2.2 基本不等式 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“基本不等式”核心知识点，系统梳理重要不等式（∀a,b∈R，a²+b²≥2ab）、基本不等式（a,b>0时算术平均数不小于几何平均数）及其变形，衔接最值定理（“一正、二定、三相等”），构建从概念到应用的递进学习支架。 资料通过求最值（如x<0时求+3x最大值）和证明不等式（如已知a,b>0证不等式）的例题与跟踪训练，培养学生用数学思维分析问题，用数学语言表达解法。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

2.2 基本不等式 知识点一、基本不等式 1.重要不等式 （1）∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． （2）变形形式：,当且仅当a＝b时，等号成立. 2.基本不等式 （1）如果a>0,b>0，那么，当且仅当a=b时等号成立.文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （2）常用变形：如果a>0,b>0，，，当且仅当a=b时等号成立. 知识点二、最值定理 已知x，y都是正数： （1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值； （2）如果和x+y等于定值Q，那么当x=y时，积xy有最大值. 口诀“一正、二定、三相等”. 题型一：利用基本不等式求最值 例1.已知，求的最小值. 例2.已知，求的最大值. 例3.已知，求最小值. 例4.若x<0，求＋3x的最大值. 跟踪训练： 1.已知，则最小值为 . 2.已知，则最大值为 . 3.若x>2，求的最小值. 4.已知x>0，y>0，x＋2y＝1，求的最小值． 5.已知,且满足,则的最大值为 . 题型二：利用基本不等式证明不等式 例1.已知，求证：. 例2.设都是正数，求证：. 跟踪训练： 1.已知为正数，且满足，求证：. 2.已知均为正数，且不全相等.若，求证：. 1.不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 2.如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(　　) A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一 B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一 C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一 D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一 3.下列等式中最小值为4的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝2t＋ C．y＝4t＋(t>0) D．y＝t＋ 4.设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是(　　) A．400 B．100 C．40 D．20 5.已知x>－2，则x＋的最小值为(　　) A．－ B．－1 C．2 D．0 6.设x>0，则3－3x－的最大值是(　　) A．3 B．3－2 C．－1 D．3－2 7.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是 ． ①；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab. 8.若正数m，n满足2m＋n＝1，则的最小值为 ． 1.(多选)下列条件可使成立的有( ) A. B. C. D. 2.已知，则的最小值为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 3.若正实数满足，则的最大值为( ) A.1 B. C.2 D.4 4.下列不等式中正确的是( ) A. B. C. D. 5.已知，且，则的最大值为( ) A.16 B.25 C.9 D.36 6.小王从甲地到乙地往返的时速分别为和，则全程的平均时速为，则( ) A. B. C. D. 7.已知是不相等的正数，，则的大小关系是 . 8.已知，则的最小值是 . 9.已知在时取得最小值，则的值为 . 10.设，给出下列不等式： ①；②；③；④. 其中恒成立的是 .(填序号) 11.若，则下列不等式①；②；③；④，对满足条件的恒成立的是 .(填序号) 12.若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 13.已知都是正数，求证：. 14.（1）已知，求的最大值； （2）已知是正实数，且，求的最小值. 15.已知均为正实数，且.求证：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式 知识点一、基本不等式 1.重要不等式 （1）∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． （2）变形形式：,当且仅当a＝b时，等号成立. 2.基本不等式 （1）如果a>0,b>0，那么，当且仅当a=b时等号成立.文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （2）常用变形：如果a>0,b>0，，，当且仅当a=b时等号成立. 知识点二、最值定理 已知x，y都是正数： （1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值； （2）如果和x+y等于定值Q，那么当x=y时，积xy有最大值. 口诀“一正、二定、三相等”. 题型一：利用基本不等式求最值 例1.已知，求的最小值. 解：∵，由基本不等式得：， 当且仅当：，等号成立. 所以的最小值为12. 例2.已知，求的最大值. 解：∵，由基本不等式得：， 当且仅当：，即等号成立.所以的最大值为9. 例3.已知，求最小值. 解：由，且， 则， 当且仅当：，联立，均为正，等号成立. 所以最小值为. 例4.若x<0，求＋3x的最大值. 解：因为x<0，所以, 当且仅当＝－3x，即x＝－2时，等号成立，所以＋3x的最大值为－12. 跟踪训练： 1.已知，则最小值为 . 解：∵， 当且仅当时等号成立.所以最小值为.故答案为：. 2.已知，则最大值为 . 解：∵， ∴， 当且仅当时等号成立.所以最大值为. 故答案为：. 3.若x>2，求的最小值. 解：因为x>2，所以x－2>0，， 当且仅当，即x＝3时，等号成立，所以的最小值为4. 4.已知x>0，y>0，x＋2y＝1，求的最小值． 解：因为x>0，y>0，所以. 当且仅当，x＋2y＝1，即x＝，y＝时，等号成立，所以的最小值为18. 5.已知,且满足,则的最大值为 . 解：由基本不等式可知, 又 解得的最大值为3,故答案为：3. 题型二：利用基本不等式证明不等式 例1.已知，求证：. 证明：因为，所以， 所以，当且仅当时，等号成立. 故. 例2.设都是正数，求证：. 解：因为都是正数，所以都是正数. 所以，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 三式相加，得， 即，当且仅当时，等号成立. 跟踪训练： 1.已知为正数，且满足，求证：. 解：因为，所以. 又， 当且仅当时取等号， 所以，即. 2.已知均为正数，且不全相等.若，求证：. 证明：因为是不全相等的正数，且， 所以. 因为，所以.同理. 又不全相等， 所以以上三个不等式中的等号不能同时成立.将三式叠加，得. 1.不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 解：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，等号成立．故选：B. 2.如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(　　) A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一 B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一 C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一 D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一 解：因为a＋b＝cd＝4，所以由基本不等式，得a＋b≥2，故ab≤4.又因为， 所以c＋d≥4，所以ab≤c＋d，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时，等号成立．故选：A. 3.下列等式中最小值为4的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝2t＋ C．y＝4t＋(t>0) D．y＝t＋ 解：A中x＝－1时，y＝－5<4；B中t＝－1时，y＝－3<4；C中y＝4t＋≥2＝4， 当且仅当t＝时，等号成立；D中t＝－1时，y＝－2<4.故选：C. 4.设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是(　　) A．400 B．100 C．40 D．20 解：∵(x>0，y>0)，∴.故选：A. 5.已知x>－2，则x＋的最小值为(　　) A．－ B．－1 C．2 D．0 解：∵x>－2，∴x＋2>0，∴x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝0， 当且仅当x＝－1时，等号成立．故选：D. 6.设x>0，则3－3x－的最大值是(　　) A．3 B．3－2 C．－1 D．3－2 解：∵x>0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立， ∴－(3x＋)≤－2，则3－3x－≤3－2.故选：D. 7.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是 ． ①；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab. 解：根据≥ab，成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．故答案为：③. 8.若正数m，n满足2m＋n＝1，则的最小值为 ． 解：∵2m＋n＝1，则＝(2m＋n)＝3＋≥3＋2，当且仅当n＝m， 即m＝1－，n＝－1时，等号成立，即最小值为3＋2.故答案为：3＋2. 1.(多选)下列条件可使成立的有( ) A. B. C. D. 解：根据基本不等式的条件，同号，则.故选：ACD. 2.已知，则的最小值为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 解：，，当且仅当，即时，等号成立. 故选：A. 3.若正实数满足，则的最大值为( ) A.1 B. C.2 D.4 解：由基本不等式，，当且仅当时，等号成立.故选：A. 4.下列不等式中正确的是( ) A. B. C. D. 解：若，则不成立，故A错； 若，则，故B错； 若，则，故C错； 由基本不等式可知D项正确.故选：D. 5.已知，且，则的最大值为( ) A.16 B.25 C.9 D.36 解：，当且仅当，即时，等号成立.故选：B. 6.小王从甲地到乙地往返的时速分别为和，则全程的平均时速为，则( ) A. B. C. D. 解：设甲、乙两地的距离为，则.由于，，. 又，.故.故选：C. 7.已知是不相等的正数，，则的大小关系是 . 解：.，， ，.故答案为：. 8.已知，则的最小值是 . 解：，，当且仅当时，等号成立.故答案为：4. 9.已知在时取得最小值，则的值为 . 解：，当且仅当，即时，等号成立，. 故答案为：36. 10.设，给出下列不等式： ①；②；③；④. 其中恒成立的是 .(填序号) 解：由于，故①恒成立； 由于，当且仅当且，即时，等号成立，故②恒成立； 由于，当且仅当时，故③恒成立； 当时，，故④不恒成立. 综上，①②③正确.故答案为：①②③. 11.若，则下列不等式①；②；③；④，对满足条件的恒成立的是 .(填序号) 解：因为，当且仅当时，等号成立，所以①正确； 因为，故②不正确； 所以，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立，所以③正确； ，当且仅当时，等号成立，所以④正确.故答案为：①③④. 12.若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 解：因为，所以， 则，当且仅当，即时等号成立，由题意可得，即.故答案为：. 13.已知都是正数，求证：. 证明：都是正数，， ，，， ， 当且仅当时，等号成立. 14.（1）已知，求的最大值； （2）已知是正实数，且，求的最小值. 解：(1)，， ，当且仅当，即时，等号成立， 的最大值为. （2）是正实数，， ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 15.已知均为正实数，且.求证：. 证明：因为均为正实数，， 所以， 同理， 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得， 当且仅当时，等号成立. 1 学科网（北京）股份有限公司 $