第06讲 空间向量的应用（二）：用空间向量研究距离、夹角问题（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第06讲 空间向量的应用（二）：用空间向量研究距离、夹角问题（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 用空间向量研究距离问题 我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等.如何用空间向量解决这些距离问题呢？下面我们先研究用向量方法求直线l外一点P到直线l的距离. 【知识点1 用空间向量研究空间距离】 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面α的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为. 【题型1 点到平面距离的向量求法】 【例1】（25-26高二上·山东泰安·期末）在空间直角坐标系中，已知点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据点到平面距离公式，直接求出结果即可. 【解答过程】已知点，则， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高二上·天津和平·期末）已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则点P到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据点到平面距离公式计算求解. 【解答过程】点在平面内，点在平面外，则， 则点P到平面的距离为. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·广东广州·期末）我国古代数学名著《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”若由棱长为1的正方体斜解得到堑堵，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立空间直角坐标系，将问题转化为点到平面的距离，利用向量法求解可得. 【解答过程】如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 因为，且平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，取，得，则， 又，所以直线到平面的距离为. 故选：B.    【变式1-3】（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面， ，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用空间关系可证明线面垂直，从而可建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即可用空间向量法求出点到平面的距离. 【解答过程】由取的中点为，连接，则， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又因为，所以可如图建立空间直角坐标系：    由，则， 可得：， 又因为为的中点，所以， 即， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点到平面的距离为， 故选：A. 【题型2 平行平面距离的向量求法】 【例2】（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【解答过程】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量， 两平面间的距离. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离 ， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二上·全国·单元测试）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为__________. 【答案】 【解题思路】 由已知得，设向量与向量都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平行平面的距离公式计算可得结果. 【解答过程】由已知得，，， 设向量与向量都垂直，则， 即取，则， 又平面平面，所以平面与平面间的距离. 故答案为：. 【变式2-3】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【答案】2 【解题思路】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【解答过程】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2. 【题型3 点到直线距离的向量求法】 【例3】（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知空间内三点，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量数量积的坐标表示求出，利用同角三角函数的关系求出，结合计算即可求解. 【解答过程】空间内三点，，，， 因为， 由， 所以， 所以点到直线的距离. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高二上·广东深圳·期末）在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的单位方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【解答过程】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 所以直线的单位方向向量为， 所以点到直线的距离为. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高二上·辽宁大连·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线的距离为__________. 【答案】 【解题思路】利用点到直线的距离的向量公式即可求解. 【解答过程】已知，，， 则，，， 所以点到直线的距离为： . 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高二上·四川泸州·期末）在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是__________． 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量法求得点D到直线EF的距离. 【解答过程】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP. 由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直， 则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 因为，，所以，， 则， 所以， 则点到直线的距离是. 故答案为：. 【题型4 异面直线距离的向量求法】 【例4】（25-26高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积即可得解. 【解答过程】分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，E为AB的中点， 则，，，， 则，， 设与DE的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，则， 又， 所以异面直线与DE之间的距离为. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【解答过程】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 【变式4-2】（2026高二·陕西·专题练习）在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是__________. 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间距离的向量求法，即可求得答案. 【解答过程】以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，    则， 则， 设与异面直线和都垂直的向量为， 则，令，则， 又，故异面直线和间的距离是， 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高二下·甘肃武威·期末）已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为__________． 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与间的距离. 【解答过程】因平面，且平面，故， 又，故可以为坐标原点，以所在直线 分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，， 所以，令，则. 设异面直线与之间的距离为d， 则 . 故答案为：. 模块三 用空间向量研究空间角问题 【知识点2 用空间向量研究空间角】 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【题型5 向量法求异面直线所成的角】 【例5】（25-26高三上·河北邢台·期末）如图，在长方体中，，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先建立空间直角坐标系，然后列出，的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出异面直线与所成角的余弦值即可. 【解答过程】因为，所以与所成的角即或其补角. 设，以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立 如图所示空间直角坐标系， 则，，， 所以的中点，，， ，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 【变式5-1】（2026高二上·河南鹤壁·专题练习）如图，已知正三棱柱的棱长均为，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得和的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【解答过程】以的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正三棱柱的棱长均为， 可得， 所以，可得， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高二上·安徽六安·期末）我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用异面直线夹角的向量求法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【解答过程】如图，作，以为原点，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，， 因为，分别为，的中点，所以由中点坐标公式得，， 则，，设异面直线与所成角为， 可得，而，则， 由同角三角函数的基本关系得，解得（负根舍去）， 则异面直线与所成角的正弦值为，故C正确. 故选：C. 【变式5-3】（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A．30° B．45° C． D．75° 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，分别求得两直线的方向向量，即可根据向量的夹角求解. 【解答过程】由于，，故均为等边三角形， 不妨设， ，， 则，即，则， ，， 又，平面 平面， 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 可得， 设异面直线与所成角为，而故, 由于，故， 故选：A. 【题型6 向量法求线面角】 【例6】（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在长方体中，， ，那么直线与平面所成的角的余弦值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间向量的余弦公式计算求解. 【解答过程】以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线与平面所成的角为，则， . 故选：B. 【变式6-1】（25-26高二上·山西·期中）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先利用空间向量法求得直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数关系即得解. 【解答过程】记，， 则直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线与平面所成角的余弦值为 故选：D. 【变式6-2】（25-26高二上·浙江宁波·期末）在三棱锥中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设中点为，连接， 先证平面，再以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角即可． 【解答过程】设中点为，连接， 不妨设， ，， ， ，， ，则， 又， ， 平面， 平面， 故以为原点建立空间直接坐标系， 则， 设平面的一个法向量， ，不妨取，则， ， 设直线与平面所成角为， ． 故选：D． 【变式6-3】（25-26高二上·四川达州·期末）在直三棱柱中，，，，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可. 【解答过程】在直三棱柱中，可得平面， 因为，所以， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，， 因为E为的中点，所以由中点坐标公式得， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，解得，， 故，设与平面所成角为， 则，故D正确. 故选：D. 【题型7 向量法求二面角】 【例7】（25-26高二上·广东汕头·期末）锐二面角两平面的法向量分别为，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用二面角的向量求法，代入计算即可求得答案. 【解答过程】因为二面角的法向量分别为，， 设所求二面角的大小为， 则， 因为二面角是锐角，所以该二面角的余弦值， 故选：A. 【变式7-1】（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，分别是，的中点，点在平面内，，若平面，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，写出点坐标得到向量坐标，由空间向量的数量积求出平面法向量，由平面法向量通过空间向量的数量积求得面面角的余弦值. 【解答过程】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，. 设平面的法向量为， 则令，得. 取平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高二上·湖南岳阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）连接交于点，根据题意可得，结合线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，结合面面夹角余弦公式求解即可. 【解答过程】（1）证明：连接交于点，连接， 因为为菱形，则为的中点， 又因为为的中点，在三角形中，， 且平面，平面， 所以平面． （2）建立如图所示坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面法向量， 则，令，则 设平面法向量， 则，令，则 设平面与平面夹角， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【变式7-3】（25-26高二上·湖南怀化·期末）如图1，在直角梯形中， ，，点D为PC的中点．将绕AD翻折使得（如图2所示）构成一个四棱锥，此时棱PC的中点记为E．在四棱锥中， (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据中位线得出，再应用线面平行判定定理证明； （2）先求出平面与平面的法向量，再应用二面角的余弦公式计算求解. 【解答过程】（1）如图所示，连接交于点F，连接． 因为在四边形中，，且， 所以四边形是正方形．所以点F是的中点， 又因为点E是的中点，所以在中，． 而平面，平面，故平面 （2）由（1）可知四边形是正方形，所以． 又因为，，所以， 所以  ，而由题意知 ， 且平面， 所以可得平面． 以分别为轴建立空间直角坐标系，得 所以． 设平面的法向量， 由，得，取． 设平面的法向量， 由，得，取． 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角大小为． 【题型8 利用空间向量研究探索性问题】 【例8】（25-26高二上·北京·期中）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，错误的是（    ）    A．存在点∥平面 B．对任意点 C．存在点，使得与所成的角是 D．不存在点，使得与平面所成的角是 【答案】D 【解题思路】设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解.选项A，取平面的一个法向量，将∥平面平面转化为；选项B，转化为；选项C，与所成的角是转化为；选项D，由平面，结合选项C可知. 【解答过程】设正方体的棱长为1，以点为坐标原点， 以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则 ， 设，又， ∴，又， 则， ∴， 选项A，取平面的一个法向量， 令，解得，此时， ∴当时，与垂直，而平面， 故∥平面，故A项正确； 选项B，， 则， 故对任意点，故B项正确； 选项C，，则， 令， 化简得，解得，或， 故存在点，使得与所成的角是，故C项正确； 选项D，连接， 在正方体中， 由底面是正方形，则， 由平面，平面，则， 又平面，平面，， 则平面，即是平面的一个法向量， 由C项分析可知，存在点，使得与所成的角是， 即存在点，使得与平面所成的角是，故D项错误. 故选：D. 【变式8-1】（25-26高二下·上海杨浦·期末）如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论： ①存在点满足； ②存在点满足与平面所成角的大小为； ③存在点满足； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法一一计算可得. 【解答过程】如图建立平面直角坐标系，则，，，， 设，，则， 若，则，解得， 所以存在点满足，故①正确； 因为，，设平面的法向量为， 则，取， 设与平面所成角为，， 则， 令，，则，所以， 令，，则，所以， 所以存在点满足与平面所成角的大小为，故②正确； 因为，， 所以，所以， 所以存在点满足，故③正确. 故选：D. 【变式8-2】（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图，在多面体中，平面平面，，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解题思路】（1）先由余弦定理求解得出，再应用面面垂直性质定理证明； （2）建立空间直角坐标系，设，分别求出平面与平面的法向量，最后计算二面角余弦值列式求解参数即可. 【解答过程】（1）因为，所以四边形为平行四边形. 因为，，所以，，又， 由余弦定理得， 则，因此； 又平面平面，平面平面，平面， 因此平面. （2）由（1）平面， 又因为，所以直线，，两两垂直， 以点为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 由是平行四边形，得，则. 设平面的法向量， 则取，得， 假设线段上存在一点， 使得平面与平面的夹角的余弦值为， ，，，， 设，则， 设平面的法向量， 则取，得， 设平面与平面的夹角为， 则， 而，解得， 所以存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为， 此时. 【变式8-3】（25-26高二上·云南昆明·期末）如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，是的中点． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)在线段上存在点，或. 【解题思路】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）由直线两两垂直建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的余弦值. （3）设，求出和平面的法向量，利用线面角的夹角公式建立方程求解. 【解答过程】（1）由，M是的中点，得， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以. （2）在菱形中，由，得是正三角形，则， 由（1）知平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 则，令，得，而平面的法向量， ，显然二面角的大小为锐角， 所以二面角的余弦值为. （3）假设在线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为， ，设， 则，而， 设平面的法向量，则， 令，得， 因此，解得或， 所以在线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，且或. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】根据空间向量的数量积计算即可. 【解答过程】因为点，，， 所以，所以. 所以点到直线的距离为. 故选：A. 2．（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，由异面直线向量法计算即可求解. 【解答过程】设正方体棱长为，以为原点，为 轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，. 由题意可得，． ， ， 所以， 即异面直线和所成角的余弦值为. 故选：C． 3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解题思路】由向量法求点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】由题， 所以点到直线的距离为. 故选：D． 4．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）如图，四边形是矩形，，，平面，，，则和平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意建立空间直角坐标系，得到的坐标及平面的法向量，根据向量的数量积可得向量夹角的余弦值，进而得结果. 【解答过程】因为平面，平面， 所以， 又，所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，可得， 所以， 设和平面所成角为， 则，即和平面所成角的正弦值为. 故选：C. 5．（25-26高二上·河南洛阳·期末）如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则直线到平面的距离为（   ）    A． B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面，则直线到平面的距离即为点到平面的距离，再由点到面的距离公式计算可得. 【解答过程】在直三棱柱中，， 如图建立空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得； 由，得，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离. 故选：A. 6．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知：空间中，过点且一个法向量为的平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知得出平面的一个法向量，再得出相交于直线的两个平面的法向量，由这两个法向量求出直线的方向向量，由平面的法向量与直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值得线面角的正弦值． 【解答过程】由题意知平面的一个法向量是， 平面与的法向量分别是， 设直线的一个方向向量为， 则，所以，取，得， 所以， 故直线l与平面所成角的正弦值为. 故选：A． 7．（25-26高二上·福建泉州·期末）在四棱锥中，侧面OAB是正三角形，底面ABCD是矩形，二面角为直二面角.若，则平面OAB与平面OCD的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量后再用向量法计算二面角的余弦值. 【解答过程】    因为底面是矩形，所以， 因为二面角为直二面角， 以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以过点作平面ABCD的垂线为轴，建立如上所示空间直角坐标系； 设，则； 其中，，，，， ，； 设平面的法向量为， 则， 令，则，； 显然，平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则 故选：. 8．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）如图，正方体的棱长为1，为棱的中点，点在面对角线上运动（点异于点），以下说法错误的是（   ） A．平面 B． C．二面角的余弦值为 D．点到面的距离为 【答案】C 【解题思路】根据中位线的性质，可证，根据线面平行的判定定理，即可判断A的正误；根据线面垂直的性质定理，可证，同理可证，根据线面垂直的判定定理，可证平面，进而判断B的正误；如图建系，求得各点坐标，根据二面角的向量求法，判断C的正误；分析可得点P到平面的距离不变，不妨令P为的中点，可得点P坐标，根据点到平面距离的向量求法，即可判断D的正误. 【解答过程】选项A：连接，交于点O，连接，如图所示， 因为分别为，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，故A正确； 选项B：连接，因为点在面对角线上运动， 所以平面， 连接，因为正方体， 所以，平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以，同理可证， 又平面， 所以平面， 又平面，所以，故B正确； 选项C：以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 因为平面ABCD， 所以为平面ABCD的法向量，即为平面ABC的法向量， 所以， 由图象得，二面角为钝二面角， 所以二面角的余弦值为，故C错误； 选项D：因为正方体， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为点在面对角线上运动， 所以点P到平面的距离不变，不妨令P为的中点，即， 所以， 所以点到面的距离，故D正确； 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面距离公式求出到平面的距离范围即可. 【解答过程】在棱长为2的正方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量为， 则，取，得，而， 因此到平面的距离， 而，所以AD不是，BC可以是. 故选：BC. 10．（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图 1，长方形中，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图2，满足平面平面，则下列选项正确的是（    ） A． B．与所成角为30° C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角为 【答案】ACD 【解题思路】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间角的向量求法求解判断BD；利用空间距离的向量求法求解判断D. 【解答过程】取中点，连接，由，得，则， 而平面平面，平面平面，平面， 因此平面，在平面内过作，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，设和所成角为，， 因此，B错误； 对于C，，设平面的法向量，则， 取，得，，点到平面的距离为，C正确； 对于D，令直线与平面所成角为，则，因此，D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高二上·江苏·期末）（多选题）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（   ） A．直线MN与所成角的大小为 B． C．若P为中点，则平面AMP与平面ABC所成角的余弦值为 D．点到平面距离的最大值为 【答案】BCD 【解题思路】建立空间直角坐标系，应用向量法求直线与直线所成角、判断位置关系、求平面与平面所成角的余弦值、结合参数范围求点到平面距离的最值. 【解答过程】由题设建立如下图示空间直角坐标系， 则， 所以，，，， 则，显然直线MN与所成角不为，A选项错误； 又，故，B选项正确； 由，，若为平面AMP的一个法向量， 则，令，则， 由平面的一个法向量为，，所以， 设平面与平面所成的角为， 则， C选项正确； 易知，则点到平面的距离为， 又，上式分子分母同时除以，可得， 令，则， 易知当时，，D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（25-26高二上·云南楚雄·期末）是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是__________. 【答案】 【解题思路】先求向量及的模长，再利用空间点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】因为， ， ， ， 所以点到直线的距离是. 故答案为：. 13．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知一个直四棱锥，如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为__________. 【答案】 【解题思路】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】 由平面及正方形，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴的正半轴建立空间直角坐标系， 由，得，线段中点， 则，， 设异面直线与所成角为，即， 则，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，在正方体中，点是棱的中点，则与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】 【解题思路】b依题意以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【解答过程】以为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示： 设正方体边长为2，可得 所以， 设平面的一个法向量为， 可得， 令，可得，即， 所以与平面所成角的正弦值为， 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在直三棱柱中，，，如图，建立空间直角坐标系． (1)求点B到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，求得平面法向量，由点到平面的距离公式即可求解； （2）由空间向量的线面夹角公式即可求解. 【解答过程】（1）如图，建立空间直角坐标系， ， 取平面内两个向量：，， 设平面的法向量为， 则 令，得， 即，又， 则点B到平面的距离； （2）设直线与平面所成角为，， 则， 且，， 则， 即直线与平面所成角的正弦值是. 16．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图，在四棱锥中，底面，，∥，，，，E为棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）取的中点，连接，可证四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可∥平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由线面角的向量求法可得. 【解答过程】（1）取的中点，连接，则∥，且. 因为∥，，所以，∥，且. 所以四边形为平行四边形. 所以∥. 因为平面，平面，所以∥平面. （2）因为底面，底面，所以. 又，所以以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，所以. 所以. 设平面的法向量为， 则. 令，则， 所以平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为， 则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 17．（25-26高二上·福建莆田·期末）如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)证明：直线平面，并求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系如下，使用空间中点到直线距离公式即可求得点到直线的距离； （2）由且A，E，F，四点不共线，所以，由线面平行的判定即可求证直线平面，再使用空间中点到平面距离公式即可求得到平面的距离. 【解答过程】（1）以D为原点，DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，，， 所以， 所以点到直线的距离为． （2），又A，E，F，四点不共线，所以， 又平面，平面，所以平面， 可知直线到平面的距离等于到平面的距离， 因为， 设是平面的法向量，则， 所以，所以，取，则， 于是是平面的法向量． 又因为所以，点到平面的距离为， 即直线到平面的距离为． 18．（25-26高二上·浙江杭州·期末）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【解题思路】（1）根据面面平行的判定定理得到平面平面，进而可证平面. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法求出二面角余弦值，结合同角的三角函数关系求出正切值即可. 【解答过程】（1）正方形中，. 因为平面，平面，所以平面. 梯形中，. 因为平面，平面，所以平面. 又，平面，，所以平面平面. 又平面，所以平面. （2）正方形中，， 因为正方形与梯形所在的平面互相垂直，平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，所以，，两两垂直， 所以以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 因为为的中点，所以. 则，. 设平面的法向量为, 则，即，令，则，，所以. 因为平面，即为平面的一个法向量. 又二面角为锐二面角吗，设锐二面角的平面角为， 则， 所以，， 所以二面角的正切值为. 19．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）．将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【解题思路】（1）由线面平行的判定定理证明， （2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解， （3）设出得点坐标，由空间向量列式求解. 【解答过程】（1）在梯形中，，，，P为的中点， 可得为等边三角形，四边形为菱形， 故，而平面，平面， 平面， （2）由（1）得，，，故，， 而平面平面，平面平面，平面，， 平面， 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 平面的一个法向量为， 故，二面角的大小为； （3）设，则，,, 得，， 设平面的一个法向量为， 由于与平面所成角的正切值为， CQ与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，解得（舍去） 故存在，使得CQ与平面所成角的正切值为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 空间向量的应用（二）：用空间向量研究距离、夹角问题（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 用空间向量研究距离问题 我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等.如何用空间向量解决这些距离问题呢？下面我们先研究用向量方法求直线l外一点P到直线l的距离. 【知识点1 用空间向量研究空间距离】 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面α的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为. 【题型1 点到平面距离的向量求法】 【例1】（25-26高二上·山东泰安·期末）在空间直角坐标系中，已知点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·天津和平·期末）已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则点P到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·广东广州·期末）我国古代数学名著《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”若由棱长为1的正方体斜解得到堑堵，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面， ，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 【题型2 平行平面距离的向量求法】 【例2】（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·全国·单元测试）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为__________. 【变式2-3】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【题型3 点到直线距离的向量求法】 【例3】（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知空间内三点，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·广东深圳·期末）在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·辽宁大连·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线的距离为__________. 【变式3-3】（25-26高二上·四川泸州·期末）在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是__________． 【题型4 异面直线距离的向量求法】 【例4】（25-26高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【变式4-1】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026高二·陕西·专题练习）在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是__________. 【变式4-3】（25-26高二下·甘肃武威·期末）已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为__________． 模块三 用空间向量研究空间角问题 【知识点2 用空间向量研究空间角】 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【题型5 向量法求异面直线所成的角】 【例5】（25-26高三上·河北邢台·期末）如图，在长方体中，，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026高二上·河南鹤壁·专题练习）如图，已知正三棱柱的棱长均为，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·安徽六安·期末）我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A．30° B．45° C． D．75° 【题型6 向量法求线面角】 【例6】（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在长方体中，， ，那么直线与平面所成的角的余弦值是（       ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·山西·期中）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·浙江宁波·期末）在三棱锥中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·四川达州·期末）在直三棱柱中，，，，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型7 向量法求二面角】 【例7】（25-26高二上·广东汕头·期末）锐二面角两平面的法向量分别为，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，分别是，的中点，点在平面内，，若平面，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·湖南岳阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【变式7-3】（25-26高二上·湖南怀化·期末）如图1，在直角梯形中， ，，点D为PC的中点．将绕AD翻折使得（如图2所示）构成一个四棱锥，此时棱PC的中点记为E．在四棱锥中， (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小． 【题型8 利用空间向量研究探索性问题】 【例8】（25-26高二上·北京·期中）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，错误的是（    ）    A．存在点∥平面 B．对任意点 C．存在点，使得与所成的角是 D．不存在点，使得与平面所成的角是 【变式8-1】（25-26高二下·上海杨浦·期末）如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论： ①存在点满足； ②存在点满足与平面所成角的大小为； ③存在点满足； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式8-2】（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图，在多面体中，平面平面，，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【变式8-3】（25-26高二上·云南昆明·期末）如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，是的中点． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 2．（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 4．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）如图，四边形是矩形，，，平面，，，则和平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河南洛阳·期末）如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则直线到平面的距离为（   ）    A． B． C．1 D． 6．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知：空间中，过点且一个法向量为的平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·福建泉州·期末）在四棱锥中，侧面OAB是正三角形，底面ABCD是矩形，二面角为直二面角.若，则平面OAB与平面OCD的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）如图，正方体的棱长为1，为棱的中点，点在面对角线上运动（点异于点），以下说法错误的是（   ） A．平面 B． C．二面角的余弦值为 D．点到面的距离为 二、多选题 9．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A．1 B． C． D． 10．（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图 1，长方形中，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图2，满足平面平面，则下列选项正确的是（    ） A． B．与所成角为30° C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角为 11．（25-26高二上·江苏·期末）（多选题）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（   ） A．直线MN与所成角的大小为 B． C．若P为中点，则平面AMP与平面ABC所成角的余弦值为 D．点到平面距离的最大值为 三、填空题 12．（25-26高二上·云南楚雄·期末）是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是__________. 13．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知一个直四棱锥，如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为__________. 14．（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，在正方体中，点是棱的中点，则与平面所成角的正弦值为__________. 四、解答题 15．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在直三棱柱中，，，如图，建立空间直角坐标系． (1)求点B到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 16．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图，在四棱锥中，底面，，∥，，，，E为棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 17．（25-26高二上·福建莆田·期末）如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)证明：直线平面，并求直线到平面的距离． 18．（25-26高二上·浙江杭州·期末）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 19．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）．将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $