第二章 2.3.1 两条直线的交点坐标-2.3.2 两点间的距离公式（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

2.3.1　两条直线的交点坐标

2.3.2　两点间的距离公式

[学习目标]　1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(重点).2.会根据方程判断直线是否过定点，并会求定点坐标.3.掌握两点间的距离公式并会应用(重点).4.会用坐标法证明简单的平面几何问题(难点)．

导语

在平面几何中，我们对直线作了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等．

 

一、求相交直线的交点坐标

问题1　已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？

提示　直线l1，l2的图象如图所示．点M既在直线l1上，也在直线l2上．满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0.

即交点坐标是方程组的解．

知识梳理

已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为

P，则点P的坐标就是方程组的解．

例1　设直线l1：x－2y＋4＝0与l2：x＋y－2＝0相交于点P，

(1)求点P的坐标；

(2)求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0平行的直线；

(3)求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线．

解　(1)由题意得

解得则P(0,2)．

(2)方法一　∵所求直线与直线l3：

3x－4y＋5＝0平行，

∴所求直线的斜率为，

又直线过点P(0,2)，

故所求直线方程为y－2＝(x－0)，

即3x－4y＋8＝0.

方法二　设所求直线的方程为(x－2y＋4)＋λ(x＋y－2)＝0，

即(λ＋1)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，①

∵所求直线与直线l3：3x－4y＋5＝0平行，

∴－＝，

解得λ＝，代入①式并整理可得，

所求直线方程为3x－4y＋8＝0.

(3)方法一　设所求直线为l，

∵直线l与直线l3垂直且直线l3的斜率为，

∴直线l的斜率为－.

又直线过点P(0,2)，

∴直线l的方程为y－2＝－(x－0)，

即4x＋3y－6＝0.

方法二　设所求直线l的方程为

(x－2y＋4)＋λ(x＋y－2)＝0，

即(λ＋1)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，

∵直线l与直线l3垂直且直线l3的斜率为，

∴－×＝－1，解得λ＝11.

∴直线l的方程为x－2y＋4＋11(x＋y－2)＝0，即4x＋3y－6＝0.

反思感悟　求过两条直线交点的直线方程的两种方法

(1)先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．

(2)利用过两条直线交点的直线系方程，通过待定系数法求解．

跟踪训练1　已知两直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点为P.求：

(1)过点P与Q(1,4)的直线方程；

(2)过点P且与直线x－3y－1＝0平行的直线方程．

解　(1)设过直线l1和l2交点的直线方程为

x＋2y－6＋m(x－2y＋2)＝0，

即(m＋1)x＋(2－2m)y＋2m－6＝0.①

把点Q(1,4)代入方程①，

化简得3－5m＝0，解得m＝，所以过点P与Q(1,4)的直线方程为x＋y－＝0，

即2x＋y－6＝0.

(2)由两直线平行，

得－3(m＋1)＝2－2m，解得m＝－5，

所以所求直线的方程为－4x＋12y－16＝0，

即x－3y＋4＝0.

二、直线过定点问题

问题2　观察下面的图象，发现直线都经过点M(4，1)，怎么表示出经过M点的直线方程？

提示　当斜率存在时，y－1＝k(x－4)(k∈R)；当斜率不存在时，x＝4.

例2　无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标．