第08讲 直线的方程（一）：直线方程的几种形式（九大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第08讲 直线的方程（一）：直线方程的几种形式（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 直线的点斜式、斜截式方程 我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.这样，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0,y0)和斜率k(或倾斜角)，就能唯一确定一条直线.也就是说，这条直线上任意一点的坐标(x,y)与点P0的坐标(x0,y0)和斜率k之间的关系是完全确定的.那么,这一关系如何表示呢?下面我们就来研究这个问题. 【知识点1 直线的点斜式方程】 1．直线的点斜式方程的定义 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. 2．点斜式方程的使用方法 (1)已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 【知识点2 直线的斜截式方程】 1．直线的斜截式方程的定义 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. 2．斜截式方程的使用方法 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（25-26高二上·河南·期中）经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·北京·阶段检测）经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·河南濮阳·期末）过点且斜率为的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 【例2】（25-26高二·全国·课后作业）已知直线倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·浙江湖州·期末）直线的斜率为（  ） A． B． C． D．2 【变式2-2】（25-26高二上·安徽·期中）纵截距为且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·江苏扬州·期末）设直线的斜率为，在轴上的截距为，则（   ） A． B． C． D． 模块三 直线的两点式、截距式方程 【知识点3 直线的两点式方程】 1．直线的两点式方程的定义 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. 2．两点式方程的使用方法 (1)已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)当时，直线方程为 (或). (3)当时，直线方程为 (或). 【注】(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 【知识点4 直线的截距式方程】 1．直线的截距式方程的定义 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. 2．直线的截距式方程的适用范围 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. 3．截距式方程的使用方法 (1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 【注】(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行 的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 【例3】（25-26高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二·全国·课后作业）若直线l过点和，且点在直线l上，则b的值为（    ） A．183 B．182 C．181 D．180 【变式3-2】（24-25高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为__________． 【变式3-3】（25-26高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）过点和点的直线的两点式方程是____________． 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 【例4】（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式4-1】（25-26高二上·河南濮阳·期中）直线在y轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·天津南开·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ）. A． B．或 C． D．或 【变式4-3】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（    ） A． B． C． D． 模块四 直线的一般式方程 【知识点5 直线的一般式方程】 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 【题型5 直线的一般式方程】 【例5】（25-26高二上·湖南·期中）已知直线经过点和，则的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）如果，那么直线一定经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．坐标原点 【变式5-2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知直线：在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则实数的值是（   ） A．6 B． C．或1 D．6或1 【变式5-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线在轴上的截距为8，且斜率为，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例6】（24-25高二下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式6-1】（25-26高二上·江西上饶·期末）直线：的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·广西河池·阶段检测）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)斜率是，且经过点； (2)斜率为，在轴上的截距为； (3)经过，两点. 【变式6-3】（25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： (1)经过点，平行于直线； (2)倾斜角是，在轴上的截距是4； (3)经过点，点； 【题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例7】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·江苏常州·期中）平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. 【变式7-3】（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）已知直线l过点： (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． (2)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 模块五 方向向量与直线的参数方程 【知识点6 方向向量与直线的参数方程】 1．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使，即()=t(m,n)，所以①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确 定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 【题型8 求直线的方向向量】 【例8】（25-26高二上·浙江宁波·期末）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·广东广州·期末）经过，两点的直线的一个方向向量为，则实数t的值为（    ） A． B．2 C． D．6 【变式8-2】（25-26高二上·浙江温州·期末）在平面直角坐标系中，已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型9 已知直线的方向向量求直线方程】 【例9】（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二上·贵州遵义·期末）若直线经过点，且直线的方向向量，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二上·广东佛山·期末）下列四条直线中，方向向量为的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 模块六 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南永州·期末）已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（    ） A．1 B． C．5 D． 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 6．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 7．（25-26高二上·河北秦皇岛·阶段检测）已知直线，则下列结论正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．直线过点 C．直线的一个方向向量为 D．直线的斜率为 8．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 二、多选题 9．（25-26高二上·辽宁大连·期末）下列命题正确的是（   ） A．直线的一个方向向量是 B．与直线关于轴对称的直线方程是 C．若点在直线 上，则直线方程还可以写成 D．若直线方程为，则直线倾斜角为 10．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·黑龙江双鸭山·阶段检测）设直线的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．直线的斜率为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线在轴上的截距为 D．直线与坐标轴围成的三角形的面积为 三、填空题 12．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）过点且斜率为2的直线方程为__________. 13．（25-26高二上·广东惠州·期末）已知直线的一个方向向量为且过点，则直线的方程为__________. 14．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）直线经过点，且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍，求直线的方程为__________． 四、解答题 15．（25-26高二上·江苏·寒假作业）已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 16．（25-26高二上·江西景德镇·期末）根据下列条件分别写出直线和的方程，并化为一般式方程． (1)的斜率是，且经过点，的斜率为，在轴上的截距为； (2)经过两点、，在轴、轴上的截距分别是、． 17．（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍． (1)求直线的斜率． (2)求过点，直线的点斜式方程． 18．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直角中，点，，在轴上. (1)求点的坐标； (2)求斜边中线所在直线的方程. 19．（25-26高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 直线的方程（一）：直线方程的几种形式（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 直线的点斜式、斜截式方程 我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.这样，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0,y0)和斜率k(或倾斜角)，就能唯一确定一条直线.也就是说，这条直线上任意一点的坐标(x,y)与点P0的坐标(x0,y0)和斜率k之间的关系是完全确定的.那么,这一关系如何表示呢?下面我们就来研究这个问题. 【知识点1 直线的点斜式方程】 1．直线的点斜式方程的定义 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. 2．点斜式方程的使用方法 (1)已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 【知识点2 直线的斜截式方程】 1．直线的斜截式方程的定义 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. 2．斜截式方程的使用方法 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（25-26高二上·河南·期中）经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由点斜式方程即可求解； 【解答过程】由于倾斜角为，所以， 所以直线方程为：， 整理得：， 故选：A. 【变式1-1】（25-26高二上·北京·阶段检测）经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据倾斜角为，求出斜率，代入直线的点斜式方程求解. 【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又直线经过点，代入点斜式方程得直线方程为. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·河南濮阳·期末）过点且斜率为的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用点斜式方程，结合一般式，可得答案. 【解答过程】由题意可得直线方程为，化简可得. 故选：D. 【变式1-3】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由直线的倾斜角求得其斜率，由此写出直线的点斜式方程，化简可得其一般方程. 【解答过程】由题意知，直线的斜率为，又经过点， 故直线的方程为，即. 故选：D. 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 【例2】（25-26高二·全国·课后作业）已知直线倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出直线斜率，根据直线的斜截式方程，即可求得答案. 【解答过程】因为直线倾斜角为，故直线的斜率为, 又直线在轴上的截距为，故直线方程为, 故选：D. 【变式2-1】（25-26高二上·浙江湖州·期末）直线的斜率为（  ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】将直线化成斜截式即可求解. 【解答过程】由，可得，所以直线的斜率为. 故选：A. 【变式2-2】（25-26高二上·安徽·期中）纵截距为且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据斜截式求得正确答案. 【解答过程】倾斜角为，斜率为， 纵截距为，所以直线方程为. 故选：B. 【变式2-3】（25-26高二上·江苏扬州·期末）设直线的斜率为，在轴上的截距为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将直线的一般式方程化为斜截式方程，进而求解. 【解答过程】由，所以，所以， 故选：C. 模块三 直线的两点式、截距式方程 【知识点3 直线的两点式方程】 1．直线的两点式方程的定义 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. 2．两点式方程的使用方法 (1)已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)当时，直线方程为 (或). (3)当时，直线方程为 (或). 【注】(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 【知识点4 直线的截距式方程】 1．直线的截距式方程的定义 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. 2．直线的截距式方程的适用范围 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. 3．截距式方程的使用方法 (1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 【注】(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行 的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 【例3】（25-26高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两点式方程的定义结合已知条件求解 【解答过程】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即． 故选：A. 【变式3-1】（25-26高二·全国·课后作业）若直线l过点和，且点在直线l上，则b的值为（    ） A．183 B．182 C．181 D．180 【答案】A 【解题思路】根据两点坐标可利用两点式求直线的方程，代入即可求解. 【解答过程】因为直线l过点和，由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即.由于点直线l上，所以，解得. 故选:A. 【变式3-2】（24-25高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为__________． 【答案】 【解题思路】利用两点式方程可得直线的方程. 【解答过程】由题意可知，经过与两点的直线方程为，即. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）过点和点的直线的两点式方程是____________． 【答案】 【解题思路】直接由直线方程的两点式得出答案 【解答过程】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 故答案为：. 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 【例4】（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】根据条件分截距为零和截距不为零两种情况，分别设出相应的直线方程，再结合条件，即可求解. 【解答过程】当在轴，轴上的截距为零时，此时直线过原点，设直线方程为， 又直线过点，所以，所以直线方程为， 当在轴，轴上的截距不为零时，设直线方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是或， 故选：D. 【变式4-1】（25-26高二上·河南濮阳·期中）直线在y轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令直线方程中的求得的值即是直线在y轴上的截距. 【解答过程】由，令得. 即直线在y轴上的截距为. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高二上·天津南开·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ）. A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解题思路】分为两种情况：当直线过原点时；当直线不过坐标原点时．设出直线的方程，代入点坐标可得解． 【解答过程】当直线过原点时，设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 所以直线的方程为， 此时直线在两坐标轴上的截距均为0，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 则直线方程，即， 综上所述直线方程为或， 故选：B． 【变式4-3】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，设直线的方程为，将点代入，求得，即可求解. 【解答过程】因为直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 所以，设直线的方程为，可得，解得， 所以，即. 故选：C. 模块四 直线的一般式方程 【知识点5 直线的一般式方程】 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 【题型5 直线的一般式方程】 【例5】（25-26高二上·湖南·期中）已知直线经过点和，则的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意写出直线的两点式方程，化简可得直线的一般式方程. 【解答过程】由直线的两点式方程得，，整理得. 所以直线的一般式方程为. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）如果，那么直线一定经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．坐标原点 【答案】B 【解题思路】求出直线在坐标轴的截距分别是、，结合题意即可判定. 【解答过程】直线在轴上的截距为， 在轴上的截距为， 因为，所以同号， 则直线在坐标轴上的截距同正或同负，如图， 则直线一定经过第二象限. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知直线：在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则实数的值是（   ） A．6 B． C．或1 D．6或1 【答案】C 【解题思路】根据直线的一般式方程，求出直线在轴与轴上的截距，注意计算时不随意约分，造成漏解. 【解答过程】由题可知若，则直线在轴上的截距不存在，不符合题意，因此. 令，得直线在轴上的截距为；令，得直线在轴上的截距为, ，解得或. 故选：C. 【变式5-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线在轴上的截距为8，且斜率为，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由直线的斜截式方程直接写出，化为一般式方程即可. 【解答过程】由斜截式方程得直线的方程为，即一般式方程为． 故选：D. 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例6】（24-25高二下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解题思路】将直线化为斜截式，利用直线过第一、二、四象限，得斜率为负值，纵截距为正值，即可得出结论. 【解答过程】由题意直线经过第一、二、四象限， 所以直线的斜率为负值，纵截距为正值. 直线方程化为斜截式：， 所以斜率且纵截距， 所以且， 故选：B. 【变式6-1】（25-26高二上·江西上饶·期末）直线：的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将一般式方程转化为斜截式方程可得斜率. 【解答过程】将直线一般式方程转化为斜截式方程得到. 所以斜率为. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·广西河池·阶段检测）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)斜率是，且经过点； (2)斜率为，在轴上的截距为； (3)经过，两点. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）由直线的点斜式方程可得； （2）由直线的斜截式方程可得； （3）先求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程即得. 【解答过程】（1）由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； （2）由直线的斜截式方程可得直线方程为， 即； （3）由题意，直线的斜率为， 故由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即. 【变式6-3】（25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： (1)经过点，平行于直线； (2)倾斜角是，在轴上的截距是4； (3)经过点，点； 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由直线平行可知斜率相等，结合点坐标写出直线点斜式方程，化为一般式； （2）根据截距求出直线过点的坐标，结合点坐标写出直线点斜式方程，化为一般式； （3）写出直线的两点式方程，化为一般式. 【解答过程】（1）由题可知，所求直线斜率为3， 故方程为，整理得. （2）直线在轴上的截距是4，即该直线过点， 由倾斜角是可得斜率为， 故方程为，整理得. （3）由条件得直线的两点式方程为， 整理得. 【题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例7】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设直线的方程为，可得出，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出的最小值. 【解答过程】不妨设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得， 由基本不等式可得，可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故，即面积的最小值为. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由斜率的几何意义结合二倍角公式可以先求出所求直线的斜率，再结合已知条件即可求出直线方程. 【解答过程】由题意不妨设直线与直线的斜率分别为，倾斜角分别为， 而，，又由二倍角公式， 所以有，整理得，解得或（舍去）， 所以设直线的方程为， 则直线与坐标轴分别交于， 所以由题意直线与坐标轴所围成的三角形的面积为， 解得，所以设直线的方程为， 当时，它可以变形为. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高二上·江苏常州·期中）平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据题意可知直线过点，由此可得斜率，再由点斜式得解； （2）设直线在轴上的截距为，由此建立关于的方程，解出即可得直线的斜截式方程. 【解答过程】（1）依题意，直线过点， 则其斜率为，方程为， 令，可得， 则； （2）设直线在轴上的截距为， 则直线过点， 故其斜率为，方程为， 令，可得， 则，解得或， 则直线的斜截式方程为或． 【变式7-3】（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）已知直线l过点： (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． (2)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)或 (2)最小值为24，此时直线的方程为 【解题思路】（1）当直线过原点时，求出斜率，再求出直线方程即可；不过原点时，设出截距式，结合题意求出即可； （2）设出截距式，结合基本不等式求出的最小值，再求出面积和直线方程即可； 【解答过程】（1）①当直线l过原点时，符合题意，斜率， 直线方程为，即； ②当直线l不过原点时， ∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍， ∴可设直线l的方程为：． ∵直线l过点， ∴，解得． ∴直线l的方程为，即． 综上所述，所求直线l方程为或． （2）设直线l的方程为）， 由直线l过点得：． ∴，化为， 当且仅当，时取等号． ∴的面积，其最小值为24． 此时直线的方程为． 模块五 方向向量与直线的参数方程 【知识点6 方向向量与直线的参数方程】 1．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使，即()=t(m,n)，所以①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确 定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 【题型8 求直线的方向向量】 【例8】（25-26高二上·浙江宁波·期末）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据方向向量的定义可得直线的一个方向向量为，通过判断各选项中的向量与是否共线，可得正确选项. 【解答过程】由，得. 所以直线的斜率为. 所以直线的一个方向向量为. 对于A，，所以与共线，所以A正确； 对于B，，所以与不共线，所以B不正确； 对于C，，所以与不共线，所以C不正确； 对于D，，所以与不共线，所以D不正确. 故选：A. 【变式8-1】（25-26高二上·广东广州·期末）经过，两点的直线的一个方向向量为，则实数t的值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【解题思路】根据直线的方向向量与斜率的关系可求出t的值. 【解答过程】由题意，，则. 故选：C. 【变式8-2】（25-26高二上·浙江温州·期末）在平面直角坐标系中，已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线的方向向量与斜率的关系求解即可. 【解答过程】根据题意得直线的一个方向向量为， 因为，所以也是直线的一个方向向量. 故选：A. 【变式8-3】（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据方向向量与斜率关系直接求解即可. 【解答过程】直线的方向向量为，，解得：. 故选：B. 【题型9 已知直线的方向向量求直线方程】 【例9】（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用直线的斜截式方程求解. 【解答过程】由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为3，而直线过点， 所以直线的方程是. 故选：D. 【变式9-1】（25-26高二上·贵州遵义·期末）若直线经过点，且直线的方向向量，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据直线的方向向量得到直线的斜率，结合点斜式方程列出方程即可； 【解答过程】因为直线的方向向量，所以直线的斜率， 因为直线经过点，所以直线的方程为，即. 故选：C. 【变式9-2】（25-26高二上·广东佛山·期末）下列四条直线中，方向向量为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据方向向量的定义，把选项中的直线方程化成斜截式方程逐一判断即可. 【解答过程】直线的方向向量为，说明直线的斜率为. A：，所以该直线斜率为，不符合题意； B：，所以该直线斜率为，不符合题意； C：，所以该直线斜率为，不符合题意； D：，所以该直线斜率为，符合题意. 故选：D. 【变式9-3】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由方向向量求出直线的斜率，进而得到直线方程． 【解答过程】由直线的一个方向向量，得的斜率， 又在y轴上的截距为，所以的方程为，即． 故选：C． 模块六 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出. 【解答过程】直线的斜率为， 又直线过点，，即. 故选：C. 2．（25-26高二上·湖南永州·期末）已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【解题思路】根据直线在轴上的截距，即当时，求出的值即可. 【解答过程】因为直线的方程为，当时，， 故直线在轴上的截距为. 故选：B. 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据方向向量求出斜率，代入点斜式方程求解. 【解答过程】因为l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率， 直线l过点，所以直线l的方程为，即， 故选：C. 4．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的关系求出直线斜率，结合直线的斜截式公式求解即可. 【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. 由直线的斜截式公式可知，， 故选：B. 5．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【解题思路】由倾斜角与斜率的关系求倾斜角即可. 【解答过程】设直线的倾斜角为且， 则，故. 故选：A. 6．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【解答过程】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C. 7．（25-26高二上·河北秦皇岛·阶段检测）已知直线，则下列结论正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．直线过点 C．直线的一个方向向量为 D．直线的斜率为 【答案】D 【解题思路】根据给定的直线方程，求出斜率及倾斜角判断AD；验证判断B；求出方向向量判断C. 【解答过程】对于A，直线的斜率，其倾斜角为，A错误，正确； 对于B，，直线不过点，B错误； 对于C，直线的一个方向向量为，C错误. 故选：. 8．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【答案】B 【解题思路】设直线的方程为，代入点坐标，得到的方程，用表示出的面积，利用基本不等式即可求解. 【解答过程】如图： 依题意设直线的方程为（，），则，且，， 所以，即，当且仅当，时，等号成立， 所以的面积，则面积的最小值为20. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·辽宁大连·期末）下列命题正确的是（   ） A．直线的一个方向向量是 B．与直线关于轴对称的直线方程是 C．若点在直线 上，则直线方程还可以写成 D．若直线方程为，则直线倾斜角为 【答案】BC 【解题思路】对A，由直线方程求出斜率进而判断；对B，由对称性求得直线斜率，再根据点斜式求出直线方程；对C，由题可得，进而得，化简得解；对D，由直线方程求得斜率，进而求得倾斜角得解. 【解答过程】对于A，直线的斜率，而方向向量对应直线的斜率为，故A错误； 对于B，直线的斜率为，与轴交于点，所以关于轴对称的直线斜率为，且过点， 所以直线方程为，即，故B正确； 对于C，由点在直线上，得， 所以，即，故C正确； 对于D，直线的斜率为，所以倾斜角为，故D错误. 故选：BC. 10．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解题思路】利用直线的截距式，分类讨论计算即可. 【解答过程】若两截距都为0，则该直线过原点，其方程为； 若截距不为0，不妨设其在横轴上的截距为，则在纵轴上的截距为， 此方程为，代入得， 整理得. 故选：AB. 11．（25-26高二上·黑龙江双鸭山·阶段检测）设直线的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．直线的斜率为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线在轴上的截距为 D．直线与坐标轴围成的三角形的面积为 【答案】ABD 【解题思路】根据斜截式直接判断AB，令，求得，即可判断C，求出两截距，利用三角形面积公式即可判断D. 【解答过程】由直线的斜截式方程，得直线的斜率为，在轴上的截距为2，故AB正确． 在方程中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故C错误． 设直线与轴、轴的交点分别为，则，， 直线与坐标轴围成的三角形为． 因为，，所以，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）过点且斜率为2的直线方程为__________. 【答案】 【解题思路】利用直线的点斜式方程求解即可. 【解答过程】由题意得直线方程为， 化简得，即. 故答案为：. 13．（25-26高二上·广东惠州·期末）已知直线的一个方向向量为且过点，则直线的方程为__________. 【答案】 【解题思路】根据方向向量求出斜率，然后由点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【解答过程】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 又因为直线过点， 所以直线的方程为，整理得， 故答案为：. 14．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）直线经过点，且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍，求直线的方程为__________． 【答案】或 【解题思路】根据给定条件，按截距是否为0分类，结合直线的截距式方程求解. 【解答过程】当直线在轴上的截距为零时，由直线过原点及，得方程为，即； 当直线在轴上的截距不为零时，设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，方程为，即， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 四、解答题 15．（25-26高二上·江苏·寒假作业）已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的斜截式方程． 【答案】或 【解题思路】由直线的斜率存在，把直线方程设为点斜式，求出在两坐标轴上的截距，利用截距相等得方程求出斜率k，可得直线方程. 【解答过程】依题意直线的斜率存在，设为k，直线方程为， 令得纵截距为，令得横截距为， 依题意得，，解得或， 所以直线方程为或. 16．（25-26高二上·江西景德镇·期末）根据下列条件分别写出直线和的方程，并化为一般式方程． (1)的斜率是，且经过点，的斜率为，在轴上的截距为； (2)经过两点、，在轴、轴上的截距分别是、． 【答案】(1)， (2)， 【解题思路】（1）利用点斜式方程写出直线和的方程，然后转化为一般式方程； （2）利用两点式方程可得出直线的方程，利用截距式方程可得出直线的方程，再将这两直线的方程化为一般式方程即可. 【解答过程】（1）由题意可知直线的方程为，即， 直线的方程为，即. （2）直线的方程为，即， 直线的方程为，即. 17．（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍． (1)求直线的斜率． (2)求过点，直线的点斜式方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用方向向量求出直线的倾斜角，进而求出直线的倾斜角及斜率. （2）由（1）的结论，利用直线的点斜式方程写出即可. 【解答过程】（1）由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 因此直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. （2）由（1）知：直线的斜率为，而直线过点 所以直线的点斜式方程为. 18．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直角中，点，，在轴上. (1)求点的坐标； (2)求斜边中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据两直线垂直求直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，最后令可求点坐标. （2）先确定斜边的中点，利用两点式写出斜边中线的方程，再化简即可. 【解答过程】（1）因为，且， 所以. 所以直线的方程为，即. 令，可得. 所以点的坐标为. （2）的斜边为，设中点为，则. 所以直线的方程为：，即. 所以斜边中线所在直线的方程为. 19．（25-26高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【解题思路】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【解答过程】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $