2.2.3 直线的一般式方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“直线的一般式方程”核心知识点，前承点斜式、斜截式等特殊形式，通过“平面直角坐标系中任意直线是否可用二元一次方程表示”等思考搭建学习支架，后接方程互化、平行垂直判定及含参数直线应用，构建完整知识脉络。 该资料以问题驱动导入（观察同一直线不同方程形式）培养数学眼光，通过定义探究（思考1、2）发展抽象能力；例题策略总结（特殊式转一般式）和参数问题求解强化数学思维，规范一般式表达及分层检测（基础到素养拓展）提升数学语言应用。课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，巩固知识。

2.2.3 直线的一般式方程 新课导入 观察下列4条直线的方程：;;;,会发现它们表示同一条直线，那么它们有没有统一的形式呢？这就是我们要学习的直线的一般式方程. 学习目标 1.掌握直线的一般式方程. 2.理解关于，的二元一次方程（，不同时为0）都表示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化. 新知学习 探究 一 直线的一般式方程 思考1．平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程表示吗? 提示：可以.当直线斜率存在时，点斜式方程 可视为二元一次方程；当斜率不存在时,也可以认为是 的系数为0的二元一次方程. 思考2．任意一个关于，的二元一次方程都可以表示一条直线吗? 提示：可以.任意一个二元一次方程,不同时为0），当 时，;当 时，均表示直线. ［知识梳理］ 1．定义 关于，的二元一次方程_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （其中，不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式. 【答案】 2.直线方程的一般式与其他形式的互化 ［例1］ （对接教材例5）根据下列条件分别写出直线的一般式方程. （1） 斜率为，且经过点； （2） 过点，且垂直于轴； （3） 斜率是4，在轴上截距为； （4） 在轴、轴上的截距分别为，. 【答案】（1） 【解】由点斜式，可得，则直线的一般式方程为. （2） 因为直线垂直于 轴，且过点，则直线的一般式方程为. （3） 由斜截式，可得，则直线的一般式方程为. （4） 由截距式，可得，则直线的一般式方程为. 求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式. ［跟踪训练1］． （1） （多选）下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距是 B. 直线经过第一、二、三象限 C. 过点且在轴、轴上的截距互为相反数的直线方程为 D. 过点，且倾斜角为 的直线方程为 （2） 已知直线倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线的一般式方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） BD （2） 【解析】 （1） 选.对于，令，得，则直线 在 轴上的截距为2，故 错误； 对于，直线 的斜率为2，在 轴上的截距为5，易知直线 经过第一、二、三象限，故 正确； 对于，当直线截距均为0时，直线经过原点，设，代入点，得，此时直线方程为；当直线截距不为0时，设方程为，代入点，得，此时直线方程为，故 错误； 对于，倾斜角为 的直线斜率不存在，则过点 并且倾斜角为 的直线方程为，故 正确. （2） 设直线 的倾斜角为 ，,由题意知，则，所以斜率，又直线过点，所以直线 的方程为，即直线 的一般式方程为. 二 利用直线的一般式方程解决平行、垂直问题 角度1 由平行、垂直求直线方程 ［例2］ 求满足下列条件的直线的方程： （1） 直线过点，且与直线平行； （2） 直线过点，且与直线垂直. 【答案】 （1） 【解】方法一：由直线 与直线 平行，可得 的斜率. 又 过点，由点斜式可得，即. 方法二：由 与直线 平行，可设 的方程为， 将点 代入上式得，所以所求直线 的方程为. （2） 方法一：由直线 的斜率为，直线 与直线 垂直，可得直线 的斜率，又 过点，由点斜式可得，即. 方法二：由 与直线 垂直，可设 的方程为，将点 代入上式得，所以所求直线的方程为. 与已知直线平行（垂直）的直线方程的两种求法 （1）先求出已知直线的斜率，再利用平行（垂直）的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式求出直线方程. （2）利用待定系数法（直线系）求直线方程. 常用结论 （1）与直线平行的直线方程可设为. （2）与直线垂直的直线方程可设为. 角度2 由直线的平行、垂直求参数值 ［例3］ 已知,为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，. （1） 若，且经过点，求实数，的值； （2） 若且，求实数，的值. 【答案】 （1） 【解】因为，,且，所以，又直线 过点，所以，所以，所以， 所以 或 （2） 若 且， 则 解得 或 由于，不能同时为0，故 （1）平行问题：①如果直线的斜率存在，可将一般式化成斜截式进行判断；②如果一般式中的系数含参数，需根据系数是否为0分类讨论；，且（或）. （2）垂直问题：①如果直线的斜率存在且不为0，那么；. ［跟踪训练2］． （1） [（2025·淄博期中）]已知直线和直线，则“”是“两直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 （2） [（2025·宿迁期中）]已知点，直线. ① 求过点且与直线平行的直线的方程； ② 若点在直线上，且，求点的坐标. 【答案】（1） A （2） ① 解：设所求直线方程为，将点 的坐标代入得，所以， 所以所求直线方程为. ② 因为点 在直线 上， 设点，因为，且直线 的斜率为，故，解得，所以点 的坐标为. 【解析】 （1） 选.若直线 和直线 平行，则 解得 或，因此，“”是“两直线平行”的充分不必要条件. 三 含参数的直线一般式方程的应用 ［例4］ 已知直线. （1） 求证直线恒过定点，并求出该定点坐标； （2） 为使直线不经过第二象限，求的取值范围. 【答案】 （1） 【解】方法一：由， 得. 令 得 故直线 恒过定点. 方法二：由，得，表示过点 的点斜式方程，即直线恒过定点. （2） 设，则直线 的斜率为.如图所示，要使 不经过第二象限，需斜率，所以 的取值范围为. 母题探究．是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的取值范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由. 解：存在实数.由本例（1）知，直线 恒过第一象限的点， 设直线 与 轴和 轴分别交于，两点， 则,，,由题意，得 解得，所以存在实数,使得直线 与 轴和 轴的正半轴都相交. . 因为，所以,当，即 时，的面积取得最小值8. 含参直线方程的研究策略 （1）若方程表示直线，则需满足，不同时为0. （2）令可得在轴上的截距，令可得在轴上的截距，若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式. （3）解分式方程要注意验根. ［跟踪训练3］．已知过定点的直线分别交轴、轴的正半轴于点，，为坐标原点. （1） 若是线段的中点，求实数的值； （2） 求的最小值. 【答案】（1） 解：由题易得直线 过定点，又 为 的中点，故，故. （2） 设，，其中，，则直线 的方程可写成， 将 代入得，，故，当且仅当，即，时取等号，故 的最小值为. 课堂巩固 自测 1．（教材（3）改编）过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.若直线与 垂直，则其斜率为，又该直线过点，根据点斜式有，整理得. 2．（多选）（教材P66T2改编）已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过点 B. 直线的斜率为 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线在轴上的截距为 【答案】BD 【解析】选.对于，因为，即直线不过点，所以 不正确；对于，，由，得到，所以直线斜率为，在 轴上的截距为，所以，正确；对于，由直线，令，得到，所以 不正确. 3．已知直线，，若，则实数_ _ _ _ . 【答案】3 【解析】由，易知，则，可得，经验证满足题意. 4．已知直线. （1） 当直线在轴上的截距是它在轴上的截距的3倍时，求实数的值； （2） 求直线所过定点的坐标. 【答案】（1） 解：由条件知，且，在直线 的方程中，令 得，令 得，所以，解得 或，经检验，或 均符合要求,故实数 的值为1或. （2） 由， 得. 由 解得 所以直线 所过定点的坐标为. 1.已学习：直线的一般式方程、利用直线方程判定直线的平行与垂直. 2.须贯通：（1）直线方程的各种形式间的相互转化； （2）利用直线方程的一般式解决直线平行与垂直问题，体现了分类讨论、化归与转化的思想方法. 3.应注意：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况. 课后达标 检测 A 基础达标 1．直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由题设得，即斜率为，根据斜率与倾斜角关系，得直线倾斜角为 . 2．[（2025·温州期中）]过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.设与直线 平行的直线方程为， 则，解得， 所以所求的直线方程为. 3．如果，，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】选.易知，，均不为0.由，得，又，，则，符号相反，，符号相反，所以，符号相同，所以直线的斜率，在 轴上的截距，所以直线 不经过第三象限. 4．[（2025·邢台期末）]直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】选.因为，则，解得 或， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 5．已知直线与直线平行，且和两坐标轴在第一象限内所围成三角形的面积是24，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.直线 的斜率为，由题意可设 的方程为.令，得，令,得.由题可知，得，由于直线 在第一象限与两坐标轴围成三角形，所以，所以直线 的方程为，化为一般式即为. 6．（多选）若直线不经过第四象限，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】BC 【解析】选.直线方程可化为，由 解得 即直线过定点,，因为定点在第二象限且直线 不经过第四象限，所以直线斜率不存在或斜率大于等于0， 当直线斜率不存在时，； 当直线斜率大于等于0时， 即，解得. 综上可知，实数 的取值范围为,，，选项符合要求. 7．[（2025·巴中期中）]已知，,则线段的垂直平分线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由，,可知线段 的中点坐标为，，由垂直关系可知，线段 的垂直平分线的斜率为2，所以线段 的垂直平分线的方程为，即. 8．已知直线与轴交于点，将绕点顺时针旋转 得到直线，则直线的一般式方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】在 中令 得，所以，又直线 的斜率为，倾斜角为 ，将 绕点 顺时针旋转 得到直线 的倾斜角为 ，所以直线 的斜率为，所以直线 的方程为，一般式为. 9．[（2025·徐州期末）]已知，，，中的三个点在直线上，则_ _ _ _ . 【答案】6 【解析】由题意可得，，且直线,有公共点，所以,,在同一条直线上，所以该直线为，即，由于 不满足，故直线 为，所以，,所以. 10．（13分）已知直线. （1） 证明：直线过定点；（5分） （2） 求过点且横截距与纵截距相等的直线的方程.（8分） 【答案】 （1） 证明：因为，即. 令 解得 所以直线 过定点. （2） 解：当直线 的横截距、纵截距都为0时， 直线 过原点， 所以斜率， 此时直线 的方程为，即. 当直线 的横截距与纵截距不为0时，可设直线 的方程为，因为直线 过点，代入方程得，所以，所以直线 的方程为，即直线 的方程为.综上所述，直线 的方程为 或. B 能力提升 11．（多选）已知直线，动直线，则下列结论错误的有（ ） A. 不存在，使得的倾斜角为 B. 存在实数，使得与没有公共点 C. 对任意的，与都不重合 D. 对任意的，与都不垂直 【答案】ABC 【解析】选.对于，当 时，的方程为，故倾斜角是 ，错误； 对于，两直线总有公共点，错误； 对于，当 时，两直线的方程都是，故重合，错误； 对于，由于，故两直线不垂直，正确. 12．已知两条直线和都过点，则过两点，的直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】将点 代入两条直线方程可得 所以点,都在直线 上，而经过两点的直线只有一条，所以直线的方程为. 13．（15分）已知三个点的坐标,，. （1） 求过点且与直线垂直的直线的方程；（7分） （2） 若四边形是平行四边形，求点的坐标.（8分） 【答案】 （1） 解：由题意得， 因为，所以,得， 因为 过点，由点斜式方程得， 所以直线 的方程为. （2） 设. 若四边形 是平行四边形， 则,，所以，， 即 解得 所以. 14．（15分）已知直线,，求分别满足下列条件的，的值： （1） ,且直线过点；（7分） （2） 直线,且,在轴上的截距互为相反数.（8分） 【答案】 （1） 解：因为 过点，所以.因为,所以. 解得 或 （2） 由题意可得，两条直线不可能都经过原点，当 时，两条直线分别化为,,可知两条直线不平行.当 时，两条直线分别化为,,所以,,解得 或 C 素养拓展 15．[（2025·深圳期中）]设直线经过点,是它的一个方向向量，是直线上任意一点，则向量与共线，根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数，使，即，所以我们把上式称为直线的参数方程.若直线的参数方程为（为参数），则其倾斜角为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意，因为直线的参数方程为 （为参数），所以直线的一个方向向量为， 设直线的倾斜角为， 所以，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $