1.5 第2课时 距离公式的综合应用(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

第2课时　距离公式的综合应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.进一步掌握距离公式的应用,初步掌握用坐标法(解析法)研究几何问题. 2.能根据点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式解决相关问题. 题型(一)　坐标法及应用 [例1]　已知在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.求证:AC=BD. 证明:如图所示,建立平面直角坐标系,设A(0,0),B(a,0),C(b,c), 则点D的坐标是(a-b,c). ∴AC==,BD==. 故AC=BD. |思|维|建|模| 　　用坐标法解题时,虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立,但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分,因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”. 　　[针对训练] 1.建立适当的平面直角坐标系,证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 证明:设△ABC是等腰三角形,以底边CA所在直线为x轴, 过顶点B且垂直于CA的直线为y轴,建立平面直角坐标系. 设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则C(-a,0). 直线AB的方程为+=1,即bx+ay-ab=0. 直线BC的方程为+=1,即bx-ay+ab=0. 设底边AC上任意一点为P(t,0)(-a≤t≤a), 则点P到直线AB的距离为PE==, 点P到直线BC的距离为PF==,点A到直线BC的距离为h==. 所以PE+PF=+==h. 因此,等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 题型(二)　与平面图形有关的距离问题 [例2]　已知▱ABCD,A(1,2),B(2,4),C,求: (1)点D的坐标及点A到直线CD的距离; (2)平行四边形ABCD的面积. 解:(1)设点D(x0,y0),则线段BD的中点坐标为,依题意,线段AC的中点坐标为,由平行四边形性质知解得x0=-,y0=3,所以点D的坐标为.直线CD的斜率k==2,直线CD的方程为y-5=2,即2x-y+4=0,所以点A(1,2)到直线CD的距离d==. (2)由(1)知,线段CD的长CD==,所以平行四边形ABCD的面积S=CD·d=×=4. |思|维|建|模| 与三角形、四边形有关的问题要在坐标法解题的大背景下,善于发现、利用几何特征,并借助直线方程、距离公式进行解决. 　　[针对训练] 2.如图,已知▱ABCD的面积为8,A为原点,点B的坐标为(2,-1),点C,D在第一象限. (1)求直线CD的方程; (2)若BC=,求点D的横坐标. 解:(1)因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AB∥CD,所以kCD=kAB=-. 设直线CD的方程为y=-x+m(m>0), 即x+2y-2m=0. 因为▱ABCD的面积为8,AB=, 所以AB与CD的距离为. 易知直线AB的方程为x+2y=0,于是=,解得m=±4.又m>0,所以m=4, 故直线CD的方程为x+2y-8=0. (2)设点D的坐标为(a,b). 因为BC=,所以AD=. 所以解得或 故点D的横坐标为或2. 题型(三)　平行直线间的距离的最值问题 [例3]　两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d.求: (1)d的变化范围; (2)当d取最大值时,两条直线的方程. 解:(1)如图,显然有0<d≤AB. 而AB==3.故所求的d的变化范围为(0,3]. (2)由图可知,当d取最大值时,两直线与AB垂直. 而kAB==,所以所求直线的斜率为-3. 故所求的直线方程分别为y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3), 即3x+y-20=0和3x+y+10=0. |思|维|建|模| 应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义,将“数”转化为“形”,从而利用图形的直观性加以解决. (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题的过程中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况,进而可求出这些量的变化范围. 　　[针对训练] 3.设两条平行直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0.已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0≤c≤,则这两条平行直线之间的距离的最大值为　　　　　.  解析:因为a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,由根与系数的关系可得a+b=-1,ab=c, 所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=1-4c∈. 又两条平行直线间的距离d==,所以≤d≤,所以两条平行直线间距离的最大值为. 答案: [课时检测] 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的△ABC的形状是 (　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰非等边三角形 D.等腰直角三角形 解析:选C　根据两点间的距离公式,得AB==,AC==,BC==3,所以AB=AC≠BC,且AB2+AC2≠BC2,故△ABC是等腰非等边三角形. 2.已知直线l1:mx-y-2m=0,直线l2与l1平行且经过点Q(-1,4),则l1,l2之间距离的最大值是 (　　) A.6 B.5 C.4 D.3 解析:选B　直线l1:mx-y-2m=0,即y=m(x-2),恒过定点A(2,0).显然若直线l2平行于l1且过点Q,则l1,l2之间距离的最大值为AQ==5. 3.已知两条直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则AB的值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　直线3ax-y-2=0经过定点A(0,-2).(2a-1)x+5ay-1=0化为a(2x+5y)-x-1=0,令解得x=-1,y=,即直线(2a-1)x+5ay-1=0过定点B.则AB==. 4.已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上,且线段AB的中点为P,则线段AB的长为 (　　) A.11 B.10 C.9 D.8 解析:选B　因为直线2x-y=0和x+ay=0互相垂直,所以2×=-1,解得a=2.所以线段AB的中点为P(0,5).设A(m,2m),B,则解得所以A(4,8),B(-4,2),所以AB==10. 5.已知点P为x轴上的点,A(-1,2),B(0,3),以A,B,P为顶点的三角形的面积为,则点P的坐标为 (　　) A.(4,0)或(10,0) B.(4,0)或(-10,0) C.(-4,0)或(10,0) D.(-4,0)或(11,0) 解析:选B　根据题意,设点P的坐标为(x0,0),则kAB==1,故直线AB为y-3=x,即x-y+3=0,故P到直线AB上的距离为d==,又因为AB==,所以S△ABC=AB·d=××=,解得x0=4或x0=-10,即点P的坐标为(4,0)或(-10,0). 6.已知直线l:y=k(x-2)+1(k∈R)上存在一点P,满足OP=1,其中O为坐标原点.则实数k的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　因为直线l:y=k(x-2)+1(k∈R)上存在一点P,使得OP=1,所以原点O到直线l的距离小于等于1,即≤1,解得0≤k≤,即实数k的取值范围是. 7.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点距离的最小值为 (　　) A.3 B.2 C. D.4 解析:选A　由题意,知点M在直线l1与l2之间且与两条直线距离相等的直线上,设该直线方程为x+y+c=0,则=,即c=-6,∴点M在直线x+y-6=0上,∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即=3. 8.(5分)如图,在△ABC中,A(5,-2),B(7,4),且AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,则点C的坐标为　　　　,AC=　　　　.  解析:设C(x,y),由题意得解得所以点C的坐标是(-5,-4),AC==2. 答案:(-5,-4)　2 9.(5分)经过两条直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点,且和原点相距为1的直线的条数为　　　　.  解析:设所求直线l的方程为x+3y-10+λ(3x-y)=0,即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0.因为原点到直线的距离d==1,所以λ=±3,即直线方程为x-1=0或4x-3y+5=0,所以所求直线的条数为2. 答案:2 10.(5分)若某直线被两条平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则该直线的倾斜角大小为　　　　.  解析:由两条平行直线的距离公式,可得直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0的距离为d==.又直线被两条平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,即该直线与直线l1所成角为30°,又直线l1的倾斜角为45°,则该直线的倾斜角大小为15°或75°. 答案:15°或75° 11.(5分)已知点A(-,0),B(cos α,sin α)且AB=2,则α的一个值为　　　　.(写出符合题意的一个答案即可)  解析:根据两点间的距离公式,得=2,即sin2α+cos2α+3+2cos α=4,即cos α=0,所以α可以为. 答案: 12.(5分)如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形面积为4,则l2的方程为　　　　　　.  解析:设l2的方程为y=-x+b(b>1),则题图中A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b),所以AD=,BC=b,梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离,故h==(b>1),由梯形面积公式得×=4,所以b2=9,b=±3.但b>1,所以b=3,从而得到直线l2的方程为x+y-3=0. 答案:x+y-3=0 13.(10分)已知△ABC的顶点坐标为A(0,5),B(1,-2),C(-5,4). (1)求△ABC的BC边上的高所在直线的方程;(4分) (2)求直线AB的方程及△ABC的面积.(6分) 解:(1)根据两点的斜率公式,可得kBC==-1,根据两条直线垂直时的斜率关系可知,所求直线的斜率为1,而高线经过点A(0,5),由直线斜截式方程得y-5=x, 故所求直线的方程是x-y+5=0. (2)根据两点的斜率公式,可得kAB==-7,又因为经过点A(0,5),所以由直线斜截式方程得y-5=-7x,故直线AB的方程是7x+y-5=0,由两点间距离公式可得AB==5,由点到直线距离公式,可得点C到AB的距离是d==,所以△ABC的面积是S△ABC=×5×=18. 14.(10分)如图,正方形ABCD中,在BC上任取一点P(点P不与B,C重合),过点P作AP的垂线PQ交角C的外角平分线于点Q.用坐标法证明:AP=PQ. 证明:以B为原点,射线BC,BA分别为x,y轴的正半轴建立平面直角坐标系.如图所示,设正方形的边长为a,则A(0,a),C(a,0),设点P的坐标为(t,0)(0<t<a).kAP=-,lPQ:y=(x-t)　①, lCQ:y=x-a　②. 联立①②可得Q(a+t,t)(或利用三角形全等求得点Q坐标). ∵AP=,PQ=,∴AP=PQ. 15.(15分)已知直线l1:mx+y-m-2=0,l2:3x+4y-n=0. (1)求直线l1的定点P,并求出直线l2的方程,使得定点P到直线l2的距离为;(7分) (2)过点P引直线l分别交x,y轴正半轴于A,B两点,求使得△AOB面积最小时,直线l的方程.(8分) 解:(1)直线l1:mx+y-m-2=0, 即m(x-1)+y-2=0,令x-1=0,解得x=1,y=2,可得直线l1的定点P(1,2). ∵定点P(1,2)到直线l2:3x+4y-n=0的距离为=,∴n=3或n=19,故直线l2:3x+4y-3=0或3x+4y-19=0. (2)设过点P引直线l分别交x,y轴正半轴于A,B两点,设A(a,0),B(0,b),则P,A,B三点共线,=,∴ab=2a+b≥2, 令t=ab>0,则有t2-8t≥0,解得t<0(舍去)或t≥8,∴t的最小值为8.∴△AOB面积为ab最小值为4,此时a=2,b=4,直线l的斜率为-2,直线l的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0. 1 / 94 学科网（北京）股份有限公司 $$