专题1.4 两条直线的交点（六大题型）（高效培优专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦两条直线交点的坐标求解、参数分析及综合应用，通过六类题型构建从基础计算到几何综合的递进式训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求交点坐标|10题|直接求解或结合垂直、方向向量等求交点|以解方程组为核心，衔接直线位置关系| |由交点个数求参数|7题|判断交点个数（含线段交点）求参数范围|关联直线平行、重合条件，强化分类讨论| |由交点坐标求参数|6题|已知交点象限或垂直关系求参数|深化方程解的几何意义，培养数形结合| |三线围成三角形|5题|判断三线能否围成三角形及面积计算|整合直线平行、共点条件，提升综合分析| |交点系方程及应用|6题|利用交点系求直线方程或定点问题|拓展直线系思想，简化过交点直线求解| |综合应用|5题|结合欧拉线、面积最值等几何问题|融合函数、几何知识，发展数学建模能力|

专题1.4 两条直线的交点 题型一 求两条直线的交点坐标 题型二 由两条直线的交点个数，求参数 题型三 由两条直线的交点坐标，求参数 题型四 三线围成三角形的问题 题型五 直线交点系方程及应用 题型六 综合应用 题型一：求两条直线的交点坐标 1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程、已知直线垂直求参数、求直线交点坐标 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 2．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】联立方程可得经过的点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可． 【详解】直线经过两条直线和的交点， 由， 可得交点为， 直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即． 故选:B． 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）直线与直线及直线相交于同一点，且为的一个方向向量，则在轴上的截距为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析、求直线的方向向量（平面中）、求直线交点坐标 【分析】根据题意可得交点，再由方向向量可得直线斜率，接着求出直线方程即可． 【详解】联立方程，直线过点， 又为直线的一个方向向量，则直线斜率为1， 直线，当，，即在轴上的截距为． 故选：A 4．（25-26高二上·河北雄安·期中）点为直线和直线的交点，为坐标原点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】求出两条直线的交点后，与原点相连求出该正比例函数的斜率即可. 【详解】联立方程,可得点的坐标为,可得直线的方程为. 故选：B. 5．（25-26高二上·河北张家口·期中）直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标 【分析】根据两直线的交点坐标，就是方程组的解，列出方程组，求出结果即可. 【详解】由题意得，解得，所以交点坐标为. 故选：A. 6．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求直线交点坐标 【分析】由题意得解出即可求解. 【详解】由题意有：， 所以交点坐标为. 故选：A. 7．（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】联立方程求出交点坐标，分截距是否为0讨论求解直线方程. 【详解】由，解得，即两直线交点坐标为， 若所求直线在两坐标轴上截距为0，则该直线经过原点和， 方程为，整理得； 若所求直线在两坐标轴上截距不为0，则该直线方程可设为， 将点坐标代入方程可得，所以此时直线方程为， 整理得， 综上，所求直线方程为或. 故答案为：或. 8．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）直线与直线的交点坐标为________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求直线交点坐标 【分析】把直线方程联立成方程组，解方程组可得交点坐标. 【详解】由. 所以直线与的交点坐标为. 故答案为： 9．（24-25高二上·福建莆田·期中）数学家莱昂哈德▪欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的重心、外心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则外接圆的半径______________，顶点的坐标为______________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求直线交点坐标 【分析】第一空，由欧拉线定义可得AB中垂线与其交点即为外心，然后由外心坐标可得外接圆半径；第二空，设，由重心坐标公式及欧拉线方程可得纵坐标，然后由外接圆半径可得横坐标. 【详解】第一空，因，，则AB中点坐标为，， 则AB中垂线方程为：， 则其与交点为，即外心坐标为， 则外接圆半径； 第二空，设，结合，，可得重心坐标为：， 因其在上，则，则.又，外心坐标为， 则或3（与B重合，舍去），则. 故答案为：； 10．（24-25高二上·湖南长沙·期中）直线与直线的交点坐标为_______ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标 【分析】联立两条直线方程，即可求解. 【详解】联立，得， 所以交点坐标为. 故答案为： 题型二：由两条直线的交点个数，求参数 1．若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由直线交点的个数求参数 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 2．若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由直线交点的个数求参数、已知直线平行求参数 【分析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【详解】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 3．（24-25高二上·福建泉州·期中）直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由直线交点的个数求参数 【分析】数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. 5．（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由直线的交点坐标求参数 【分析】先联立两条已知系数的直线方程，求得交点，再代入剩下那条直线方程，即可求解. 【详解】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为： 6．若直线与直线的交点在直线上，则k的值为______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】由直线的交点坐标求参数 【分析】用字母表示出交点坐标，再代入到第三条直线的方程中，列出关于的方程，然后求解． 【详解】因为直线与直线相交，则，则且， 由，解得， 即直线与直线的交点坐标为， 将点的坐标代入，得， 即，即，因为，解得. 故答案为：. 7．若直线：与：的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、由直线的交点坐标求参数 【分析】联立两直线方程可解得交点坐标，再结合交点在第一象限可得的取值范围，即可求得倾斜角的取值范围. 【详解】由题意可知，联立方程组可得交点的坐标为； 又因为点在第一象限，所以，解得. 即直线的斜率取值范围为，设其倾斜角为， 即，所以倾斜角的取值范围是. 故答案为：. 题型三：由两条直线的交点坐标，求参数 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由直线的交点坐标求参数、求直线交点坐标 【分析】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数. 【详解】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B 2．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由直线的交点坐标求参数 【分析】先求出两条直线的交点，并根据交点在第一象限，解出的取值范围即可. 【详解】由得， 因为两直线的交点在第一象限，所以， 解得：. 故选：B. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由直线的交点坐标求参数、已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，再将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，由此可得出的值. 【详解】已知直线的斜率为，直线的斜率为． 又两直线垂直，则，解得． ，即， 将交点代入直线的方程中，得． 将交点代入直线的方程中，得． 所以，． 故选：B． 4．若直线l：与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、由直线的交点坐标求参数 【分析】联立两直线方程得到交点坐标，然后根据交点位于第一象限得到，解方程得到，最后根据斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的范围. 【详解】联立得，所以，解得， 所以直线的倾斜角的范围为. 故选：B. 5．已知直线经过两直线和的交点，则的值等于______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由直线的交点坐标求参数 【分析】联立方程组，求得两直线的交点坐标，代入直线，即可求解. 【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点为， 将点代入直线，可得，解得， 即实数的值为. 故答案为：. 6．已知直线与直线的交点位于第四象限，则的取值范围是___________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由直线的交点坐标求参数 【分析】联立方程组，求得两直线的交点，结合交点在第四象限，列出不等式组，即可求解. 【详解】联立方程组，解得，即交点坐标为， 因为交点位于第四象限，所以且， 解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 题型四：三线围成三角形问题 1．使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三线能围成三角形的问题 【分析】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【详解】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B 2．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 【答案】且且 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、三线能围成三角形的问题 【分析】根据题意，分类讨论三条直线交于一点和三条直线有两条直线平行，即可得到答案. 【详解】当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形． 若三条直线交于一点，由，得直线，交点坐标为， 把代入到直线，得； 若直线平行，则可得， 若直线平行，可得， 所以或． 综上，且且时，直线与能围成三角形, 故答案为：且且 3．已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、三线能围成三角形的问题、求直线交点坐标 【分析】根据三条直线不能构成三角形，则有任意两条平行或交于同一个点，分类讨论求解. 【详解】三条直线不能围成三角形，则有以下情况： (1) 直线与直线平行， 则有； (2) 直线与直线平行， 则有； (3) 三条直线，，相交于同一点， 联立解得，代入可得， 综上，实数m的取值集合为， 故答案为: . 4．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 【答案】(1) (2)当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 【难度】0.65 【知识点】由斜率判断两条直线平行、三线能围成三角形的问题、求直线交点坐标 【分析】（1）分别求出各自与轴的交点与两条直线的交点求解即可； （2）分斜率相同的情况和不同的情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，和，解得：和， 与轴的交点，与轴的交点， 联立，解得：， 与的交点， ，点到轴的垂直距离为：， ； （2）解：若两直线平行或重合，则斜率相等， 的斜率为：，的斜率为：， ，解得：或， 当时，，，两直线重合； 当时，，，两直线平行； 故当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 5．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由直线的交点坐标求参数、三线能围成三角形的问题、求直线交点坐标 【分析】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；    （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【详解】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为. 题型五：直线交点系方程及应用 1．（24-25高三上·江苏·阶段检测）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】直线交点系方程及应用、由两条直线垂直求方程 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 2．求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】直线交点系方程及应用、直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【详解】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 3．已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 【答案】(1)，且，且 (2) 【难度】0.65 【知识点】由直线交点的个数求参数、直线过定点问题 【分析】（1）由求解； （2）过定点，又因为也经过点，代入求解，要注意检验． 【详解】（1）依题意，得， 得， 得，且，且． （2）， 得，得， 得过定点，又因为也经过点， 得，得． 当时，与重合，故舍去， 故． 4．已知直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为2． (1)求直线的斜率； (2)已知直线，求直线与的交点坐标． 【答案】(1)． (2) 【难度】0.85 【知识点】三线能围成三角形的问题、求直线交点坐标 【分析】（1）易知直线斜率为负即可得，得出与坐标轴交点坐标解得，可得结果； （2）由（1）得，联立两直线方程即可解得交点坐标. 【详解】（1）易知直线斜率为负，可得，令，可得， 令0，可得， 所以，解得， 所以直线的斜率为． （2）由（1）得， 联立，解得， 所以直线与的交点坐标为 5．已知两直线和的交点为P．求： (1)过点P与的直线方程； (2)过点P且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线交点系方程及应用、由两条直线平行求方程 【分析】（1）设出过直线和交点的直线方程，把点代入方程求出参数，再化简即可求出所求直线. （2）由两直线平行的性质，列方程求出对应的参数，再化简即可求出所求直线. 【详解】（1）设过直线和交点的直线方程为，即．① 把点代入方程①，化简得，解得， 所以过点P与Q的直线方程为，即． （2）由两直线平行，得，得， 所以所求直线的方程为，即． 6．已知两直线和. （1）判断两直线是否相交，若相交，求出其交点； （2）求过与的交点且斜率为的直线方程. 【答案】（1）两直线相交，两直线交点为；（2）. 【难度】0.85 【知识点】直线交点系方程及应用、直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】（1）利用两直线的斜率即可判定，联立方程即求； （2）利用点斜式即求或设直线系方程即得. 【详解】（1）∵， ∴两直线相交， 联立两直线方程得 解得即两直线交点为. （2）解法一：由点斜式方程可得所求的直线方程为，即. 解法二：显然不是所求方程可设所求直线方程为， 整理得， ∴，∴， 整理得所求直线方程为. 题型六：综合应用 1．直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、直线交点系方程及应用、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，结合基本不等式，即可求解. 【详解】直线，当，得， 即点， 直线，当，得，即点， 且两条直线满足，所以，即， ， ，当时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选：A 2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，已知两直线：和：，定点. (1)若与相交于点，求直线的方程； (2)若恰好是的角平分线所在的直线，是中线所在的直线，求的边所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】（1）先求交点，再求直线的斜率，利用点斜式即可求解； （2）设，又为的中点，得，又在直线上，解出，进而得点坐标，求出，直线的斜率，由解出，进而求解. 【详解】（1）由题意有：，所以， 所以，所以 ，即， 所以直线的方程为： （2）由题意，可设，又为的中点，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 所以， 所以， 又的方程为，所以的斜率为， 因为恰好是的角平分线所在的直线， 所以，即，解得， 所以，即， 所以直线的方程为：. 3．如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为k. (1)用k表示出直线的方程，并求出M、N的坐标； (2)求锯成的的面积的最小值. 【答案】(1)，，. (2). 【难度】0.4 【知识点】三线能围成三角形的问题、基本不等式求和的最小值、求直线交点坐标 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的方程，再联立直线方程组即可求得M、N的坐标； （2）先由题意确定的范围，再利用（1）结论可得到与M到直线的距离，由此得到的面积关于的关系式，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）设直线， 因为直线过点，所以，即， 所以， 又因为，，易得直线，直线， 联立，解得；联立，解得， 故，. （2）因为，，所以，所以， 因为， 设M到直线的距离为d，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以S的最小值为. 4．有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形内一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点的一条直线，将三角板铝成，问：应该如何锯法，即直线斜率为多少时，可使三角板的面积最大？    【答案】, 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】由已知及直线的斜截式方程求、坐标，再由三角形面积公式写出△的面积S，并指出k的取值范围 由面积S的解析式构造函数，并研究函数的单调性，进而求S的最值． 【详解】依题意，直线MN过点且斜率存在，则MN的方程为， ，， 直线OA的方程为，直线AB的方程为， 由知：且，可得或， 由知：且，可得， ，故，， ， ∴，且. 设，， 当时，， ∵， ，，，则，即， 在是增函数， 当时，，即时，． 【点睛】关键点点睛：应用直线的斜截式方程及三角形面积公式写出面积S及k的范围，利用函数的单调性求S的最值. 5．（24-25高二上·辽宁大连·期中）过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线. (1)已知直线，，试问是否存在点Q，使得直线，是定积直线？请说明理由. (2)若O为坐标原点，点P与点M均在第二象限，且点在二次函数的图象上.若直线OP与直线OM是定积直线，直线OP与直线PM是定积直线，直线OM与直线PM是定积直线，求点P的坐标. (3)已知点，直线m与n是定积直线，若m与x轴交于，n与x轴交于点B，直线将分割成面积相等的两个部分，求b的取值范围. 【答案】(1)存在，，理由：显然两直线斜率之积是定值， 根据定义可知Q为两直线交点，由，，可得， 即存在Q使得，是定积直线； (2)； (3) 【难度】0.4 【知识点】已知斜率求参数、已知两点求斜率、直线的斜截式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】（1）根据直线交点结合定义即可解决问题； （2）根据两点斜率公式设点P坐标，结合定义计算解方程组即可； （3）根据条件先求得坐标，从而计算直线方程，利用两直线交点的求法结合三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）设， 则可知， 根据题意有， 即， 所以由， 则，即； （3）因为直线m与n是定积直线，m过，，则， 而，易知为等腰直角三角形，即， 三角形ABC的面积为， 由于直线与x轴的交点为， 由直线将分割为面积相等的两部分，可得， 故，故点M在射线OA上． 设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为． ①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故， 把A、N两点的坐标代入直线，求得．    ②若点M在点O和点A之间，此时，点N在点B和点C之间， 由题意可得三角形NMB的面积等于， 故，即 ，可得，求得 ， 故有．    ③若点M在点A的左侧，则，由点M的横坐标，求得． 设直线和AC的交点为P， 则由求得点P的坐标为， 此时由题意可得，的面积等于，即， 即，化简可得． 由于此时，，． 两边开方可得，，化简可得 ， 故有．    综上的取值范围应是 ， 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 两条直线的交点 题型一 求两条直线的交点坐标 题型二 由两条直线的交点个数，求参数 题型三 由两条直线的交点坐标，求参数 题型四 三线围成三角形的问题 题型五 直线交点系方程及应用 题型六 综合应用 题型一：求两条直线的交点坐标 1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）直线与直线及直线相交于同一点，且为的一个方向向量，则在轴上的截距为（    ） A． B． C．1 D．2 4．（25-26高二上·河北雄安·期中）点为直线和直线的交点，为坐标原点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河北张家口·期中）直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 8．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）直线与直线的交点坐标为________. 9．（24-25高二上·福建莆田·期中）数学家莱昂哈德▪欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的重心、外心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则外接圆的半径______________，顶点的坐标为______________. 10．（24-25高二上·湖南长沙·期中）直线与直线的交点坐标为_______ 题型二：由两条直线的交点个数，求参数 1．若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 3．（24-25高二上·福建泉州·期中）直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 5．（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 6．若直线与直线的交点在直线上，则k的值为______． 7．若直线：与：的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是________. 题型三：由两条直线的交点坐标，求参数 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 4．若直线l：与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知直线经过两直线和的交点，则的值等于______. 6．已知直线与直线的交点位于第四象限，则的取值范围是___________. 题型四：三线围成三角形问题 1．使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 3．已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为______． 4．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 5．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 题型五：直线交点系方程及应用 1．（24-25高三上·江苏·阶段检测）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 2．求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 3．已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 4．已知直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为2． (1)求直线的斜率； (2)已知直线，求直线与的交点坐标． 5．已知两直线和的交点为P．求： (1)过点P与的直线方程； (2)过点P且与直线平行的直线方程． 6．已知两直线和. （1）判断两直线是否相交，若相交，求出其交点； （2）求过与的交点且斜率为的直线方程. 题型六：综合应用 1．直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，已知两直线：和：，定点. (1)若与相交于点，求直线的方程； (2)若恰好是的角平分线所在的直线，是中线所在的直线，求的边所在直线的方程. 3．如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为k. (1)用k表示出直线的方程，并求出M、N的坐标； (2)求锯成的的面积的最小值. 4．有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形内一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点的一条直线，将三角板铝成，问：应该如何锯法，即直线斜率为多少时，可使三角板的面积最大？    5．（24-25高二上·辽宁大连·期中）过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线. (1)已知直线，，试问是否存在点Q，使得直线，是定积直线？请说明理由. (2)若O为坐标原点，点P与点M均在第二象限，且点在二次函数的图象上.若直线OP与直线OM是定积直线，直线OP与直线PM是定积直线，直线OM与直线PM是定积直线，求点P的坐标. (3)已知点，直线m与n是定积直线，若m与x轴交于，n与x轴交于点B，直线将分割成面积相等的两个部分，求b的取值范围. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $