专题2.1直线的倾斜角与斜率重难点题型讲义（二）（3个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019选修第一册）

该高中数学讲义围绕直线的倾斜角与斜率构建了系统化复习体系，通过知识框架图清晰呈现三个核心知识点与十二大题型的逻辑脉络，用表格对比斜率与倾斜角的变化关系，借助思维导图梳理平行垂直判定的条件与应用情境，突出重难点之间的内在联系，帮助学生建立结构化认知。 讲义的亮点在于“问题驱动+方法提炼”的练习设计，如经典例题六中利用斜率公式解决举架结构的实际问题，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，又如拓展训练三中通过参数讨论判断直线位置关系，强化逻辑推理意识。每类题型均配备变式训练和易错警示，基础薄弱生可掌握基本模型，优等生能提升综合建模能力，教师据此实现分层教学与精准施策，助力学生从理解走向迁移应用。

专题2.1直线的倾斜角与斜率重难点题型专训 （3个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 直线的倾斜角 题型二 直线斜率的定义 题型三 斜率与倾斜角的变化关系 题型四 已知两点求斜率 题型五 已知斜率求参数 题型六 斜率公式的应用 题型七 直线与线段的相交关系求斜率范围 题型八 由斜率判断两条直线平行 题型九 由斜率判断两条直线垂直 题型十 已知直线平行求参数 题型十一 已知直线垂直求参数 题型十二 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 拓展训练一 直线倾斜角与斜率的定义及相关性 拓展训练二 斜率相关问题求解及应用 拓展训练三 直线平行、垂直的应用 知识点一：直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【即时训练】 1．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 知识点二：两条直线平行的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 【即时训练】 1．（23-24高二·全国·课后作业）直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．不能确定 2．（23-24高二下·湖南株洲·阶段练习）已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，当时，m＝ 知识点三：两条直线垂直的判定】 1．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【即时训练】 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（   ） A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合 2．（22-23高二上·河南商丘·期中）若，，，则的外接圆面积为 ． 【经典例题一 直线的倾斜角】 【例1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二下·全国·课堂例题）设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，求的倾斜角. 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·全国·课堂例题）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海·期末）斜率为的直线的倾斜角为 ． 4．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向之间所成的角为，如图所示，求直线的倾斜角. 【经典例题二 直线斜率的定义】 【例1】（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）某棵果树前n年的总产量与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，求m的值. 1．（24-25高二上·广西·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围（  ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·重庆渝北·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．直线的倾斜角为，且，则为锐角 B．直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．若直线的倾斜角为，则 D．任意直线都有倾斜角，且时，斜率为 3．（23-24高二下·全国·课堂例题）若是直线的一个法向量，则直线的斜率为 ，倾斜角的大小为 ． 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥l2，求直线l1，l2的斜率． 【经典例题三 斜率与倾斜角的变化关系】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求直线倾斜角的取值范围． 1．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线的斜率分别是，倾斜角分别是，且，则下列关系可能正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）直线倾斜角的取值范围是 ． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与向上的方向所成的角为，若的倾斜角为，求直线的斜率. 【经典例题四 已知两点求斜率】 【例1】（23-24高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）求经过两点，的直线的斜率． 1．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）下列三点在同一条直线上的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26高二上·全国·单元测试）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁．如图是一座斜拉桥，共有10对拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距均为4.4m，拉索下端相邻两个锚的间距，均为16m，最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为 ． 4．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，三点． (1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值． (2)三点可能共线吗？若能，求出m值． 【经典例题五 已知斜率求参数】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 1．（24-25高二上·山东·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 2．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）过两不同点的直线的斜率为1，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，直线的斜率等于直线的斜率的3倍，求的值． 【经典例题六 斜率公式的应用】 【例1】（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【例2】（2025高二·全国·专题练习）一束光线从点射入，经过轴（镜面）上的点反射后，过点，求点的坐标． 1．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）已知直线，则直线l的倾斜角为（    ） A．120° B．60° C．30° D．150° 2．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023高二上·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 . 4．（2024高二·全国·专题练习）已知实数满足，试求的取值范围． 【经典例题七 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例1】（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知点，直线与线段相交，求实数的取值范围． 1．（24-25高二上·广西玉林·阶段练习）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·四川雅安·期中）直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知点，直线与线段的延长线相交，求实数的取值范围． 【经典例题八 由斜率判断两条直线平行】 【例1】（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线：，直线：，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或重合 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 1．（22-23高二上·北京·期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）下列各直线中，与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·全国·课前预习）直线，那么与 . 4．（2022高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点； (3)的倾斜角为，经过点； (4)平行于轴，经过点． 【经典例题九 由斜率判断两条直线垂直】 【例1】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）直线与 (不同时为0)的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与的值有关 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知平面直角坐标系中三点，，．证明：是直角三角形．    1．（24-25高一上·四川成都·开学考试）在平面直角坐标系中，两条直线（    ）时候垂直？ A．斜率之积为-1时 B．两条直线有1个公共点的时候 C．两条直线分别与坐标轴垂直的时候 D．以上答案均不正确 2．（多选）（23-24高二上·山西朔州·阶段练习）下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·全国·课前预习）若直线，则 . 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知正方形ABCD的边长为4，若E是BC的中点，F是CD的中点，求证:BF⊥AE. 【经典例题十 已知直线平行求参数】 【例1】（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知两条直线和，且，求实数的值. 1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）若直线与直线互相平行，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或-1 2．（多选）（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知直线，直线，若，则a的可能值为（   ） A．1 B． C．0 D． 3．（25-26高二上·山西临汾·开学考试）已知直线，直线，若，则 ． 4．（22-23高二·江苏·假期作业）设直线的方程为，若直线与轴平行，求实数的值 【经典例题十一 已知直线垂直求参数】 【例1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·新疆喀什·阶段练习）已知直线互相垂直，求实数的值 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．（多选）（22-23高二上·海南海口·期中）若直线和互相垂直，则实数的值是（    ） A． B．0 C．3 D．1 3．（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知直线和直线的方向向量分别为，若，则实数的值是 ． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为直角三角形，，求点的坐标． 【经典例题十二 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例1】（23-24高一·全国·课后作业）已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为 A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 1．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）已知等腰直角三角形的斜边所在的直线是，直角顶点是，则两条直角边，的方程是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高二·全国·课后作业）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为 . 4．（2023高一下·内蒙古赤峰·期中）已知A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD． 【拓展训练一 直线倾斜角与斜率的定义及相关性】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.如图，以大五角星的中心点为原点建立直角坐标系，，，，分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线，，则第三颗小五角星的一条边所在直线的倾斜角约为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与x轴交于点A点，与y轴交于点B． (1)若，求a的值； (2)求直线l的倾斜角的取值范围． 1．（2024·江苏南通·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）直线倾斜角为，且过点，则 ． 4．（23-24高二下·全国·课后作业）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 【拓展训练二 斜率相关问题求解及应用】 【例1】（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）已知点，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°. 1．（23-24高二上·安徽六安·阶段练习）若过两点，的直线的倾斜角为，则（    ） A．-2或-1 B．1 C．-1 D．-2 2．（多选）（22-23高二上·山西长治·阶段练习）已知点,若过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）直线的斜率为，直线的斜率为，直线不与直线垂直，且直线和直线夹角的角平分线的斜率为，则的取值范围是 . 4．（22-23高二上·上海浦东新·开学考试）设直线l的方程是，其倾斜角为． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若将倾斜角用m表示，求关于m的函数关系． 【拓展训练三 直线平行、垂直的应用】 【例1】（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【例2】（23-24高一下·内蒙古乌兰察布·期中）直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 1．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线和直线，以下论述中： （1）当或时,与相交; （2）当时,或 （3） 当且仅当时, （4）当时, 正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（多选）（23-24高二上·山西大同·期中）已知直线，直线，下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距等于直线在轴上的截距 B．若点在直线上，则点也在直线上 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线与垂直，则实数 . 4．（23-24高一上·甘肃平凉·期末）已知，，． (1)求点的坐标，满足，； (2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 1．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知直线经过，两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高二上·全国·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北·阶段练习）已知点，点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·宁夏中卫·三模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 5．（24-25高二上·河南焦作·期末）已知直线与互相垂直，则（   ） A．-2或0 B．-1 C．0 D．-2 6．（多选）（24-25高二上·河北保定·期中）已知，若直线与线段相交，则m的值可能为（   ） A． B．4 C．10 D． 7．（多选）（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）下列各组中的三点共线的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）若直线与直线平行，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（23-24高二上·黑龙江七台河·期中）已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数（    ）． A． B． C． D． 10．（多选）（22-23高二上·福建莆田·期中）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（2025高二上·上海·专题练习）已知点，则直线的倾斜角为 12．（2025高三·全国·专题练习）设，则直线的倾斜角为 ． 13．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数 . 14．（24-25高二下·湖南·开学考试）已知，设直线，，若，则 ． 15．（2025·河南信阳·模拟预测）已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为 ． 16．（2025高三·全国·专题练习）已知点，直线与线段的延长线相交，求实数的取值范围． 17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 18．（2024高二·全国·专题练习）已知直线l过点，，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围． 19．（2025高二·全国·专题练习）已知直线，，分别求满足下列条件的的值： (1)； (2)． 20．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1直线的倾斜角与斜率重难点题型专训 （3个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 直线的倾斜角 题型二 直线斜率的定义 题型三 斜率与倾斜角的变化关系 题型四 已知两点求斜率 题型五 已知斜率求参数 题型六 斜率公式的应用 题型七 直线与线段的相交关系求斜率范围 题型八 由斜率判断两条直线平行 题型九 由斜率判断两条直线垂直 题型十 已知直线平行求参数 题型十一 已知直线垂直求参数 题型十二 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 拓展训练一 直线倾斜角与斜率的定义及相关性 拓展训练二 斜率相关问题求解及应用 拓展训练三 直线平行、垂直的应用 知识点一：直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【即时训练】 1．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由倾斜角与斜率关系即可求解. 【详解】设倾斜角为，，则，解得，故倾斜角为， 故选：A. 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据题意求出直线的倾斜角，由此可得出实数的值. 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 因为直线与直线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 若直线的倾斜角为，则不存在； 若直线的倾斜角为，则. 综上所述，. 故答案为：. 知识点二：两条直线平行的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 【即时训练】 1．（23-24高二·全国·课后作业）直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．不能确定 【答案】D 【分析】根据直线方程判断直线的位置关系，注意讨论参数的数量关系. 【详解】当时，两直线重合， 当时，两直线平行， 所以题设两直线位置可能重合、平行. 故选：D 2．（23-24高二下·湖南株洲·阶段练习）已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，当时，m＝ 【答案】1 【分析】根据两直线平行的判定方法即可求得结果 【详解】因为，且斜率一定存在，所以，即， 又因为，为两条不同的直线，所以，所以 故答案为：1 知识点三：两条直线垂直的判定】 1．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【即时训练】 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（   ） A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合 【答案】C 【分析】设两直线的斜率分别为，利用根与系数的关系，即可得到，即可判断. 【详解】设两直线的斜率分别为，因为是方程的两根， 利用根与系数的关系得，所以两直线的位置关系是垂直. 故选：C 2．（22-23高二上·河南商丘·期中）若，，，则的外接圆面积为 ． 【答案】 【分析】由斜率得，从而可得是直角三角形的斜边，也是的外接圆的直径，求得长后得圆半径，从而得圆面积． 【详解】，，，∴，是直角三角形的斜边，也是的外接圆的直径， ，外接圆半径为， 圆表面积为． 故答案为：． 【经典例题一 直线的倾斜角】 【例1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程和倾斜角定义求解. 【详解】直线为平行于轴的直线， 所以倾斜角为. 故选：B 【例2】（23-24高二下·全国·课堂例题）设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，求的倾斜角. 【答案】 【分析】利用直线的倾斜角的范围是，分类讨论即可得出. 【详解】若，则的倾斜角范围，倾斜角为； 若，则的倾斜角范围，倾斜角为. ∴的倾斜角为. 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点坐标得到直线为，即可得倾斜角. 【详解】由过点和点的直线为，即其倾斜角为. 故选：B 2．（多选）（24-25高二上·全国·课堂例题）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分类讨论，结合倾斜角概念可解. 【详解】根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知， 当时，的倾斜角为； 当时，的倾斜角为． 故选：AB 3．（24-25高二下·上海·期末）斜率为的直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系直接可得解. 【详解】设直线的倾斜角为，且， 则斜率， 解得， 故答案为：. 4．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向之间所成的角为，如图所示，求直线的倾斜角. 【答案】 【分析】根据给定图形，结合倾斜角的定义求解. 【详解】设直线的倾斜角为，结合图形及三角形外角与内角的关系， 得， 所以直线的倾斜角为. 【经典例题二 直线斜率的定义】 【例1】（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线方程可知斜率，进而可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 直线，即为， 可知直线的斜率为，所以倾斜角. 故选：D. 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）某棵果树前n年的总产量与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，求m的值. 【答案】9 【分析】前年的年平均产量表示的是点与原点组成的斜率，观察图象即可得到答案. 【详解】前n年的年平均产量即前n年的总产量在上的平均变化率，即点与原点连线的斜率.连接各点与原点0，可知当时，连线的斜率最大，所以m的值为9. 故答案为：9 1．（24-25高二上·广西·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线斜率的定义，结合正切函数的单调性即可得到结果. 【详解】根据题意，直线的斜率为，由此得， 又因为，所以结合正切函数的单调性，可得. 故选：D 2．（多选）（23-24高二上·重庆渝北·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．直线的倾斜角为，且，则为锐角 B．直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．若直线的倾斜角为，则 D．任意直线都有倾斜角，且时，斜率为 【答案】AD 【分析】根据题意，由直线的倾斜角、斜率的定义，逐一分析选项，即可得出答案. 【详解】解：对于A，因为，且，则为锐角，故A正确； 对于B，虽然直线的斜率为，但只有时，才是此直线的倾斜角，故B错误； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，任意直线都有倾斜角，且时，斜率为，故D正确. 故选：AD. 3．（23-24高二下·全国·课堂例题）若是直线的一个法向量，则直线的斜率为 ，倾斜角的大小为 ． 【答案】 【分析】由直线的法向量得到直线斜率，进而得到倾斜角. 【详解】由题意知，向量是直线的一个法向量，可得斜率为， 设直线的倾斜角为，可得，可得 则直线的倾斜角的大小为. 故答案为：；. 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥l2，求直线l1，l2的斜率． 【答案】直线l1，l2的斜率分别为， 【分析】由倾斜角得出直线l1的斜率，先由l1⊥l2得出直线l2的倾斜角，再由斜率公式，得出l2的斜率. 【详解】l1的斜率 的倾斜角α2=90°+30°=120° 的斜率 【点睛】本题主要考查了求直线的斜率，属于基础题. 【经典例题三 斜率与倾斜角的变化关系】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系及题图判断斜率的大小关系. 【详解】若对应倾斜角为，由图知，， 所以. 故选：D 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求直线倾斜角的取值范围． 【答案】 【分析】先求斜率的取值范围，根据倾斜角和斜率的关系，分情况讨论即可. 【详解】由. 所以直线的斜率为：. 设倾斜角为，则（）. 所以当时，； 当时，. 综上，倾斜角的取值范围为：. 故答案为： 1．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率求出倾斜角即可. 【详解】设直线的倾斜角为， 直线的斜率是， 因为，所以. 故选：B. 2．（多选）（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线的斜率分别是，倾斜角分别是，且，则下列关系可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可判断. 【详解】当倾斜角都为锐角或都是钝角时，； 当为两个锐角，即为锐角，是钝角时，； 一个锐角，即为锐角，是钝角时，. 故选:ABD 3．（2025高三·全国·专题练习）直线倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求斜率的取值范围，根据倾斜角和斜率的关系，分情况讨论即可. 【详解】由. 所以直线的斜率为：. 设倾斜角为，则（）. 所以当时，； 当时，. 综上，倾斜角的取值范围为：. 故答案为： 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与向上的方向所成的角为，若的倾斜角为，求直线的斜率. 【答案】 【分析】设直线的倾斜角为，斜率为，确定，计算斜率即可. 【详解】如图，设直线的倾斜角为，斜率为，则， 故. 故直线的斜率为. 【经典例题四 已知两点求斜率】 【例1】（23-24高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，计算即可得答案. 【详解】依题意，， ，则点，， 所以拉索所在直线的斜率. 故选：D 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）求经过两点，的直线的斜率． 【答案】 【分析】根据两点对应的斜率的计算公式求解出直线的斜率. 【详解】当时，直线的斜率不存在； 当时，直线的斜率． 故直线的斜率为. 1．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，写出平移后点的坐标，由此点也在原直线上，计算斜率即可． 【详解】解：设是直线上任意一点，则平移后得点， 则直线的斜率． 故选：A． 2．（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）下列三点在同一条直线上的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BCD 【分析】根据各项的坐标，应用两点斜率公式判断点是否共线即可. 【详解】A：，故三点不共线，错； B：，故三点共线，对； C：三点的横坐标都相等，斜率不存在，故三点共线，对； D：三点的纵坐标都相等，斜率为0，故三点共线，对. 故选：BCD 3．（25-26高二上·全国·单元测试）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁．如图是一座斜拉桥，共有10对拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距均为4.4m，拉索下端相邻两个锚的间距，均为16m，最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，即可求解点的坐标，由斜率公式即可求解. 【详解】以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 根据题意，最短拉索的锚，满足，，且均为4.4m， 均为16m，则，即点， 同理，又，即点， 所以，， 即最长拉索所在直线的斜率为． 故答案为： 4．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，三点． (1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值． (2)三点可能共线吗？若能，求出m值． 【答案】(1)1 (2)3 【分析】（1）利用斜率与倾斜角的关系式及斜率公式即可求解； （2）三点共线，则，结合斜率公式即可求解. 【详解】（1）过两点的直线斜率， 所以，解得. （2），， 若三点共线，则， 即，解得， 所以当时，三点共线. 【经典例题五 已知斜率求参数】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率公式可得出，可得出实数的值. 【详解】由于、、三点共线，则， 即，解得. 故选：A. 【例2】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标. 【答案】或 【分析】由点在坐标轴上，分轴两类情况设点的坐标，由斜率建立等式求解方程可得. 【详解】若点在轴上，设，又点， 则直线的斜率，解得， . 若点在轴上，设， 则直线的斜率，解得. 故点的坐标为或. 1．（24-25高二上·山东·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，由直线斜率的计算公式代入计算，然后检验，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，化简可得， 解得或， 当时，，两点重合，故舍去. 所以. 故选：A 2．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）过两不同点的直线的斜率为1，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用两点的斜率公式，建立方程求解，通过验根，可得答案. 【详解】根据题意可得，解得或． 当时，点重合，不符合题意，舍去． 当时，经验证，符合题意． 故选：C. 3．（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式列式求解即可. 【详解】根据题意可得，解得或， 当时，点A，B重合，不符合题意，舍去； 当时，经验证，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，直线的斜率等于直线的斜率的3倍，求的值． 【答案】 【分析】利用斜率公式求得、，由列式解得的值. 【详解】由题意知直线的斜率存在，即． 所以， 所以， 整理得，即， 解得或（舍去），所以． 【经典例题六 斜率公式的应用】 【例1】（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【答案】A 【分析】不妨设，根据以及斜率公式，建立方程，可得答案. 【详解】因为，所以， 不妨设，则． 由题意，知，即． 解得． 故选：A． 【例2】（2025高二·全国·专题练习）一束光线从点射入，经过轴（镜面）上的点反射后，过点，求点的坐标． 【答案】 【分析】解法一：设，由光的反射原理建立等式求解即可；解法二：求出点关于轴的对称点，设，由建立等式计算即可. 【详解】解法1：由光的反射原理易知，设， 则，解得，即． 解法2：因为点在入射光线上，所以点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上， 设，则， 所以，解得，即． 1．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）已知直线，则直线l的倾斜角为（    ） A．120° B．60° C．30° D．150° 【答案】D 【分析】根据直线方程得到，然后根据斜率与倾斜角的关系求倾斜角即可. 【详解】直线方程可整理为，即，所以直线的斜率， 设倾斜角为，则，因为，所以. 故选：D. 2．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式求解作答. 【详解】依题意，三点所在直线不垂直于x轴，因此直线的斜率相等， 于是，整理得，所以或. 故选：AC 3．（2023高二上·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】由于，，三点共线且、， 显然、的斜率存在，则， 所以，所以，所以. 故答案为： 4．（2024高二·全国·专题练习）已知实数满足，试求的取值范围． 【答案】 【分析】理解所求式的几何意义，作出已知函数图象，得出边界点，求出斜率范围即得. 【详解】如图，因，可知它表示经过定点与曲线段上任一点的直线的斜率．         分别把代入，即得，， ，． 由图可知，即得，． 故的取值范围是． 【经典例题七 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例1】（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【答案】A 【分析】先求得，再利用数形结合法求解. 【详解】， 如图所示： 由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是， 故选：A 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知点，直线与线段相交，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】根据给定条件，利用公式求出，结合的取值情况求出范围. 【详解】设直线与线段相交于点， 当P不与重合时，由，得，解得或， 当直线过点时，，即；当直线过点时，，即， 所以实数的取值范围是. 1．（24-25高二上·广西玉林·阶段练习）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点式斜率公式求出直线和直线的斜率，根据斜率的变化规律数形结合即可求解. 【详解】由题得，， 因为直线l与连接，两点的线段总有公共点，结合图可知，. 故选：B    2．（多选）（24-25高二上·四川雅安·期中）直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分别计算出直线过点、时的斜率，结合斜率定义即可得直线的斜率的取值范围，即可得解. 【详解】当直线过点时，设直线的倾斜角为，则 ， 当直线过点时，设直线的倾斜角为，则 ， 故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点， 则直线的斜率的取值范围为或. 故选：ACD. 3．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 【答案】 【分析】首先利用两点式斜率公式求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围. 【详解】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点，所以或， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 故答案为：． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知点，直线与线段的延长线相交，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】根据给定条件，利用公式求出，结合的取值情况求出范围. 【详解】定理：已知点、及不过点的直线， 且直线与交于点，则. 设直线与线段的延长线相交于点， 由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 【经典例题八 由斜率判断两条直线平行】 【例1】（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线：，直线：，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或重合 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论直线的位置关系. 【详解】直线可化为， 所以当时，两直线重合； 当时，两直线相交. 故选：D 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)与不平行，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)与重合，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）根据直线是否平行与斜率以及截距的关系一一分析即可. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，． 所以与不平行． （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，， 所以与重合． 1．（22-23高二上·北京·期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断． 【详解】由于与为两条不重合的直线且斜率分别为，，所以，故①②正确； 由于与为两条不重合的直线且倾斜角分别为，，所以，故③④正确， 所以正确的命题个数是4． 故选：D． 2．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）下列各直线中，与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据直线平行的充要条件一一判定即可. 【详解】两直线， 其平行的充要条件为且或， 对于A项，易知且，即A正确； 对于B项，易得，有且，即B正确； 对于C项，易知且，即C正确； 对于D项，易知，D项不符合. 故选：ABC 3．（23-24高二下·全国·课前预习）直线，那么与 . 【答案】平行 【分析】根据两条直线斜率关系即可判断. 【详解】由题可得，且与不重合，所以与平行； 故答案为：平行 4．（2022高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点； (3)的倾斜角为，经过点； (4)平行于轴，经过点． 【答案】(1) (2)直线与直线重合 (3)直线与直线平行或重合 (4) 【分析】根据直线的斜率求得正确答案. 【详解】（1）由题意知，， 所以直线与直线l2平行或重合， 又，故． （2）由题意知，，所以直线与直线平行或重合， 又，故直线与直线重合． （3）由题意知，，则， 所以直线与直线平行或重合． （4）由题意知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以． 【经典例题九 由斜率判断两条直线垂直】 【例1】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）直线与 (不同时为0)的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与的值有关 【答案】B 【分析】判断两条直线的位置关系，分类讨论，通过计算斜率的乘积来确定即可. 【详解】当、都不为时,直线的斜率为，直线的斜率为.因为两条直线斜率的乘积为：，所以两条直线垂直. 当，时,直线可化为，其斜率不存在. 直线可化为，其斜率为，此时两条直线垂直. 当，时,直线可化为，其斜率为. 直线可化为，其斜率不存在，此时两条直线垂直. 故选：B. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知平面直角坐标系中三点，，．证明：是直角三角形．    【答案】证明见解析 【分析】根据直线和直线的斜率以及两直线的位置关系等知识证得结论成立. 【详解】证明：由条件可知，，． 因为，所以，即是直角三角形． 1．（24-25高一上·四川成都·开学考试）在平面直角坐标系中，两条直线（    ）时候垂直？ A．斜率之积为-1时 B．两条直线有1个公共点的时候 C．两条直线分别与坐标轴垂直的时候 D．以上答案均不正确 【答案】A 【分析】由两直线垂直的定义逐个判断即可. 【详解】对于A：斜率之积为-1时，两直线垂直，正确 对于B：两条直线有1个公共点的时候，可能相交但不垂直，错误 对于C：两条直线分别与坐标轴垂直的时候，如果是同一坐标轴，那么平行，错误 对于D：错误 故选：A 2．（多选）（23-24高二上·山西朔州·阶段练习）下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由两条直线斜率相乘为-1，判断两直线的垂直. 【详解】直线的斜率为4，则与直线垂直的直线的斜率为，符合条件的为B、C项. 故选：BC 3．（23-24高二下·全国·课前预习）若直线，则 . 【答案】 【分析】通过讨论斜率是否存在，确定充要条件. 【详解】已知直线，（、、、、、为常数）. 当直线和的斜率都存在时，则，， 直线的斜率为，直线的斜率为，若，则，可得； 当直线和分别与两坐标轴垂直，不妨设轴，则轴，则，，满足. 综上所述，若直线，则； 故答案为： 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知正方形ABCD的边长为4，若E是BC的中点，F是CD的中点，求证:BF⊥AE. 【答案】证明见解析 【分析】建立平面直角坐标系,如图所示,再利用斜率相乘为-1，即可得到答案； 【详解】建立平面直角坐标系,如图所示,则,所以,又 所以. 【经典例题十 已知直线平行求参数】 【例1】（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 【答案】B 【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可. 【详解】因为两直线平行，所以： ， 所以或. 故选：B 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知两条直线和，且，求实数的值. 【答案】或. 【分析】直接根据平行得，解出再检验即可. 【详解】若两直线平行，则，解得：或. 检验：当时，直线，直线，两直线平行； 当时，直线，即，直线，两直线平行， 所以或. 1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）若直线与直线互相平行，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或-1 【答案】A 【分析】根据平行直线的性质进行求解即可. 【详解】因为直线与直线互相平行， 所以有且， 解得， 故选：A 2．（多选）（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知直线，直线，若，则a的可能值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】ACD 【分析】根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据直线平行列方程来求得的可能取值. 【详解】考虑直线斜率存在的情况 当且时，直线：，其斜率； 直线：，其斜率. 因为，所以，即：， ，， ，，， 解得或或（舍去）. 当时，直线：，直线：，两直线平行. 当时，直线：，直线：，两直线平行. 考虑特殊情况 当时，直线：，即； 直线：，即，两直线平行. 当时，直线：，直线：，两直线不平行. 综上，或或. 所以ACD选项正确，B选项错误. 故选：ACD 3．（25-26高二上·山西临汾·开学考试）已知直线，直线，若，则 ． 【答案】 【分析】由两条直线平行列式计算即可. 【详解】若，则，解得， 检验，当时，，， 此时成立，符合题意，故. 故答案为：. 4．（22-23高二·江苏·假期作业）设直线的方程为，若直线与轴平行，求实数的值 【答案】 【分析】由，解得或，再代入直线方程检验即可. 【详解】若直线与轴平行，则，解得或， 当时，直线的方程为，不成立； 当时，直线的方程为,符合题意； 综上，实数的值为． 【经典例题十一 已知直线垂直求参数】 【例1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线垂直的充要条件可求解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·新疆喀什·阶段练习）已知直线互相垂直，求实数的值 【答案】0或1 【分析】根据直线垂直的结论计算即可. 【详解】因为直线互相垂直， 所以根据直线垂直的结论知道，， 解得， 即或. 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据两直线方程垂直，分类求解的值. 【详解】若则直线与垂直，满足题意， 若则,则. 综上所述，则或. 故选：C 2．（多选）（22-23高二上·海南海口·期中）若直线和互相垂直，则实数的值是（    ） A． B．0 C．3 D．1 【答案】BC 【分析】根据两直线垂直的条件求解． 【详解】由题意，解得或． 故选：BC． 3．（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知直线和直线的方向向量分别为，若，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】由题意知，可得，从而可求解. 【详解】由题意可得直线的方向向量为，直线的方向向量为， 且，可得，则得， 所以可得. 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为直角三角形，，求点的坐标． 【答案】或． 【分析】根据题意，分别讨论角为直角的情况，结合斜率的乘积为，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为为直角三角形，，所以． 若，则，解得． 若，则，解得． 若，则，无解． 所以点坐标为或． 【经典例题十二 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例1】（23-24高一·全国·课后作业）已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由垂心的定义可知，；根据垂直时斜率乘积为可知，，利用两点连线斜率公式可构造出方程组求得结果. 【详解】为的垂心    ， 又， 直线斜率存在且， 设，则，解得：     本题正确选项： 【点睛】本题考查根据直线与直线垂直的位置关系求解参数的问题；关键是能够利用垂心的性质得到直线与直线的垂直关系. 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】根据直线的斜率和图象进行判断. 【详解】由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 1．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）已知等腰直角三角形的斜边所在的直线是，直角顶点是，则两条直角边，的方程是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据，所在直线互相垂直，则由验证即可. 【详解】因为，所在直线互相垂直， 所以其斜率， 经检验A，C，D故错误， 而选项B满足， 故选：B 【点睛】本题主要考查直线的方程以及垂直关系的判断，属于基础题. 2．（23-24高二·全国·课后作业）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 【答案】B 【分析】结合直角梯形的性质，利用两直线间的平行和垂直关系来判断即可得出结论. 【详解】，，则， 所以,与不平行， 因此 故构成的图形为直角梯形. 故选：B. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为 . 【答案】(3,4) 【分析】设D为(x,y)，由平行四边形知对边所在的直线斜率相等，列方程组即可求D的坐标. 【详解】设顶点D的坐标为(x,y)， ∵ABDC，ADBC， ∴，解得， ∴点D的坐标为(3,4). 故答案为：(3,4). 4．（2023高一下·内蒙古赤峰·期中）已知A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD． 【答案】D（0，1） 【分析】由已知可得，从而建立方程组，解之便可得正解. 【详解】 设，则 ， 【拓展训练一 直线倾斜角与斜率的定义及相关性】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.如图，以大五角星的中心点为原点建立直角坐标系，，，，分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线，，则第三颗小五角星的一条边所在直线的倾斜角约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作轴平行线，由五角星的内角和可求出，即可求出答案. 【详解】因为，分别为大五角星和第三颗小五角星的中心点， 所以平分第三颗小五角星的一个角， 又由五角星的角尖为知. 过作轴的平行线，如图，则. 所以直线的倾斜角约为.    故选：C. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与x轴交于点A点，与y轴交于点B． (1)若，求a的值； (2)求直线l的倾斜角的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，由的值分析直线的倾斜角，即可得直线的斜率，分析可得或，解可得a的值，即可得答案； （2）根据题意，直线的斜率，分类讨论的范围，分析可得倾斜角的范围，综合可得答案. 【详解】（1）根据题意，直线， 其斜率，在轴上的截距为， 若，则，，则直线的倾斜角为， 则有， 变形可得， 解可得：， 若，则，，则直线的倾斜角为， 则有， 变形可得， 解可得：， 综上：或 （2）根据题意，直线的斜率，设直线的倾斜角为. 当时，，直线的倾斜角为， 此时直线与x轴没有交点，不符合题意； 当时，， 又由，当且仅当时等号成立， 必有，则有，则； 当时，， 又由，当且仅当时等号成立， 必有，则有，则； 综上所述：故的取值范围为. 1．（2024·江苏南通·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将直线变形成斜截式，再根据倾斜角的取值范围结合直线斜率公式求得即可. 【详解】由题意可将原直线方程变形为， 由倾斜角的取值范围，所以倾斜角为.即A、 B 、C错误. 故选：D. 2．（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误. 【详解】A：由表明斜率存在，则， 由正切函数在上，倾斜角和斜率一一对应，故，对； B：若，时，相应的倾斜角，，不满足，错； C：由正切函数的图象知： 当和时，； 当，时，； 当或时，或不存在，错； D：因为，结合正切函数的图象知，， 所以，对. 故选：AD 3．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）直线倾斜角为，且过点，则 ． 【答案】 【分析】由题意求得，把点坐标代入即可求解. 【详解】由题意可知，则，由直线过点P，则得． 故答案为：. 4．（23-24高二下·全国·课后作业）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意线段∥，∥，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【详解】由题意知：∥，∥，设， 则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点A时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点A时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：， 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 【拓展训练二 斜率相关问题求解及应用】 【例1】（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线与直线的斜率，再结合直线与线段相交的条件，确定直线斜率的取值范围. 【详解】已知，，根据过两点直线斜率公式，可得： 已知，，同理可得： 当直线绕点从位置旋转到与轴重合时，斜率的范围是； 当直线绕点从与轴重合旋转到位置时，斜率的范围是. 所以直线斜率的取值范围是. 故选：B.    【例2】（23-24高一·全国·课后作业）已知点，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°. 【答案】或. 【分析】分类讨论，当点P在x轴上时，设点，利于斜率即可求出，当点P在y轴上时，设点，利用斜率公式可求. 【详解】①当点P在x轴上时，设点. 又， ∴直线PA的斜率又直线PA的倾斜角为， ∴，解得， ∴点P的坐标为. ②当点P在y轴上时，设点，同理可得， ∴点P的坐标为. 故所求点P的坐标为或. 【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，涉及分类讨论思想，属于中档题. 1．（23-24高二上·安徽六安·阶段练习）若过两点，的直线的倾斜角为，则（    ） A．-2或-1 B．1 C．-1 D．-2 【答案】D 【解析】由题意可得，故有，由此求得实数的值. 【详解】过两点，的直线的倾斜角为， 则有， 即， 即且， 解得， 故选：D. 【点睛】易错点睛：该题考查的是根据过两点的直线的倾斜角求参数的取值问题，在解题时应注意： （1）利用两点斜率坐标公式，得到参数满足的等量关系式； （2）在求解的过程中，分母不等于零常被忽略，导致错误. 2．（多选）（22-23高二上·山西长治·阶段练习）已知点,若过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设，求出直线、的倾斜角即得解. 【详解】设，由题得,所以直线的倾斜角为. 由题得,所以直线的倾斜角为. 由图可知直线与线段相交，须满足直线的倾斜角. 故选：BC 3．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）直线的斜率为，直线的斜率为，直线不与直线垂直，且直线和直线夹角的角平分线的斜率为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意画出图形，再由两条直线夹角的角平分线的斜率为，得到中的三线合一，即可求得的取值范围. 【详解】由于平移不影响斜率，不妨设两条直线都过原点， 设分别交于，，角平分线交于点， 所以， 又因为直线和直线夹角的角平分线的斜率为， 所以直线的斜率， 所以，即， 所以为中点. 由三线合一可得为以为底边的等腰三角形，且，所以， 因为不垂直，所以不是直角. 当为锐角时，则夹角为，所以； 当为钝角时，则夹角为的补角，夹角的角平分线为轴，斜率不存在，故不符合题意. 综上，的取值范围是. 故答案为： 4．（22-23高二上·上海浦东新·开学考试）设直线l的方程是，其倾斜角为． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若将倾斜角用m表示，求关于m的函数关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由斜率与倾斜角的关系即可建立不等式求解； （2）分别讨论、，由斜率与倾斜角的关系即可求得 【详解】（1）当，斜率，解得； （2）i.时，，； ii.时，，斜率，， 综上， 【拓展训练三 直线平行、垂直的应用】 【例1】（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】B 【分析】先根据两直线平行的条件列出方程，求出可能的值，再分别代入检验两直线是否重合，从而确定两直线平行的充要条件. 【详解】因为直线， 当时，，解得或， 当时，，此时两直线重合，舍去， 又时，，此时， 所以 “”的充要条件是“”. 故选：B. 【例2】（23-24高一下·内蒙古乌兰察布·期中）直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【详解】（1）由题知直线的斜率存在且， 若，则直线的斜率也存在，由， 得，解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时， 此时，斜率存在，不符合题意； 当时，直线的斜率存在且不为0， 则直线的斜率也存在，且， 即， 解得或， 所以当或时，． 1．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线和直线，以下论述中： （1）当或时,与相交; （2）当时,或 （3） 当且仅当时, （4）当时, 正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】直线和直线平行，则；若两直线垂直，则.根据这些结论分别判断每个论述的正确性即可. 【详解】对于直线和直线， 若两直线相交，则. 由可得. 解得且，所以（1）错误.   若，则. 由可得，即，解得或. 当时，即，，两直线重合. 同理，当，，,，满足题意，所以（2）错误.   由前面分析可知，当时，两直线平行，所以（3）正确.   若，则. 展开式子得，即，解得，所以（4）正确. 故正确的有（3）（4）. 故选：B. 2．（多选）（23-24高二上·山西大同·期中）已知直线，直线，下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距等于直线在轴上的截距 B．若点在直线上，则点也在直线上 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据直线的截距、直线与直线平行与垂直关系，逐项判断即可. 【详解】直线在轴上的截距为，直线在轴上的截距为2，不相等，故A错误； 若点在直线上，则，所以点在直线上，故B正确； 当时， 与重合，故C错误； 若，则，故D正确. 故选：BD 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线与垂直，则实数 . 【答案】或 【分析】根据直线垂直的系数要求求解即可. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得或， 故答案为：或. 4．（23-24高一上·甘肃平凉·期末）已知，，． (1)求点的坐标，满足，； (2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果； （2）根据条件可得即可求出结果. 【详解】（1）设， 由已知得， 又，可得， 即．　① 由已知得， 又，可得， 即．　② 联立①②解得， ∴． （2）设， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得． ∴， 又∵， ∴轴， 故直线MQ的倾斜角为90°． 1．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知直线经过，两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合两点坐标求直线的方程，根据直线方程确定直线的斜率. 【详解】 由已知得，两点的横坐标都是， 所以直线的方程是，直线是一条垂直于x轴的直线， 所以直线的倾斜角为. 故选：D. 2．（2025高二上·全国·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角大小即可判断三条直线斜率大小关系. 【详解】解：设直线，，的倾斜角分别为，，， 则由图知， 所以，， 即，． 故选：A. 3．（24-25高二上·河北·阶段练习）已知点，点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点斜率公式，即可结合图形，结合斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】由于, 结合图形关系可知：要使直线过点且与线段相交， 则直线的斜率或， 故选：B    4．（2025·宁夏中卫·三模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 【答案】D 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验即可. 【详解】依题意得，， 得， 解得或， 若时，直线与直线平行，符合题意； 若时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或． 故选：D 5．（24-25高二上·河南焦作·期末）已知直线与互相垂直，则（   ） A．-2或0 B．-1 C．0 D．-2 【答案】D 【分析】根据两直线垂直的公式，结合题意验根，可得答案. 【详解】由题可得，解得或（舍去）. 故选：D. 6．（多选）（24-25高二上·河北保定·期中）已知，若直线与线段相交，则m的值可能为（   ） A． B．4 C．10 D． 【答案】BC 【分析】求出直线经过的定点，然后求出直线、的斜率，根据题意列出不等式求解即可. 【详解】由，得， 令得 则直线过定点． 直线的斜率， 因为直线的斜率，直线的斜率， 所以或， 解得或． 故选：BC. 7．（多选）（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）下列各组中的三点共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】确定两点连线斜率是否存在，存在时求出每组中任意两点的斜率可判断． 【详解】对于A：，不共线； 对于B： ，共线； 对于C：，共线； 对于D：，共线. 故选：BCD 8．（多选）（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）若直线与直线平行，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用两直线平行的等价条件，即可解得实数的值. 【详解】因为直线与直线平行， 则，解得或. 故选：AB. 9．（多选）（23-24高二上·黑龙江七台河·期中）已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数（    ）． A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对参数分类讨论，根据直线垂直，即可求得结果. 【详解】当时，直线的斜率为，直线不存在斜率，此时满足直线互相垂直； 当时，直线的斜率为，直线的斜率为， 若两直线垂直，则，解得，满足题意. 综上所述：或. 故选：BC. 10．（多选）（22-23高二上·福建莆田·期中）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】应用直线平行、垂直的判定列方程求参数，注意验证即可得答案. 【详解】已知直线， 若，则，求得或， 经检验或都满足条件，故A正确，B不正确. 若，则，得，故C不正确，D正确. 故选：AD 11．（2025高二上·上海·专题练习）已知点，则直线的倾斜角为 【答案】 【分析】求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角的关系，即可求得答案. 【详解】由题意得直线的斜率， 设直线的倾斜角为α，则； 因为，所以； 故答案为： 12．（2025高三·全国·专题练习）设，则直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】先求直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系求倾斜角. 【详解】因为，所以. 由，所以直线的斜率为：. 设的倾斜角为，则． 由于，则．故． 故答案为： 13．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数 . 【答案】2 【分析】由直线垂直的充要条件列方程即可求解. 【详解】已知直线和互相垂直， 则，解得. 故答案为：2. 14．（24-25高二下·湖南·开学考试）已知，设直线，，若，则 ． 【答案】 【分析】由两直平行得到，求解并验证即可； 【详解】因为直线，，， 所以，即， 当时，直线重合，舍去， 当时，符合题意； 故； 故答案为： 15．（2025·河南信阳·模拟预测）已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】如图所示，质点由出发依次经BC，CD，DA反射后到达线段AB，相当于直线与线段MN相交，则 又因为，且， 即，所以， 故答案为：. 16．（2025高三·全国·专题练习）已知点，直线与线段的延长线相交，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】根据给定条件，利用公式求出，结合的取值情况求出范围. 【详解】定理：已知点、及不过点的直线， 且直线与交于点，则. 设直线与线段的延长线相交于点， 由，得， 由，解得， 所以实数的取值范围是. 17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析． 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率，解得． 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率，解得或． 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为， 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 18．（2024高二·全国·专题练习）已知直线l过点，，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围． 【答案】直线l的倾斜角的取值范围是，斜率的取值范围是． 【分析】根据斜率公式即可结合的取值求解. 【详解】设l的斜率为k，倾斜角为，当时，斜率k不存在，， 当时，，此时为锐角，， 当时，，此时为钝角， 所以直线l的倾斜角的取值范围是，斜率的取值范围是． 19．（2025高二·全国·专题练习）已知直线，，分别求满足下列条件的的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一般式方程两条直线平行的条件可得答案； （2）利用一般式方程两条直线垂直的条件可得答案． 【详解】（1）因为，所以，解得， 所以当时，； （2）因为，所以，解得， 所以当时，． 20．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1） 设，根据求解即可； （2） 因为表示直线的斜率，求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率，由此即可得答案． 【详解】（1）如图，当点在第一象限时，，    设，则，解得， 故点的坐标为. （2）由题意得为直线的斜率，如图，    当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，． 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $