第08讲 直线的方程（一）：直线方程的几种形式（九大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第08讲 直线的方程（一）：直线方程的几种形式 【人教A版2019】 模块一 直线的点斜式、斜截式方程 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（24-25高二上·河南郑州·期末）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二上·甘肃白银·期末）若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二上·山东东营·期末）经过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高二上·四川达州·期末）经过点且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（    ） A．x＝3 B．y＝－5 C．2y＝x D．x＝4y－1 【变式2.1】（24-25高二上·重庆南岸·期中）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·全国·课后作业）与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二上·四川南充·开学考试）与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（    ） A． B．或 C． D．或 模块二 直线的两点式、截距式方程 1．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 【注】(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 2．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 【注】(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行 的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 【例3】（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）过，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·浙江温州·期末）过两点，的直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（25-26高二·全国·课后作业）经过两点、的直线方程都可以表示为（    ） A． B． C． D． 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 【例4】（24-25高二上·河南·期中）过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4.1】（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4.2】（2025高三·全国·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4.3】（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 模块三 直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 【题型5 直线的一般式方程】 【例5】（2025高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二上·北京通州·期中）已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（2025高二上·全国·专题练习）根据下列条件求直线的一般式方程． (1)直线的斜率为，且经过点； (2)斜率为，且在轴上的截距为； (3)经过两点, ； (4)在轴上的截距分别为． 【变式5.3】（24-25高二上·湖北·期中）求分别满足下列条件的直线的一般式方程． (1)斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例6】（24-25高二上·安徽淮北·期中）根据条件写出下列直线的方程，并化成一般式： (1)直线的斜率为，在轴上的截距是； (2)直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点． 【变式6.1】（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）求分别满足下列条件的直线l的方程，化成一般形式. (1)经过点，且与x轴垂直； (2)斜率为－4，在y轴上的截距为7； (3)经过，两点. 【变式6.2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）根据下列条件，写出下列直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为 (2)经过点，且一个方向向量为 (3)在中，点，求边上中线所在直线的方程 【变式6.3】（2025高二·全国·专题练习）（1）已知直线l的一般式方程为，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距； （2）根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式. ①斜率是，经过点； ②经过点，平行于x轴； ③在x轴和y轴上的截距分别是，； ④经过两点 【题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例7】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二上·四川凉山·开学考试）经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式7.2】（24-25高二上·江苏常州·期中）过点的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点．当的面积最小时，l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7.3】（2025高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 模块四 方向向量与直线的参数方程 1．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以 ①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确 定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 【题型8 直线的方向向量的求解】 【例8】（24-25高二上·河北保定·期末）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高二上·福建龙岩·期末）若直线经过点和点，则该直线的方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高二上·四川成都·期末）若直线l的倾斜角为，则它的方向向量可以为（    ） A． B． C． D． 【变式8.3】（24-25高二上·湖北·期中）经过点两点的直线的方向向量为，则k为（    ） A．2 B．4 C． D． 【题型9 已知直线的方向向量求直线方程】 【例9】（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知直线经过点，且它的一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9.1】（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）过点且方向向量为的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9.2】（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知直线l的一个方向向量为，若l过点，则直线l的方程为（） A． B． C． D． 【变式9.3】（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）过点且方向向量为的直线的一般式方程为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南长沙·期末）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南漯河·期末）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东菏泽·期末）已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如果，那么直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 8．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．直线的倾斜角为 B．方程与方程可表示同一直线 C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D．过两点，的直线都可用方程表示 10．（24-25高二上·青海海南·期中）直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程可能是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·江苏连云港·期中）设直线过两点和，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．直线在轴上的截距为 D．直线在轴上的截距为 三、填空题 12．（24-25高二上·云南红河·阶段练习）过点且倾斜角为的直线方程为 . 13．（24-25高二上·天津和平·阶段练习）直线过点，且在 轴上的截距是在 轴上截距的 2 倍，则该直线的斜率是 . 14．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知直线l过点，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 16．（24-25高二上·上海·课后作业）若直线l的一般式方程为，直线l经过点，求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值，并求此时a的值． 17．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知直线经过点． (1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 18．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 19．（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 直线的方程（一）：直线方程的几种形式 【人教A版2019】 模块一 直线的点斜式、斜截式方程 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（24-25高二上·河南郑州·期末）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】倾斜角为的直线斜率不存在，可解. 【解答过程】过点，且倾斜角为的直线垂直于轴， 其方程为. 故选：B． 【变式1.1】（24-25高二上·甘肃白银·期末）若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线垂直的斜率关系求出斜率，然后可得直线方程. 【解答过程】因为直线与斜率为4的直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为，即． 故选：A. 【变式1.2】（24-25高二上·山东东营·期末）经过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线倾斜角和斜率关系可求得斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得结果. 【解答过程】由倾斜角为可得，直线斜率为 由直线的点斜式方程得直线方程为； 即. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高二上·四川达州·期末）经过点且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出直线斜率，利用点斜式求出直线方程，得到答案. 【解答过程】直线斜率，故直线方程为，即. 故选：A. 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（    ） A．x＝3 B．y＝－5 C．2y＝x D．x＝4y－1 【解题思路】根据直线的斜截式方程的知识确定正确选项. 【解答过程】直线的斜截式方程为， 所以B选项是斜截式方程，ACD选项不是斜截式方程. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高二上·重庆南岸·期中）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据倾斜角求出斜率，写出点斜式方程，化为斜截式可得答案. 【解答过程】斜率， 点斜式方程为， 斜截式方程为. 故选：A. 【变式2.2】（24-25高二上·全国·课后作业）与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】首先根据垂直关系确定所求直线的斜率，设出直线方程后再根据横截距确定与x轴的交点坐标，进而求得待定系数，确定答案. 【解答过程】因为所求的直线与直线垂直，所以，得. 设所求直线为,又因为所求直线在x轴上的截距为2即过点， 求得,所以所求直线的斜截式方程为， 故选：B. 【变式2.3】（24-25高二上·四川南充·开学考试）与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【解题思路】将直线化为斜截式方程，可得出斜率，从而得与直线垂直的直线斜率，再根据所求直线在轴上的截距为4，即可得出所求直线的斜截式方程. 【解答过程】解：由于直线，即，可知斜率， 则与直线垂直的直线斜率为， 由于所求直线在轴上的截距为4， 则所求直线的斜截式方程是. 故选：A. 模块二 直线的两点式、截距式方程 1．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 【注】(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 2．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 【注】(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行 的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 【例3】（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）过，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可 【解答过程】因为所求直线过点，， 所以，即. 故选：B. 【变式3.1】（24-25高二上·浙江温州·期末）过两点，的直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由两点式得出直线方程，令，即可解出直线在轴上的截距. 【解答过程】过两点，的直线的为， 令，解得：， 故选：A. 【变式3.2】（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 利用直线方程的相应形式对各个选项逐个判断即可. 【解答过程】对于选项A：是斜截式方程，故A错误； 对于选项B：是点斜式方程，故B错误； 对于选项C：是截距式方程，故C错误； 对于选项D：是两点式方程，故D正确； 故选：D. 【变式3.3】（25-26高二·全国·课后作业）经过两点、的直线方程都可以表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两点式直线方程即可求解. 【解答过程】当经过、的直线不与轴平行时，所有直线均可以用， 由于可能相等，所以只有选项C满足包括与轴平行的直线. 故选:C. 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 【例4】（24-25高二上·河南·期中）过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】通过直线过原点，和不过原点两种情况讨论即可. 【解答过程】当直线过原点时，其方程是，符合题意; 当直线不过原点时，设直线方程为，代入， 可得：，解得：，所以方程是. 故选：C. 【变式4.1】（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】设直线在轴上的截距为，分别在，条件下利用待定系数法求直线方程即可. 【解答过程】设直线在轴上的截距为， 当时，所求直线的方程可设为， 因为直线过点， 所以，故，即直线方程为， 当时，可设直线方程为， 由直线过点可得，， 所以，故直线方程为. 所以经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数 的直线方程是或. 故选：C. 【变式4.2】（2025高三·全国·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【解答过程】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D. 【变式4.3】（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【解答过程】依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意； 当时，将直线的方程化为截距式方程可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去）. 综上所述，的值为或． 故选：C. 模块三 直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 【题型5 直线的一般式方程】 【例5】（2025高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，利用直线的截距式方程求得直线的方程，再化为一般式方程，即可求解. 【解答过程】由直线过点和，可得直线的截距式得直线方程为， 整理得，即直线的一般式方程为. 故选：C. 【变式5.1】（24-25高二上·北京通州·期中）已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用直线的点斜式方程写出方程，再化成一般式即可. 【解答过程】因直线经过点，且斜率为2，则直线方程为：，化简得：， 所以直线的一般式方程为. 故选：C. 【变式5.2】（2025高二上·全国·专题练习）根据下列条件求直线的一般式方程． (1)直线的斜率为，且经过点； (2)斜率为，且在轴上的截距为； (3)经过两点, ； (4)在轴上的截距分别为． 【解题思路】（1）先由点斜式求方程，再化为一般式； （2）先求斜截式方程，再化为一般式； （3）先求直线的两点式方程，再化为一般式； （4）先求直线的截距式方程，再化为一般式. 【解答过程】（1）因为，且经过点， 由直线的点斜式方程可得， 整理可得直线的一般式方程为． （2）由直线的斜率，且在轴上的截距为 得直线的斜截式方程为． 整理可得直线的一般式方程为． （3）由直线的两点式方程可得， 整理得直线的一般式方程为 （4）由直线的截距式方程可得， 整理得直线的一般式方程为. 【变式5.3】（24-25高二上·湖北·期中）求分别满足下列条件的直线的一般式方程． (1)斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． 【解题思路】（1）设出直线方程，得到与两坐标轴的交点坐标，根据面积列出方程，求出答案； （2）分截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程. 【解答过程】（1）设直线的方程为． 令，得．令，得， ，解得． 直线的方程为，化为一般式为． （2）设直线在轴、轴上的截距分别为． 当时，直线的方程为． 直线过点， ， 又， 故，解得或 直线的方程为或； 当时，设直线方程为， 直线过原点且过点，故，解得， 直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或或． 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例6】（24-25高二上·安徽淮北·期中）根据条件写出下列直线的方程，并化成一般式： (1)直线的斜率为，在轴上的截距是； (2)直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点． 【解题思路】（1）利用斜截式方程求解即可； （2）根据倾斜角的关系求出直线斜率，再将代入即可求解. 【解答过程】（1）因为直线斜率为，在轴上的截距是， 所以由斜截式可得直线方程为，整理得. （2）因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， 所以由题意得所求直线的倾斜角为，则斜率， 设所求直线为，将代入可得，解得， 所以所求直线方程为，整理得． 【变式6.1】（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）求分别满足下列条件的直线l的方程，化成一般形式. (1)经过点，且与x轴垂直； (2)斜率为－4，在y轴上的截距为7； (3)经过，两点. 【解题思路】（1）根据条件直接写出直线方程即可. （2）由条件利用斜截式求直线的方程，并化为一般式. （3）由条件利用两点式求直线的方程，并化为一般式. 【解答过程】（1）因为直线经过点，且与x轴垂直， 则直线方程为，即. （2）由题直线斜率为－4，在y轴上的截距为7， 由直线斜截式方程，得，化成一般式为. （3）由题直线经过，两点， 由直线两点式方程得，整理得. 【变式6.2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）根据下列条件，写出下列直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为 (2)经过点，且一个方向向量为 (3)在中，点，求边上中线所在直线的方程 【解题思路】（1）求出直线的斜率，利用直线的斜截式方程求解即得. （2）利用直线的点斜式方程求解即得. （3）求出的中点坐标。进而求出斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【解答过程】（1）直线倾斜角为，则该直线的斜率，直线方程为， 所以所求直线方程为. （2）由直线的一个方向向量为，得该直线斜率为，方程为， 所以所求直线方程为. （3）由点，得边的中点为， 边上中线所在直线的斜率为，该直线方程为， 所以边上中线所在直线的方程为. 【变式6.3】（2025高二·全国·专题练习）（1）已知直线l的一般式方程为，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距； （2）根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式. ①斜率是，经过点； ②经过点，平行于x轴； ③在x轴和y轴上的截距分别是，； ④经过两点 【解题思路】（1）把直线方程化为斜截式及截距式，即可得到斜率及截距； （2）分情况根据直线方程的形式，直接写出直线方程并化为一般式即可. 【解答过程】（1）由l的一般式方程得斜截式方程为：， 截距式方程为：， 由此可知，直线的斜率为， 在x轴、y轴上的截距分别为－3，2. （2）①由点斜式得， 化为一般式为：. ②由斜截式得， 化为一般式为：. ③由截距式得， 化为一般式为：. ④由两点式得, 化为一般式为：. 【题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例7】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线方程得出与坐标轴交点坐标，即可求出结果. 【解答过程】由题知， 直线与轴交于点，与轴交于点， 所以围成的三角形的面积为． 故选：C. 【变式7.1】（24-25高二上·四川凉山·开学考试）经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【解题思路】由题意设直线为，根据直线与坐标轴所围成三角形的面积，应用三角形面积公式求参数k，即可确定直线方程. 【解答过程】由题意，直线斜率一定存在，设所求方程为，即. 由，得或. 故所求直线方程为或. 故选：D. 【变式7.2】（24-25高二上·江苏常州·期中）过点的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点．当的面积最小时，l的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令直线为，根据已知及基本不等式可得，确定等号成立条件得，即可写出直线方程. 【解答过程】由题设，令直线为， 则，即， 当且仅当时等号成立，此时的面积最小为， 所以直线方程为. 故选：A. 【变式7.3】（2025高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正切的二倍角公式，结合三角形面积公式进行求解即可. 【解答过程】， 所以直线的斜率为负值，因此直线的倾斜角为钝角， 设直线l的倾斜角为，则 因为，所以或舍去 设直线l的方程为，则直线l与坐标轴的交点分别为，， 由，得， 故直线l的方程可能是，显然ABD不符合， ，或， 故选：C. 模块四 方向向量与直线的参数方程 1．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以 ①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确 定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 【题型8 直线的方向向量的求解】 【例8】（24-25高二上·河北保定·期末）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线方程可得斜率，即可求得其方向向量. 【解答过程】易知直线的斜率为， 因此其方向向量可以为. 故选：C. 【变式8.1】（24-25高二上·福建龙岩·期末）若直线经过点和点，则该直线的方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据方向向量的定义即可求解. 【解答过程】由于直线经过点和点，故直线的方向向量与向量平行的向量， 故选：A. 【变式8.2】（24-25高二上·四川成都·期末）若直线l的倾斜角为，则它的方向向量可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由倾斜角求出斜率，再根据斜率的定义求出结果即可. 【解答过程】因为直线l的倾斜角为， 所以， 由斜率的定义可知，取，解得一组解可以是， 所以直线的一个方向向量可以是， 故选：B. 【变式8.3】（24-25高二上·湖北·期中）经过点两点的直线的方向向量为，则k为（    ） A．2 B．4 C． D． 【解题思路】根据直线的斜率与方向向量关系即可求出答案. 【解答过程】经过两点的直线的方向向量为， 所以 ，解得 故选：A. 【题型9 已知直线的方向向量求直线方程】 【例9】（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知直线经过点，且它的一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用直线的点斜式方程求解即得. 【解答过程】因为直线的一个方向向量为，则直线的斜率为3，而直线过点， 所以直线的方程为，即. 故选：C. 【变式9.1】（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）过点且方向向量为的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据方向向量求得直线斜率，再由点斜式化简可得结果. 【解答过程】易知方向向量为的直线斜率为， 所以直线的方程为，即. 故选：C. 【变式9.2】（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知直线l的一个方向向量为，若l过点，则直线l的方程为（） A． B． C． D． 【解题思路】根据方向向量求出直线的斜率，再由点斜式写出方程即可. 【解答过程】根据直线的方向向量可得直线的斜率为，又因为直线过点， 所以直线的方程为, 故选：A. 【变式9.3】（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）过点且方向向量为的直线的一般式方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据方向向量可得直线斜率，即可根据点斜式求解直线方程. 【解答过程】由于方向向量为，故斜率为，故直线方程为， 即， 故选：B. 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南长沙·期末）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由直线的点斜式方程即可求解. 【解答过程】因为倾斜角为，所以， 由直线的点斜式方程得. 故选：B. 2．（24-25高二上·河南漯河·期末）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将直线方程化为截距式方程，结合截距的定义可得结果. 【解答过程】直线的方程化为截距式方程为，因此，直线在轴上的截距为. 故选：C. 3．（24-25高二上·山东菏泽·期末）已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据方向向量写出直线斜率，再由点斜式写出直线方程. 【解答过程】由l的一个方向向量为，则其斜率为， 所以直线l的方程为，则. 故选：C. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【解答过程】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 5．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据倾斜角求出直线斜率得解. 【解答过程】因为y轴的倾斜角为， 所以直线l的倾斜角为，直线斜率， 所以直线l的方程为， 故选：D. 6．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如果，那么直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】将直线的方程化为斜截式，即可根据斜率和截距的正负求解. 【解答过程】因为，故，故直线的斜截式方程为：， 因为，故， 故直线经过第一象限､第三象限､第四象限， 故选：B. 7．（24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 【解题思路】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断A；令，求出直线过点可判断B和C；根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量共线可判断D. 【解答过程】设直线的倾斜角为，， 对于A，直线的斜率为，所以，则，故A错误； 对于B，当时，，即直线过点，且倾斜角为， 所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故B错误； 对于C，由B知，直线在轴上的截距为，故C错误； 对于D，当时，，即直线过点， 则，所以直线的一个方向向量为，故D正确. 故选：D. 8．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】直线恒过定点，若直线与线段有交点，画图图形，求出临界时直线的斜率与直线的斜率，即可得解. 【解答过程】由得， 因此直线过定点，且斜率， 如图所示，当直线由直线按顺时针方向旋转到直线的位置时，符合题意．    易得，． 结合图形知或，解得或， 即的取值范围是． 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．直线的倾斜角为 B．方程与方程可表示同一直线 C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D．过两点，的直线都可用方程表示 【解题思路】对于A，先求斜率，进而可得倾斜角；对于B，注意区分方程与方程的不同之处，对于C，设直线l：，进而可得截距，根据题意进行求解即可，对于D，根据两点式方程的变形进行判断即可. 【解答过程】对于选项A：直线的斜率， 所以倾斜角为，故A正确； 对于B，表示过点，斜率为的直线，但不含点， 而表示过点，斜率为的直线，且含点，故B错误； 对于C：因为直线经过点，故斜率存在且不为0， 设直线为，令，则；令，则， 因为在，轴上截距互为相反数，则， 解得或， 所以直线方程为或，故C错误； 对于D，方程为直线两点式方程的变形， 可以表示经过任意两点，的直线，故D正确. 故选：AD. 10．（24-25高二上·青海海南·期中）直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分类讨论直线l是否过原点，结合截距式方程运算求解即可. 【解答过程】当直线l过原点时，直线l的方程为，即； 当直线l不过原点时，设直线l的方程为， 则，解得， 则直线l的方程为，即； 综上所述：直线l的方程可能是或. 故选：BD. 11．（24-25高二上·江苏连云港·期中）设直线过两点和，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．直线在轴上的截距为 D．直线在轴上的截距为 【解题思路】先根据条件表示出直线方程，然后逐一分析每个选项. 【解答过程】根据斜率公式，，故A错误， 设直线倾斜角为，由倾斜角的定义，，且，则，B正确， 根据点斜式方程，直线的方程可写作，即， 令，则，令，则， 故直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，C正确，D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（24-25高二上·云南红河·阶段练习）过点且倾斜角为的直线方程为 . 【解题思路】根据直线的倾斜角及其所过点的坐标求出直线的方程. 【解答过程】由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴， 所以其直线方程为. 故答案为：. 13．（24-25高二上·天津和平·阶段练习）直线过点，且在 轴上的截距是在 轴上截距的 2 倍，则该直线的斜率是 或 . 【解题思路】分析直线过原点和不过原点的两类情况作讨论即可求解. 【解答过程】若直线过坐标原点，则，此时横纵截距都等于0,满足题意; 若直线不过坐标原点，设直线的方程为, 因为直线过点, 所以,解得, 所以直线方程为,此时. 故直线的斜率为或. 故答案为：或. 14．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知直线l过点，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为 ． 【解题思路】设出截距式方程，代入已知点坐标求解． 【解答过程】由题意设直线方程为，且， 又直线过点，则，， 所以直线方程为，即． 故答案为：． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【解题思路】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果； （2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可； （3）由直线与轴垂直，斜率不存在，不能使用点斜式方程. 【解答过程】（1）直线的点斜式方程为：. （2）由倾斜角是，则直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为：. （3）由于直线与轴垂直，斜率不存在， 所以该直线的方程为． 16．（24-25高二上·上海·课后作业）若直线l的一般式方程为，直线l经过点，求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值，并求此时a的值． 【解题思路】根据直线经过点得，然后利用基本不等式可得答案. 【解答过程】由直线的一般式方程， 可知直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以直线在轴和轴上的截距之和为． 直线经过点，得． 因此． 因为， 当且仅当时取等号，所以， 此时． 17．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知直线经过点． (1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 【解题思路】（1）利用截距式，设直线的方程为，再根据面积和经过的得到方程组，解出即可； （2）分直线过原点和不过原点讨论即可. 【解答过程】（1）由题意可设直线的方程为， 代入有，又由题意得，则， 联立解得或， 则直线的方程为或， 即或. （2）当直线经过原点时，则，则，即； 当直线不经过原点时，设，代入，则有，解得， 即. 综上所述，直线的方程为或. 18．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【解题思路】根据题给条件设直线方程即可. （1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解. （2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可. （3）设截距，考虑截距为和不为的情况，根据点斜式写直线方程即可. 【解答过程】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为. （2）因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为. （3）设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过 当截距时，直线过，，则，即； 当截距时，直线斜率，则，即. 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和. 19．（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【解题思路】（1）设直线的方程为，将点代入，进一步求出和的值，从而求出答案； （2）借助（1）中求出的和，结合面积公式即可求. 【解答过程】（1）由于直线在两坐标轴上的截距之和为12， 因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点， 故可设直线方程为：，且，① 又因为直线过点， 所以，② 由①②解得或， 所以直线的方程为：或， 即或. （2）由（1）可知，当直线的方程为时， ； 当直线的方程为时， ， 所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为或. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$