专题2.3 直线的方程（二）（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学直线方程的核心知识点，系统梳理直线方程的直接法与待定系数法求解，衔接两条直线平行、垂直的判定及应用，延伸至直线过定点、实际与综合应用，构建递进式学习支架。 资料以8大题型分类呈现，变式训练层层深入，通过蜡烛燃烧等实际问题培养数学眼光，参数求解题型提升数学思维，综合应用强化数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，夯实知识应用能力。

专题2.3 直线的方程（二）（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 直线方程的求解】 1 【题型2 求与已知直线平行的直线方程】 4 【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 6 【题型4 根据两直线平行求参数】 8 【题型5 根据两直线垂直求参数】 9 【题型6 直线过定点问题】 11 【题型7 直线方程的实际应用】 13 【题型8 直线方程的综合应用】 16 考点1 求直线方程的一般方法 知识点1 直线方程的求法 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【题型1 直线方程的求解】 【例1】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由直线倾斜角计算直线的斜率，点斜式求直线方程. 【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率. 又因为直线过点，所以直线的点斜式方程为，化成一般式为. 故选：D. 【变式1.1】（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】讨论截距是否为0，设直线方程，结合点在直线上求参数，即可得. 【解答过程】当直线经过原点时，满足题意，设直线的方程为，代入得， 此时直线的方程； 当直线的截距都不为0时，设直线的方程为， 则有，解得，，此时直线的方程为. 综上，所求直线的方程为或. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)斜率为4，在轴上的截距为； (3)经过两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）根据已知条件，结合点斜式方程，即可求解； （2）根据已知条件，结合斜截式方程，即可求解； （3）根据已知条件，结合两点式方程，即可求解； （4）根据已知条件，结合截距式方程，即可求解. 【解答过程】（1）直线斜率是3，且经过点， 则直线方程为，化为一般式方程为； （2）直线斜率为4，在轴上的截距为， 则直线方程为，化为一般式方程为； （3）直线经过两点， 则直线方程为，化为一般式方程是为； （4）直线在x轴、y轴上的截距分别是，， 则直线方程为，化为一般式方程为. 【变式1.3】（25-26高二上·吉林延边·阶段检测）求满足下列条件的直线方程：（结果写成一般式）. (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）代入点斜式方程，可得直线方程，整理即可得答案. （2）直线方程为，分别令和，结合面积公式，求得b值，整理即可得答案. （3）分别讨论截距为0和不为0两种情况，求出直线方程，整理即可得答案. 【解答过程】（1）代入点斜式方程可得，整理得 （2）设直线方程为，令，解得， 令，解得， 所以，解得， 所以直线方程为，整理得 （3）当截距为0时，设直线方程为，代入点，解得， 所以方程为，整理得； 当截距不为0时，设直线方程为，代入点，解得， 所以方程为，整理得， 综上，直线方程为或. 考点2 两条直线的位置关系 知识点2 两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型2 求与已知直线平行的直线方程】 【例2】（25-26高二上·山西朔州·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意设与平行的直线方程为，代入点后即可求得，进而得到直线方程. 【解答过程】设与直线平行的直线方程为， 代入，可得，解得， 故所求直线方程为. 故选：A. 【变式2.1】（25-26高二上·宁夏银川·期末）过点且平行于直线的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设所求直线为，结合点在直线上求参数，即可得. 【解答过程】由题设，令所求直线为， 由点在直线上，则， 所以直线为. 故选：C. 【变式2.2】（25-26高二上·云南昆明·期末）经过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设与直线平行的直线方程为，代入点的坐标，即可求解. 【解答过程】设经过点且与直线平行的直线方程为， 所以，解得，所以直线方程为. 故选：B. 【变式2.3】（25-26高二下·上海崇明·期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出直线斜率，由点斜式即可求得答案； （2）由两直线平行可设直线方程，求出参数，即得答案. 【解答过程】（1）由题意可得直线斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）由题意，可设所求直线方程为，，结合直线经过点， 可得， 则所求直线方程为. 【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 【例3】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用直线方程垂直的条件求出目标直线斜率，进而得到直线方程即可. 【解答过程】对于直线方程，其斜率为， 而目标直线与垂直，则目标直线斜率为， 则目标直线方程为，化简得，故C正确. 故选：C. 【变式3.1】（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线垂直求出待求直线的斜率，又因为过点，采用点斜式即可求出待求直线方程． 【解答过程】直线化为斜截式为，即斜率为， 设所求直线斜率为，则可得：， 所求直线过点，所以方程为， 化简可得． 故选：A． 【变式3.2】（25-26高二上·广东江门·期中）已知直线和点. (1)求经过点，且与直线平行的直线的方程； (2)求经过点，且与直线垂直的直线的方程： 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程. 【解答过程】（1）因为直线和点， 因为所求直线与直线平行，设所求直线的方程为， 将点的坐标代入所求直线的方程，可得，解得， 故所求直线的方程为. （2）因为所求直线与直线垂直，设所求直线的方程为， 将点的坐标代入所求直线的方程，可得，解得， 故所求直线的方程为. 【变式3.3】（25-26高二上·河南安阳·阶段检测）三角形的三个顶点是. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边的垂直平分线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用两直线垂直求得边上的高所在直线的斜率，结合高线经过点，由点斜式方程即得； （2）利用两直线垂直求得边垂直平分线的斜率，结合的中点，由点斜式方程即得. 【解答过程】（1）边所在的直线的斜率， 因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为，即. （2）由（1）得，边所在直线斜率，所以边垂直平分线的斜率为， 的中点坐标为，所以边的垂直平分线方程，即. 【题型4 根据两直线平行求参数】 【例4】（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知直线，若，则等于（   ） A．2 B．3 C．2或3 D．6或 【答案】A 【解题思路】根据两直线平行得到方程，再验证并结合充要条件的判定即可得到答案. 【解答过程】若，则，解得或3， 当时，，两直线平行， 当时，，两直线重合， 则时，. 故选：A. 【变式4.1】（25-26高二上·广东茂名·期中）已知直线：，：，若，则的值是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用两条直线的位置关系求解. 【解答过程】因为直线：，：，且， 所以，解得， 故选：D. 【变式4.2】（25-26高二上·江苏无锡·期末）直线，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解题思路】假设，结合平行的性质计算可得，再利用充分条件与必要条件定义即可得解. 【解答过程】若，则，即， 解得或， 当时，，，此时两直线重合，不符合； 当时，，，符合要求； 综上，可得，故“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式4.3】（25-26高二上·广西南宁·期末）已知直线与直线平行，则的值为（   ） A．-2 B．1 C．4 D．-2或1 【答案】B 【解题思路】根据两直线平行的条件列出方程，求解可得. 【解答过程】因为直线与直线平行， 所以，即，所以，解得或. 当时，；，即与重合； 当时，；，即，与平行. 所以的值为. 故选：B. 【题型5 根据两直线垂直求参数】 【例5】（25-26高二上·山东·阶段检测）若直线与互相垂直，则实数（    ） A． B．或0 C．或0 D．0 【答案】C 【解题思路】根据互相垂直的两直线的性质进行求解即可. 【解答过程】因为直线与互相垂直， 所以，即，解得或. 故选：C. 【变式5.1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线：和直线：，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】先根据直线垂直计算求出参数，再应用充分必要条件定义判断求解. 【解答过程】直线：和直线：， “”，等价于，解得或. 所以“”可以推出，但“”时未必有 “”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 【变式5.2】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知直线经过、两点． (1)求直线的方程； (2)设直线，若，求实数的值． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程； （2）根据直线垂直满足的关系式得到方程，求出实数的值. 【解答过程】（1）直线经过、两点， ， 直线，即：． （2）由，直线，， 得，解得， 即实数的值为． 【变式5.3】（25-26高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 【答案】(1)或； (2) 【解题思路】（1）由直线垂直的特征及直线过的点可得关于、的方程组，即可得解； （2）由直线平行和垂直满足的系数关系，列方程即可求解，． 【解答过程】（1）因为，，且，所以， 又直线过点， 所以， 所以， 所以， 所以或； （2）若且，则或， 解得，或， 由于不能同时为，故这组解舍去， 故. 考点3 直线过定点问题 知识点3 直线过定点问题 1．直线过定点问题 对于直线过定点问题，一般可以通过分离参数法来解决： 第一步：对含参数的直线方程进行变形：将参数与变量分离到等式两边； 第二步：确定定点条件：使得等式成立的条件是参数的系数为0，同时与参数无关的式子也为0，解方程组确定定点坐标. 【题型6 直线过定点问题】 【例6】（25-26高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】法一：直线方程可化为，解方程组即可求解； 法二：直线方程可化为，解方程组即可求解. 【解答过程】法一：直线方程可化为， 令，解得，即定点坐标为. 法二：直线方程可化为， 则，解得，即定点坐标为. 故选：B. 【变式6.1】（25-26高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】变形给定的直线方程，再解方程组求出定点. 【解答过程】直线，由，解得， 所以直线恒过定点. 故选：C. 【变式6.2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直线方程可化为，解方程组，即可求解. 【解答过程】直线方程可化为， 分离参数后直线交点即为定点. 令，解得，所以直线过定点. 故选：B. 【变式6.3】（25-26高二下·吉林长春·开学考试）不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直线方程即，一定经过和 的交点，联立方程组可求定点的坐标． 【解答过程】直线 即， 根据的任意性可得，解得， 不论取什么实数时，直线都经过一个定点． 故选：B. 考点4 直线方程的实际应用 知识点4 直线方程的实际应用 1．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 【题型7 直线方程的实际应用】 【例7】（25-26高二上·四川眉山·阶段检测）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（    ） A．25min B．35min C．40min D．45min 【答案】B 【解题思路】根据已知条件可知直线方程的斜率及所过的点，进而得到直线方程，再求蜡烛从点燃到燃尽所耗时间即可. 【解答过程】由题意知：蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程，过两点，故其斜率， ∴直线方程为， ∴当蜡烛燃尽时，有，即， 故选：B. 【变式7.1】（25-26高二·江苏·课后作业）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度． 【答案】；铁棒在100℃时的长度是m. 【解题思路】用直线的斜截式方程写出l与t的关系，再利用待定系数法求出方程并求解作答. 【解答过程】依题意，设l与t的关系式为：，是常数， 于是得，解得， 则l与t的关系式为，当时，， 所以所求直线的方程为，铁棒在100℃时的长度是m. 【变式7.2】（2026高二·全国·专题练习）如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    【答案】10.12m 【解题思路】建立如图所示坐标系，利用垂直关系得到斜率关系从而得到直线方程，再代入点即可求出； 【解答过程】如图，记路面宽，以灯柱底端为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，的中点的坐标为． 因为，所以直线的倾斜角为， 由，得点的坐标为，即． 又因为，所以， 所以直线的方程为． 又直线过点，所以，解得． 故灯柱高约为10.12m．    【变式7.3】（25-26高一上·湖南衡阳·期末）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中；点在上，且，，经测量，，，.问应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到）.    【答案】点到的距离为 时，才能使草坪的占地面积最大，最大值为. 【解题思路】如图，先以边所在直线为轴，以边所在直线为轴建立平面直角坐标系，求得直线的方程，再设出坐标，由矩形面积公式建立模型，然后利用二次函数的基本性质求其最值． 【解答过程】如图，以边所在直线为轴，以边所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，.    所以直线的方程为：，即，设， 则矩形的面积为， 化简，得， 配方，， 易得当，时，最大，其最大值为. 【题型8 直线方程的综合应用】 【例8】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设直线的方程为. (1)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，O为坐标原点，记的面积为S，求S的最小值及S最小时直线的方程. 【答案】(1)或. (2) (3)最小值是6， 【解题思路】（1）根据截距的定义分类讨论计算即可； （2）利用直线的性质列出参数a的范围计算即可； （3）直接计算A、B的坐标，含参表示三角形面积，根据基本不等式计算最值即可. 【解答过程】（1）当直线l过原点时满足条件，此时，即，则直线l的方程为； 当直线l不过原点时，由直线l在两坐标轴上的截距相等可知其斜率为， 故，即，可得直线l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或； （2）∵l不经过第二象限，∴. 解得. ∴实数a的取值范围是. （3）对于方程， 令，解得，由题知，解得； 令，解得，由题知，解得或. 综上可得. ∴ ， 当且仅当，即时取等号, ∴的面积S的最小值是6，此时直线l的方程为. 【变式8.1】（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若当时，直线上的点都在轴下方，求的取值范围； (3)若直线与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是坐标原点，设三角形的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)最小值为2，直线的方程为. 【解题思路】（1）变形得，求出直线过定点； （2）根据题意，只需保证区间端点和对应的函数值不大于0，列出不等式组求解即可； （3）求出直线与两坐标轴负半轴的交点的坐标，用表示的面积，再利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】（1）由，得. 由直线方程的点斜式可知，直线过定点； （2）若当时，直线上的点都在轴下方，则 解得，所以k的取值范围是； （3）由题意直线过定点，且与轴的负半轴交于点､与轴的负半轴交于点， 则直线的斜率， 当时，得，当时，得，则，且， 所以 ， 当且仅当，即时，又，所以当时取“”， S的最小值为2，此时直线的方程为. 【变式8.2】（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)设分别是线段的中点，求直线所在直线的方程. （注意：最后结果统一用一般式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）先求出的中点，进而根据两点式求解或求出斜率，再用点斜式求解即可； （2）先求出直线的斜率，根据可得，进而利用点斜式求解即可； （3）先求出的中点，根据题设易得，进而利用点斜式求解即可. 【解答过程】（1）由已知得的中点，即， 解法一：边上的中线的两点式方程为，即； 解法二：边上的中线的斜率为， 所以中线的方程为：，即. （2）因为， 又，则，所以， 则直线的方程为，即. （3）由已知得的中点，即， 因为分别是线段的中点，所以，即， 又，所以， 则直线所在直线的方程为：，即. 【变式8.3】（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)最小值为4，直线方程为. 【解题思路】（1）整理直线方程，即可求得定点； （2）通过直线方程得到纵截距，由纵截距和斜率列出方程，即可求得的取值范围； （3）通过直线方程得到交点的坐标，然后得到三角形面积，利用基本不等式即可求得最小值，同时求出此时的直线方程. 【解答过程】（1）∵， ∴直线过定点. （2）∵，直线的纵截距为， 要使得直线不经过第四象限，则， 即. （3）由题意可知：， 由直线方程可得，，， ∴，即， ， 当且仅当时，取等号. 即当直线方程时，面积取最小值4. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 直线的方程（二）（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 直线方程的求解】 1 【题型2 求与已知直线平行的直线方程】 3 【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 4 【题型4 根据两直线平行求参数】 4 【题型5 根据两直线垂直求参数】 5 【题型6 直线过定点问题】 6 【题型7 直线方程的实际应用】 7 【题型8 直线方程的综合应用】 8 考点1 求直线方程的一般方法 知识点1 直线方程的求法 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【题型1 直线方程的求解】 【例1】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)斜率为4，在轴上的截距为； (3)经过两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是，． 【变式1.3】（25-26高二上·吉林延边·阶段检测）求满足下列条件的直线方程：（结果写成一般式）. (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 考点2 两条直线的位置关系 知识点2 两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型2 求与已知直线平行的直线方程】 【例2】（25-26高二上·山西朔州·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高二上·宁夏银川·期末）过点且平行于直线的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高二上·云南昆明·期末）经过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（25-26高二下·上海崇明·期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 【例3】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高二上·广东江门·期中）已知直线和点. (1)求经过点，且与直线平行的直线的方程； (2)求经过点，且与直线垂直的直线的方程： 【变式3.3】（25-26高二上·河南安阳·阶段检测）三角形的三个顶点是. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边的垂直平分线的方程. 【题型4 根据两直线平行求参数】 【例4】（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知直线，若，则等于（   ） A．2 B．3 C．2或3 D．6或 【变式4.1】（25-26高二上·广东茂名·期中）已知直线：，：，若，则的值是（    ） A．或 B． C． D． 【变式4.2】（25-26高二上·江苏无锡·期末）直线，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式4.3】（25-26高二上·广西南宁·期末）已知直线与直线平行，则的值为（   ） A．-2 B．1 C．4 D．-2或1 【题型5 根据两直线垂直求参数】 【例5】（25-26高二上·山东·阶段检测）若直线与互相垂直，则实数（    ） A． B．或0 C．或0 D．0 【变式5.1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线：和直线：，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5.2】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知直线经过、两点． (1)求直线的方程； (2)设直线，若，求实数的值． 【变式5.3】（25-26高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 考点3 直线过定点问题 知识点3 直线过定点问题 1．直线过定点问题 对于直线过定点问题，一般可以通过分离参数法来解决： 第一步：对含参数的直线方程进行变形：将参数与变量分离到等式两边； 第二步：确定定点条件：使得等式成立的条件是参数的系数为0，同时与参数无关的式子也为0，解方程组确定定点坐标. 【题型6 直线过定点问题】 【例6】（25-26高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（25-26高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6.3】（25-26高二下·吉林长春·开学考试）不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 考点4 直线方程的实际应用 知识点4 直线方程的实际应用 1．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 【题型7 直线方程的实际应用】 【例7】（25-26高二上·四川眉山·阶段检测）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（    ） A．25min B．35min C．40min D．45min 【变式7.1】（25-26高二·江苏·课后作业）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度． 【变式7.2】（2026高二·全国·专题练习）如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    【变式7.3】（25-26高一上·湖南衡阳·期末）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中；点在上，且，，经测量，，，.问应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到）.    【题型8 直线方程的综合应用】 【例8】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设直线的方程为. (1)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，O为坐标原点，记的面积为S，求S的最小值及S最小时直线的方程. 【变式8.1】（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若当时，直线上的点都在轴下方，求的取值范围； (3)若直线与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是坐标原点，设三角形的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程. 【变式8.2】（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)设分别是线段的中点，求直线所在直线的方程. （注意：最后结果统一用一般式表示） 【变式8.3】（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $