阶段检测）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】设直线方程为，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果. 【解答过程】解：设直线方程为， 即 令，得， 令，得. 由， 得或. 所以直线方程为或. 故选：C. 【变式6.3】（25-26高二·全国·课后作业）已知两直线和的交点为P．求： (1)过点P与的直线方程； (2)过点P且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设出过直线和交点的直线方程，把点代入方程求出参数，再化简即可求出所求直线. （2）由两直线平行的性质，列方程求出对应的参数，再化简即可求出所求直线. 【解答过程】（1）设过直线和交点P的直线方程为，即．① 把点代入方程①，化简得，解得， 所以过点P与Q的直线方程为，即． （2）由（1）知，过直线和交点P的直线方程可设为， 由两直线平行，得，得， 所以所求直线的方程为，即． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $