专题2.5 距离公式（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学距离公式核心知识点，系统梳理两点间距离、点到直线距离、平行直线间距离公式，构建从基础公式到对称关系（点关于点、直线，直线关于点、直线）再到最值问题（如将军饮马、光线反射）的学习支架，形成完整知识脉络。 该资料亮点在于题型丰富（11类）且变式训练结合实例，如“将军饮马”引用唐诗情境，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过对称问题推理训练数学思维，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化应用意识与实践能力。

专题2.5 距离公式（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 求平面两点间的距离】 1 【题型2 点到直线的距离问题】 3 【题型3 两条平行直线间的距离问题】 5 【题型4 与距离有关的最值问题】 6 【题型5 直线关于点的对称问题】 10 【题型6 求点关于直线的对称点】 12 【题型7 求两点的对称轴】 13 【题型8 直线关于直线的对称问题】 15 【题型9 光线反射问题】 18 【题型10 将军饮马问题】 22 【题型11 对称关系中的最值问题】 25 考点1 两点间的距离公式 知识点1 两点间的距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 【题型1 求平面两点间的距离】 【例1】（25-26高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【解题思路】利用两点之间的距离公式计算即得. 【解答过程】点和点之间的距离为. 故选：D. 【变式1.1】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【答案】C 【解题思路】利用两点间的距离公式求解即可. 【解答过程】因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意求出中点坐标，根据两点间距离公式求得中线长. 【解答过程】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. 故选：B. 【变式1.3】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【解题思路】先求出两条直线的定点，再根据两点之间的距离公式求解即可. 【解答过程】直线过定点， 直线过定点， 则 故选：A. 考点2 点到直线的距离 知识点2 点到直线的距离 1．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 2．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 3．中点坐标公式 公式：设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型2 点到直线的距离问题】 【例2】（25-26高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解题思路】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【解答过程】由题意有：点到直线的距离为. 故选：D. 【变式2.1】（25-26高二上·湖北·期中）若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】利用点到直线的距离求解. 【解答过程】，，直线， 到直线的距离为， 到直线的距离为， ，两点到直线的距离相等， ，， 或，或. 故选：C. 【变式2.2】（25-26高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将条件代入点斜式方程，化简变形，即可得答案. （2）将方程变形为，可得B点坐标，代入点到直线距离公式，即可得答案. 【解答过程】（1）因为直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程为，化为一般式方程为. （2）直线的方程可化为， 令，则，解得，即点， 所以点到直线的距离为. 【变式2.3】（25-26高二上·江西景德镇·期中）在中，. (1)求边上的高的方程； (2)若直线经过点，且到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）先求直线的斜率，进而得，再根据点斜式方程求解即可； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况分别讨论求解即可; 【解答过程】（1）解：∵， ∴， ∴边上的高的斜率为， ∴边上的高的方程为，即 （2）解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时两点到直线的距离相等，且等于，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， ∵到直线的距离相等， ∴，即，解得， ∴直线的方程为， 综上，直线的方程为或. 【题型3 两条平行直线间的距离问题】 【例3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先将直线方程化为与方程形式相同的方程，再利用两平行直线间的距离公式计算. 【解答过程】直线的方程可化为，， 故直线与间的距离. 故选：D. 【变式3.1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）若两直线与间的距离为，则（    ） A．1 B．7 C．1或 D．或7 【答案】C 【解题思路】根据两平行线直线之间的距离公式计算即可求解. 【解答过程】由题意知，， 所以两直线间的距离为，解得或. 故选：C. 【变式3.2】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知两条平行直线，则和间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由两直线平行确定，再由平行线间距离公式求解即可； 【解答过程】因为平行， 可得， 则， 所以和间的距离为， 故选：D. 【变式3.3】（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线与直线平行，直线l到的距离与l到的距离相等，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据直线平行求出，设出直线，根据直线l到的距离与l到的距离相等列出等式解出，进而求出答案. 【解答过程】因为直线与直线平行， 所以，解得，故直线， 而直线可以写成，设直线， 因为直线l到的距离与l到的距离相等，所以，解得， 故直线，即直线l的方程为. 故选：D. 【题型4 与距离有关的最值问题】 【例4】（25-26高二上·天津静海·期中）点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先求出直线过定点坐标，记点，点，求出，即可得解. 【解答过程】直线，即， 令，解得，所以直线恒过点， 不妨记点，点， 又，， 当直线与垂直时点到直线的最大距离，最大距离为， 此时，解得，符合题意； 故选：B. 【变式4.1】（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【解答过程】由， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：D. 【变式4.2】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 【答案】D 【解题思路】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离，而点满足直线方程，因此问题转化为：求点到直线 的距离. 【解答过程】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离， 而点满足直线方程， 而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点到直线的距离， 因此， 的最小值为. 故选：D. 【变式4.3】（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【解答过程】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 考点3 点、线间的对称关系 知识点3 关于点的对称 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 知识点4 关于直线对称 1．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 2．直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 【题型5 直线关于点的对称问题】 【例5】（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【解答过程】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 【变式5.1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【解题思路】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【解答过程】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B. 【变式5.2】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【解答过程】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C. 【变式5.3】（25-26高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果. 【解答过程】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选：D. 【题型6 求点关于直线的对称点】 【例6】（25-26高二上·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设对称点的坐标为，根据点关于直线对称列式求解即可. 【解答过程】设对称点的坐标为， 由题意可得，得， 所以对称点的坐标为. 故选：C. 【变式6.1】（25-26高二上·河南南阳·期中）点关于直线的对称点为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设对称点为，由，即可求解. 【解答过程】设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即. 故选：A. 【变式6.2】（25-26高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设对称点的坐标为，由题意可得，求解即可. 【解答过程】设对称点的坐标为， 由题意可得，解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 故选：C. 【变式6.3】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先设对称点坐标，再利用两个核心条件列方程：一是两点中点在已知直线上，代入得关于对称点坐标的方程；二是两点连线与已知直线垂直，由斜率乘积为-1得另一方程,联立方程组求解，最终得对称点为. 【解答过程】设点关于直线的对称点为， 直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1， 所以的斜率为-1，即，化简得， 又的中点在直线上，代入得 ，化简得，联立和， 解得故对称点为. 故选：B. 【题型7 求两点的对称轴】 【例7】（25-26高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【解答过程】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 【变式7.1】（25-26高一下·河北保定·期末）若点，关于直线l对称，则l的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据A，B关于直线l对称，直线l经过AB中点且直线l和AB垂直，可得l的方程. 【解答过程】由题意可知AB中点坐标是， ， 因为A，B关于直线l对称， 所以直线l经过AB中点且直线l和AB垂直， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为， 即， 故选：A. 【变式7.2】（25-26高二上·重庆渝中·阶段检测）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【解题思路】根据两点关于直线对称，利用斜率关系求直线斜率，再由中点在直线上得解. 【解答过程】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而， 又线段的中点在上，故，解得. 故选：D. 【变式7.3】（25-26高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意直线为线段的中垂线，先求出直线的斜率及中点坐标，再根据两直线垂直的性质得到直线的斜率，最后利用点斜式求出方程，化简即可得出. 【解答过程】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 故选：D. 【题型8 直线关于直线的对称问题】 【例8】（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【解答过程】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 【变式8.1】（25-26高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【解答过程】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B. 【变式8.2】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求直线与的交点，再求直线上关于的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可； （2）分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【解答过程】（1）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得，即．     由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为，化简为． （2）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为，则所求直线方程为，即． 【变式8.3】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解. （2）根据所求直线过已知两直线的交点，以及上的任一点关于对称的点在所求直线上即可求解. 【解答过程】（1）因为直线：与：平行，所以， 又两条平行直线：与：之间的距离是， 所以解得或（舍去）， 即直线：，：， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则，解得或7（舍去）， 故所求直线方程为， （2）设直线关于直线对称的直线为， 由，解得，所以直线经过点， 在上取一点关于对称的点设为， 则有，解得，所以直线经过点， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即：. 【题型9 光线反射问题】 【例9】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出入射点坐标，以及关于直线对称的点的坐标，再根据反射光线经过所求两点即可求解反射光线所在直线方程． 【解答过程】入射光线所在直线的方程为，即， 由解得，即入射点的坐标为， 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为，即． 故选：B． 【变式9.1】（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解. 【解答过程】因为，所以, 建立平面直角坐标系如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点， 设，则    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 得，， 则， 故的周长等于， 故选：C. 【变式9.2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知点，直线. (1)求过点，且与直线垂直的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1)： (2) 【解题思路】（1）设直线：，将点代入直线，即可解出答案； （2）先求出点关于直线的对称点，再由两点式写出反射光线. 【解答过程】（1）因为直线垂直于直线，直线 所以设直线：， 将点代入直线：， 所以直线：. （2）设点关于直线的对称点为，则 所以， 所以反射光线:， 化简得：. 【变式9.3】（25-26高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分离参数，列方程可得直线过定点； （2）分别求点关于直线与的对称点与，进而可得，再根据对称性可得，即可得直线方程. 【解答过程】（1）由直线：，即， 令，解得， 故直线恒过定点； （2）设关于的对称点，则， 关于的对称点， 由直线的方程为，即， 所以，解得， 所以， 由题意得、、、四点共线，， 由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 【题型10 将军饮马问题】 【例10】（25-26高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】作点关于直线的对称点为，则最短路程为.根据点关于 直线的对称问题，列方程组，可求得，再应用两点间的距离公式求即可. 【解答过程】如图，作点关于直线的对称点为，    则，解得， 所以. 则“将军饮马”的最短总路程为. 故选：C. 【变式10.1】（25-26高二上·上海奉贤·阶段检测）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【答案】B 【解题思路】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 三点共线满足题意，其中点为点关于直线的对称点，对于A，由根据被垂直平分求出的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可. 【解答过程】如图所示： 由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为， 三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确； 对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确； 对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误. 故选：B. 【变式10.2】（25-26高二上·新疆塔城·阶段检测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】4 【解题思路】利用“将军饮马”模型，应用点关于直线对称求对称点，再由两点距离最短求最短总路程. 【解答过程】如图，    设点关于直线对称的点为， 则，解得， 则“将军饮马”的最短总路程为． 故答案为：4. 【变式10.3】（25-26高二上·吉林长春·期末）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,怎样走才能使总路程最短?在平面角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从处出发,河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】 【解题思路】首先利用点关于线的对称求出点,进一步利用两点间的距离公式的应用求出的长． 【解答过程】设军营所在位置为， 若将军从处出发，河岸线所在直线方程为， 故点关于对称点的坐标， 所以，解得；即． 设直线上任一点N，，即当且仅当Q，N，三点共线时取最小值， 即． 即“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：. 【题型11 对称关系中的最值问题】 【例11】（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】作出点关于直线的对称点为，数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【解答过程】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D.    【变式11.1】（25-26高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】求出点所在直线方程，再求关于直线的对称点，转化为求的最小值即可得解. 【解答过程】如图，在直线上， 设点关于直线的对称点为，设所在直线为， 代入点，可得，解得，故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点为，则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为，所以的最小值是. 故选：B.    【变式11.2】（25-26高二上·四川宜宾·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线上运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用过两直线交点的直线系求解； （2）求出点关于直线的对称点，则即为所求. 【解答过程】（1）设所求直线方程为，即， 由其与直线垂直可得，解得， 所以所求直线方程为，化简得：. （2）因为，所以两点在直线同侧， 由已知可知， 设点关于直线的对称点为，则，解得， 即，因为，所以， 当且仅当动点位于与交点时取等号， 所以的最小值为. 【变式11.3】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. (1)分别求顶点，的坐标； (2)求的面积； (3)若为直线：上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 【答案】(1)， (2)39 (3)， 【解题思路】(1)根据点在直线上，结合中点坐标公式与斜率关系，即可联立方程求解， （2）根据两点距离公式以及点到直线的距离公式求解底边长和高，即可由面积公式求解， （3）求解点关于直线的对称点，结合三角形的三边关系即可求解最值，进而联立方程求解交点坐标. 【解答过程】（1）设.因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以解得即点的坐标为. 设.因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以解得即点的坐标为. （2）因为，，所以. 因为边所在直线的方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为 故的面积为. （3）设点关于直线的对称点为， 则解得即. 因为，所以当，，三点共线时，取得最大值，所以的最大值为. 由，，可得直线的方程为，即 由解得即当取得最大值时，点的坐标为.    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 距离公式（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 求平面两点间的距离】 1 【题型2 点到直线的距离问题】 2 【题型3 两条平行直线间的距离问题】 3 【题型4 与距离有关的最值问题】 3 【题型5 直线关于点的对称问题】 6 【题型6 求点关于直线的对称点】 6 【题型7 求两点的对称轴】 7 【题型8 直线关于直线的对称问题】 7 【题型9 光线反射问题】 8 【题型10 将军饮马问题】 9 【题型11 对称关系中的最值问题】 10 考点1 两点间的距离公式 知识点1 两点间的距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 【题型1 求平面两点间的距离】 【例1】（25-26高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【变式1.1】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【变式1-2】（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 考点2 点到直线的距离 知识点2 点到直线的距离 1．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 2．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 3．中点坐标公式 公式：设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型2 点到直线的距离问题】 【例2】（25-26高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【变式2.1】（25-26高二上·湖北·期中）若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2.2】（25-26高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【变式2.3】（25-26高二上·江西景德镇·期中）在中，. (1)求边上的高的方程； (2)若直线经过点，且到直线的距离相等，求直线的方程. 【题型3 两条平行直线间的距离问题】 【例3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）若两直线与间的距离为，则（    ） A．1 B．7 C．1或 D．或7 【变式3.2】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知两条平行直线，则和间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线与直线平行，直线l到的距离与l到的距离相等，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型4 与距离有关的最值问题】 【例4】（25-26高二上·天津静海·期中）点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式4.2】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 【变式4.3】（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 考点3 点、线间的对称关系 知识点3 关于点的对称 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 知识点4 关于直线对称 1．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 2．直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 【题型5 直线关于点的对称问题】 【例5】（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【变式5.2】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【变式5.3】（25-26高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型6 求点关于直线的对称点】 【例6】（25-26高二上·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（25-26高二上·河南南阳·期中）点关于直线的对称点为（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（25-26高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6.3】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型7 求两点的对称轴】 【例7】（25-26高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（25-26高一下·河北保定·期末）若点，关于直线l对称，则l的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式7.2】（25-26高二上·重庆渝中·阶段检测）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【变式7.3】（25-26高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型8 直线关于直线的对称问题】 【例8】（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（25-26高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8.2】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 【变式8.3】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 【题型9 光线反射问题】 【例9】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9.1】（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【变式9.2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知点，直线. (1)求过点，且与直线垂直的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 【变式9.3】（25-26高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【题型10 将军饮马问题】 【例10】（25-26高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【变式10.1】（25-26高二上·上海奉贤·阶段检测）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【变式10.2】（25-26高二上·新疆塔城·阶段检测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【变式10.3】（25-26高二上·吉林长春·期末）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,怎样走才能使总路程最短?在平面角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从处出发,河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【题型11 对称关系中的最值问题】 【例11】（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式11.1】（25-26高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 【变式11.2】（25-26高二上·四川宜宾·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线上运动，求的最小值. 【变式11.3】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. (1)分别求顶点，的坐标； (2)求的面积； (3)若为直线：上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $