精品解析：黑龙江省绥化市绥棱县2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

绥棱县2025-2026学年度第二学期期末统一测试初三数学试题 考生注意： 1．考试时间90分钟． 2．全卷共三道大题，28道小题，总分120分． 3．所有答案必须写在相应题号后的指定区域内 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列各图表示的不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果一个多边形的内角和等于720°，则它的边数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 下列说法正确的有几个（　　）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（ ） ①1，2，3；②，，2；③3，4，5；④0.5，1.2，1.3． A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 7. 已知直线过点和点，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 一组数据4，5，7，7，8，6的中位数和众数分别是（ ） A. 7，7 B. 7，6.5 C. 6.5，7 D. 5.5，7 10. 如图，正方形中，点E是边的中点，交于点交于点G，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②③④ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 泰州高港区年一季度地区生产总值约为亿元．将亿用科学记数法表示为______． 12. 在实数范围内二次根式有意义， 那么的取值范围是___________． 13. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，顺次连接“垂美四边形”各边中点所得的四边形是________． 14. 已知直角三角形两边长为1和，则此直角三角形斜边上的中线长是__________． 15. 现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高都是，方差分别为，，则这两个合唱队的队员身高较整齐的是_____合唱队．（填“甲”、“乙”中的一个） 16. 已知、、在数轴上的位置如图所示．化简__________． 17. 已知一次函数的图象由直线平移得到且过点．则______ 18. 已知一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，坐标原点为，则为__________． 19. 如图，在菱形中，，，、分别是、的中点，是上的动点，连接、，则的最小值是__________． 20. 如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，如此进行下去……记正方形的边长为，按上述方法所作的正方形的边长依次为，，，，，则__________． 三、解答题（满分60分） 21. 计算 （1） （2） 22. 如图，在中，，，． （1）用圆规和直尺作出点，使点在边上，且与、两边距离相等．（保留作图痕迹，不写作法和证明）． （2）若在（1）的条件下，设点到的距离为，求的长． 23. 国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业，睡眠，手机，读物，体质的管理．为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h，精确到），抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）本次共抽查学生______人，并将条形统计图补充完整． （2）这部分学生的平均睡眠时间的众数为______小时，中位数为______小时． （3）如果该校共有学生1200名，请你估计平均睡眠时间少于8小时的学生人数． 24. 阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的：．请你参考小明的化简方法，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值． 25. 已知、两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从地出发驶往地，乙也同日下午骑摩托车按同路同向而行从地出发驶往地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙距地的路程（千米）与该日下午时间（时）之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）直接写出：甲出发__________小时后，乙才开始出发；乙的速度为__________千米/时； （2）求甲与乙在途中相遇时距地多少千米？ （3）直接写出乙出发多长时间，甲乙之间的距离为5千米？ 26. “广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售A、B两种品牌的盐皮蛋，若购买1箱A种盐皮蛋和2箱B种盐皮蛋共需70元；若购买2箱A种盐皮蛋和3箱B种盐皮蛋共需120元． （1）A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？ （2）若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，共有几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 27. 如图(甲)，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求证:； (2)在如图(甲)中，若在上，且，则成立吗？ 证明你的结论．(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题: 如图(乙)四边形中，∥(＞)，，,点是上一点，且，，求的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点． （1）点的坐标是__________，点的坐标是__________． （2）若是直线上一点，求直线的函数表达式． （3）点是轴上一动点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绥棱县2025-2026学年度第二学期期末统一测试初三数学试题 考生注意： 1．考试时间90分钟． 2．全卷共三道大题，28道小题，总分120分． 3．所有答案必须写在相应题号后的指定区域内 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列各图表示的不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查函数的概念．由题意是的函数依据函数的概念可知对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可． 【详解】解：根据函数的定义：在一个变化的过程中有两个变量和，对于每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说是的函数， 因此B选项中的图象不表示是的函数，其他三个选项均表示是的函数． 故选：B． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定．依据最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵，被开方数含分母， ∴A不是最简二次根式，选项A不符合题意； ∵的被开方数含分母， ∴B不是最简二次根式，选项B不符合题意； ∵，被开方数含能开得尽方的因数9， ∴C不是最简二次根式，选项C不符合题意； ∵14分解质因数为，无开方开得尽方的因数，且被开方数不含分母， ∴D是最简二次根式，选项D符合题意； 故选：D． 3. 如果一个多边形的内角和等于720°，则它的边数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【详解】解：这个正多边形的边数是n，则 （n﹣2）•180°＝720°， 解得：n＝6． 则这个正多边形的边数是6． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形内角和定理，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解． 4. 下列说法正确的有几个（　　）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形进行分析即可． 【详解】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确； （2）对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误； （3）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，说法正确； （4）对角线相等的平行四边形是矩形，说法正确． 正确的个数有3个， 故选C． 【点睛】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定方法． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐项判断即可求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、和不是同类二次根式，不能合并，该选项运算错误，不合题意； 、和不是同类二次根式，不能合并，该选项运算错误，不合题意； 、，该选项运算正确，符合题意； 、，该选项运算错误，不合题意； 故选：． 6. 下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（ ） ①1，2，3；②，，2；③3，4，5；④0.5，1.2，1.3． A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足两个较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，依次验证每组数据即可． 【详解】解：①最长边为3，验证 ，而，故不能构成直角三角形，不符合题意； ②最长边为2，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； ③最长边为5，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； ④最长边为，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； 综上，符合条件的有②③④，共3组． 7. 已知直线过点和点，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质；根据一次函数中可知，随的增大而减小，据此求解． 【详解】解：直线过点和点， ， 随的增大而减小， ， ， 故选：A． 8. 若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图象不经过第三象限的条件，列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴一次函数的斜率小于，且截距大于等于， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 9. 一组数据4，5，7，7，8，6的中位数和众数分别是（ ） A. 7，7 B. 7，6.5 C. 6.5，7 D. 5.5，7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．根据中位数和众数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：把这些数从小到大排列为4，5，6，7，7，8，中位数是； 7出现了2次，出现的次数最多，则众数是7； 故选：C． 10. 如图，正方形中，点E是边的中点，交于点交于点G，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②③④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，证明得到，可判断①；证明得到，，进而，可判断③④正确；根据平行线的性质得，进而可判断③． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，，， ∴， ∴，， ∴，，故④正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 泰州高港区年一季度地区生产总值约为亿元．将亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：亿， ∴将亿用科学记数法表示为． 12. 在实数范围内二次根式有意义， 那么的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】让被开方数为非负数，分母不为0列式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得且， 故答案为：且． 【点睛】考查二次根式的意义；用到的知识点为：二次根式有意义，被开方数为非负数；分式有意义，分母不为0． 13. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，顺次连接“垂美四边形”各边中点所得的四边形是________． 【答案】矩形 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定方法、三角形中位线定理，由三角形中位线的性质得出四边形是平行四边形，证明出四边形是矩形，得出，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，，点、、、分别为各边的中点，连接、、、， ， ∵点、、、分别为各边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， 故答案为：矩形． 14. 已知直角三角形两边长为1和，则此直角三角形斜边上的中线长是__________． 【答案】或1##1或 【解析】 【分析】本题需分类讨论，分已知两边均为直角边和较长边为斜边两种情况，利用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当和均为直角边时， 由勾股定理得，斜边长为， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 斜边上的中线长为； 情况2：当为斜边，为直角边时， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 斜边上的中线长为． 综上所述，此直角三角形斜边上的中线长是或． 15. 现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高都是，方差分别为，，则这两个合唱队的队员身高较整齐的是_____合唱队．（填“甲”、“乙”中的一个） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，方差越小，数据波动越小，即身高越整齐，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴这两个合唱队的队员身高较整齐的是乙合唱队， 故答案为：乙． 16. 已知、、在数轴上的位置如图所示．化简__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据数轴上数的位置关系，判断和的正负性．利用二次根式的性质，将原式转化为绝对值形式．根据绝对值的代数意义，去掉绝对值符号后合并同类项． 【详解】解：由数轴可得 ， 因此：，． 根据二次根式性质 ，对原式化简： ． 17. 已知一次函数的图象由直线平移得到且过点．则______ 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线平移时k的值不变得出，再将点代入，即可求出b的值． 【详解】解：∵一次函数的图象由直线平移得到， ∴， ∴， 代入点，得， 解得． 18. 已知一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，坐标原点为，则为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据一次函数解析式求出点和点的坐标，得到直角三角形两条直角边和的长度，再利用三角形面积公式计算面积． 【详解】解：对于一次函数， 当时，可得，解得，即， 当时，可得，即， ∴， ∵点在轴上，点在轴上，为坐标原点，所以， ∴． 19. 如图，在菱形中，，，、分别是、的中点，是上的动点，连接、，则的最小值是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】因为菱形是轴对称图形，是它的一条对称轴，所以可以作点M关于的对称点，利用对称将转化为对称点到P的距离．根据两点之间线段最短，当对称点、P、E三点共线时，取得最小值，即为对称点到E的线段长度．先结合菱形对角线的长度，利用勾股定理求出菱形的边长，再结合中点的性质，通过相关几何关系计算该线段的长度． 【详解】解：设对角线交点为O， ∵，， ∴， ∴。 ∵菱形的对角线是对称轴，作关于的对称点， ∵、分别是、的中点， ∴根据对称性，是中点，且， ∴。 根据两点之间线段最短， 的最小值为线段的长度， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即的最小值为． 20. 如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，如此进行下去……记正方形的边长为，按上述方法所作的正方形的边长依次为，，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用正方形边长与对角线的关系，结合勾股定理，求出前几个正方形的边长​．观察所得的前几项边长的变化规律．推导得到​的表达式． 【详解】已知第一个正方形边长 ： 第二个正方形的边长​是第一个正方形的对角线，由勾股定理得：  第三个正方形的边长是第二个正方形的对角线，同理得： ， 第四个正方形边长 ， 观察规律可得：第个正方形的边长满足 ． 三、解答题（满分60分） 21. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分解为三个部分分别化简：首先将化为最简二次根式，其次判断的正负性，根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，最后根据负整数指数幂的运算规则计算，再将三部分的结果合并计算． （2）先根据二次根式的乘除运算法则，分别计算​和​，再将化为最简二次根式，最后合并同类二次根式得到结果． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 22. 如图，在中，，，． （1）用圆规和直尺作出点，使点在边上，且与、两边距离相等．（保留作图痕迹，不写作法和证明）． （2）若在（1）的条件下，设点到的距离为，求的长． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）因为到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以要作的角平分线，角平分线与边的交点即为点P． （2）先根据勾股定理求出的长度；因为角平分线上的点到角两边距离相等，所以，可设长为x，再用割补法通过的面积即可求得x． 【小问1详解】 作的角平分线，交于点，点即为所求，保留角平分线的作图痕迹即可，原理：角平分线上的点到角两边的距离相等，符合要求． 【小问2详解】 解：，，， ， 由作图知，BP平分，，， ， 设， ， ， ， ， 解得． ． 23. 国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业，睡眠，手机，读物，体质的管理．为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h，精确到），抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）本次共抽查学生______人，并将条形统计图补充完整． （2）这部分学生的平均睡眠时间的众数为______小时，中位数为______小时． （3）如果该校共有学生1200名，请你估计平均睡眠时间少于8小时的学生人数． 【答案】（1）60；补全条形图见解析 （2）7，7 （3）780人 【解析】 【分析】（1）根据题意列式计算并补全图形即可； （2）根据众数，中位数的定义即可得到结论； （4）根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 所抽查的学生人数为：人； 学生每天的平均睡眠时间为8小时的学生人数为：（人）； 补全条形图如下： 故答案为：60； 【小问2详解】 这部分学生的平均睡眠时间的众数是7，中位数为7， 故答案为：7，7； 【小问3详解】 （人） 答：睡眠少于8小时的学生人数约为780人． 【点睛】此题考查了频数（率）分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键． 24. 阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的：．请你参考小明的化简方法，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）12． 【解析】 【分析】（1）根据所给材料，分子分母同乘，计算即可； （2）先将a分母有理化，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：， ． 25. 已知、两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从地出发驶往地，乙也同日下午骑摩托车按同路同向而行从地出发驶往地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙距地的路程（千米）与该日下午时间（时）之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）直接写出：甲出发__________小时后，乙才开始出发；乙的速度为__________千米/时； （2）求甲与乙在途中相遇时距地多少千米？ （3）直接写出乙出发多长时间，甲乙之间的距离为5千米？ 【答案】（1）1；50 （2）25千米 （3）小时或小时或2.5小时 【解析】 【分析】（1）根据图象获得信息，结合路程，时间与速度之间的关系求解即可； （2）先求出甲在段的速度，再由相遇时所用时间相等列式求出时间，由此可求解距离； （3）分情况讨论，当乙未到达地，与乙到达地，但甲未到达地，结合甲乙之间的距离为5千米建立绝对值方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据图象可知，甲出发1小时后，乙才开始出发； 根据图象可知，乙行驶1h时，路程为50千米， ∴乙的速度为千米/时； 【小问2详解】 解：甲在段的速度为千米/时， 设乙出发后，经过甲、乙相遇， 则有，解得， 由千米， ∴甲与乙在途中相遇时距地25千米； 【小问3详解】 解：设乙出发，甲乙之间的距离为5千米， 当乙未到达地时， 则甲所走的路程为，乙走的路程为， 则有， 即或， 解得或， 当乙到达地，但甲未到达地时， 则有， 即或， 解得（舍去，乙一共行驶）或， 综上，乙出发小时或小时或2.5小时，甲乙之间的距离为5千米． 26. “广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售A、B两种品牌的盐皮蛋，若购买1箱A种盐皮蛋和2箱B种盐皮蛋共需70元；若购买2箱A种盐皮蛋和3箱B种盐皮蛋共需120元． （1）A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？ （2）若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，共有几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】（1）种盐皮蛋每箱价格是30元，种盐皮蛋每箱价格是20元 （2）有三种购买方案 （3）购买种盐皮蛋18箱，种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键． （1）设种盐皮蛋每箱价格元，种盐皮蛋每箱价格元，根据“购买1箱A种盐皮蛋和2箱B种盐皮蛋共需70元；购买2箱A种盐皮蛋和3箱B种盐皮蛋共需120元” 建立方程组，解方程组即可得； （2）设购买种盐皮蛋箱，则购买种盐皮蛋箱，根据题意建立不等式组，解不等式组可得的取值范围，再结合为正整数可得所有可能的取值，即可求解； （3）根据（1）（2）的结果逐个计算总费用，找出总费用最少的购买方案即可． 【小问1详解】 解：设种盐皮蛋每箱价格元，种盐皮蛋每箱价格元， 由题意可得：，解得：， 答：种盐皮蛋每箱价格是30元，种盐皮蛋每箱价格是20元． 【小问2详解】 解：设购买种盐皮蛋箱，则购买种盐皮蛋箱， 购买种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍， ， 解得， 又为正整数， 所有可能的取值为18，19，20，则共有三种购买方案； 【小问3详解】 由（1）（2）可得，①当，时，购买总费用为（元）， ②当，时，购买总费用为（元）， ③当，时，购买总费用为（元）， 所以购买种盐皮蛋18箱，种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元． 27. 如图(甲)，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求证:； (2)在如图(甲)中，若在上，且，则成立吗？ 证明你的结论．(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题: 如图(乙)四边形中，∥(＞)，，,点是上一点，且，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）5 【解析】 【分析】（1）因为ABCD为正方形，所以CB=CD，∠B=∠CDA=90°，又因为DF=BE，则△BCE≌△DCF，即可求证CE=CF； （2）因为∠BCD=90°，∠GCE=45°，则有∠BCE+∠GCD=45°，又因为△BCE≌△DCF，所以∠ECG=∠FCG，CE=CF，CG=CG，则△ECG≌△FCG，故GE=BE+GD成立； （3）①过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得DE的长. 【详解】解：（1）在正方形ABCD中 CB=CD，∠B=∠CDA=90°， ∴∠CDF=∠B=90°． 在△BCE和△DCF中， ∴△BCE≌△DCF（SAS）． ∴CE=CF． （2）GE=BE+GD成立．理由如下： ∵∠BCD=90°，∠GCE=45°， ∴∠BCE+∠GCD=45°． ∵△BCE≌△DCF（已证）， ∴∠BCE=∠DCF． ∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°． ∴∠ECG=∠FCG=45°． 在△ECG和△FCG中， ， ∴△ECG≌△FCG（SAS）． ∴GE=FG． ∵FG=GD+DF， ∴GE=BE+GD． （3）①如图2，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G， 由（2）和题设知：DE=DG+BE， 设DG=x，则AD=6-x，DE=x+3， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2， ∴（6-x）2+32=（x+3）2， 解得x=2． ∴DE=2+3=5. 【点睛】此题是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的判定和全等三角形的判定结合求解的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解． 28. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点． （1）点的坐标是__________，点的坐标是__________． （2）若是直线上一点，求直线的函数表达式． （3）点是轴上一动点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）；；； 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的几何综合，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）分别令，即可求解； （2）先求出的值，再利用待定系数法即可求解； （3）先求出，分情况分别求解即可； 【小问1详解】 解：令中得， 令得， ∴点的坐标是．点的坐标是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵点是直线上一点， ∴，解得：， ∴点， 设直线的解析式是， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是， 故答案为：． 【小问3详解】 解：存在， 由（1）得：点的坐标是，点的坐标是， ，， ①当时，点D的横坐标为或， ∴或； ②当时，点D与点A关于y轴对称，∴； ③当时，设， ∴， 解得， ∴， 综上，存在点，坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $