精品解析：海南省部分校2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

高一数学 注意事项: 1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 回答选择题时， 选出每小题后， 用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上. 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知向量 ，则 （ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】 . 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由复数的运算法则可得 . 3. 一个圆锥的底面积为 ，母线长为 5，则该圆锥的侧面积为（ ） A. 15 B. C. 30 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆锥的底面积算出底面半径，再利用侧面积公式即可. 【详解】由底面积为，得底面半径，又母线长，则圆锥的侧面积为. 4. 某地区初中、高中的学生人数分别为 6 万、 3 万、教育部门为了解该地区中学生的视力情况， 按照各阶段学生人数比例， 用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行调查. 若样本中高中生有 150 人，则初中生有（ ） A. 600 人 B. 300 人 C. 200 人 D. 150 人 【答案】B 【解析】 【详解】设样本中初中生有 人，则 ，所以 . 5. 已知 ，则 （ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】 . 6. 已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】C选项，由线面垂直的相关性质可得，C正确； 选项A与D 中还可能有，选项B中 还可能相交或异面，ABD错误. 7. 在四边形 中， ，设 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】如图所示，在四边形 中， 因为 ，所以 ， 可得 ，所以 . 8. 射箭比赛中的环数通常为整数，最高 10 环，若一名射箭运动员连续射箭 3 次的环数均不低于 8 环，则称该运动员为“神射手”. 现有甲、乙、丙、丁四名射箭运动员连续射箭 3 次，根据他们的数据， 可以推断一定不是神射手的是（ ） A. 甲:平均数为 9 ，中位数为 9 B. 乙:平均数为 9 ，极差大于 1 C. 丙:中位数为 9 ，众数为 9 D. 丁:众数为 9 ，方差大于 1 【答案】D 【解析】 【详解】设三次射箭环数从小到大依次为，环数为整数且，“神射手”要求. 对选项A，由甲的平均数为9、中位数为9，得，，故. 又，因此，即，三次环数均不低于8，甲一定是神射手. 对选项B，由乙的平均数为9、极差大于1，可取环数为8,9,10（极差，均不低于8，是神射手）， 也可取环数为7,10,10（极差，存在环数低于8，不是神射手），故无法断定乙一定不是神射手. 对选项C，由丙的中位数为9、众数为9，可取环数为（均不低于8，是神射手）， 也可取环数为7,9,9（存在环数低于8，不是神射手），故无法断定丙一定不是神射手. 对选项D，由丁的众数为9，知9至少出现两次.若三次均为9，则方差为0，与方差大于1矛盾， 故必为两次9、一次（）.设环数为，平均数，方差 由得，即.结合环数为整数且最高10环，得， 即，故必有一次环数低于8，丁一定不是神射手. 二、多项选择题:本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题 目要求， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，，A正确; 对于B，由正弦定理得，B正确; 对于C，由正弦定理得，而，因此或，C错误; 对于D，由 ，得为钝角，因此是钝角三角形，D正确. 10. 已知复数 在复平面内对应的点为，则下列选项正确的是（ ） A. 若为实数，则 B. 若为纯虚数，则 C. 若，则 D. 若点在第一象限，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A：若 为实数，则 ，得 ，故选项A正确； 选项B：若 为纯虚数，则 ，解得，故选项B错误； 选项C：若 ，则， ，故选项C错误； 选项D：若点在第一象限，则 ，解得，故选项D正确. 11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 分别为棱 的中点，动点 在线段 上 (含端点)，动点 在正方形 内 (含边界)，且 ，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥 的体积为定值 B. 动点 的轨迹长度为 C. 直线 与平面 所成的角为 D. 直线 与 总是异面 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项， 平面 ，则到平面的距离恒为定值，底面的面积固定，因此三棱锥 的体积为定值； 选项B, 点 的轨迹是以 为圆心，1 为半径的四分之一圆弧; 选项C ，由 平面 ，可知直线 与平面 所成的角即 ; 选项D, ，直线 与 在同一平面内. 【详解】对于 ，由题意知 ，所以 平面 ，所以当点 在线段 上运动时，到平面的距离恒为定值，底面的面积固定，因此三棱锥 的体积为定值，故 正确; 对于 ，在正方体中， 平面 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，点 的轨迹是以 为圆心，1 为半径的四分之一圆弧，故其轨迹长度为 ，故 正确; 对于 ，由 平面 ，可知直线 与平面 所成的角即 ，因为 ，所以 ，故 C 正确; 对于 ，当点 在棱 上时， 恰好是 的中点，若再令 与点 重合，则 ，直线 与 在同一平面内， 故 D 错误. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度由关系式确定，则当时， _____． 【答案】 【解析】 【详解】当时，． 13. 已知正方体的八个顶点均在同一个球的球面上，若正方体的棱长为2，则该球的表面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用正方体与球的结构特征即可. 【详解】正方体的棱长为2，则其体对角线长为，所以其外接球的直径为，半径为，所以表面积为. 14. 某校为了选拔参加数学竞赛的学生， 安排名同学参加预选赛， 所有成绩按照分组，得到如图所示的频率分布直方图，则图中_____．若按分数从高到低选拔出名学生，则划定的分数线大约为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空利用频率直方图总面积为列方程解；第二空先算出选拔比例确定分位数，从高分段累加频率锁定分位数所在区间，线性插值算出分数线． 【详解】由图可知，，解得， 按分数从高到低从名学生中选拔出名学生，则分数线为分位数， 由频率分布直方图可知，第六组的频率为，第五组的频率为， 所以分位数位于第五组，为． 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的最小正周期； （2）直接写出的解析式和单调递减区间； （3）的图象可以由的图象经过怎样的变换得到？ 【答案】（1） （2）；单调递减区间为 （3）方法一：先将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度； 方法二：先将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变. 【解析】 【分析】（1）根据图象结合周期性特征可得，即可得结果； （2）根据图象利用五点法求，即可得的解析式，以为整体，结合正弦函数单调性运算求解即可； （3）根据图象变换分析判断，同时注意“先平移后变换”与“先变换后平移”的区别，用两种方法求解. 【小问1详解】 由题图可知：，所以. 【小问2详解】 因为，则，可得； 由图可知，则， 且函数的图象过点，则，即， 又因为，则， 可得，解得，所以. 令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为. 【小问3详解】 方法一：先将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度； 方法二：先将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，分别为，的中点. （1）证明:平面 ； （2）若 底面，求四棱锥的体积. 【答案】（1）因为底面是矩形，所以，且， 因为，分别为，的中点，所以，且 ， 所以四边形是平行四边形，所以. 又因为平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，底面，所以. 因为是 的中点，所以，又因为， 所以是边长为2的等边三角形，所以. 底面为矩形，则，而平面， 所以平面，平面，所以， 所以. 所以四棱锥的体积为. 17. 在中，内角的对边分别为，已知，，且的面积为 4. （1）求 ； （2）如图，延长至点，使得，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以C为锐角，. 由 ，得，得 . 由余弦定理得， 所以. 【小问2详解】 由题意知 ， 所以 . 在中，由正弦定理知 ， 所以 . 18. 某芯片厂有甲、乙两条生产线生产用于高速存储的芯片，且甲、乙生产线的产量相同. 为了检验芯片的某项指标，从两条生产线上各随机抽取了颗芯片，得到每颗芯片该项指标的数据如下表： 甲 40 90 60 80 50 40 60 70 80 30 乙 50 80 50 40 50 70 100 90 80 90 记甲、乙生产线生产的芯片该项指标的样本平均数分别为和，样本方差分别为和. （1）求，. （2）已知，估计该芯片厂生产的芯片该项指标的平均数与方差 . （3）该项指标是影响芯片价格的主要因素， 根据市场调研， 芯片的价格如下表: 等级 该项指标范围 价格(元/颗) 一等品 50 二等品 25 三等品 10 用样本中各等级芯片的频率估计总体中各等级芯片的频率. 某电脑制造厂计划向该芯片厂采购颗芯片，有以下两种支付方案，若要电脑制造厂支付的费用（芯片价格 + 检测成本）更少，使用哪种支付方案较好？说明理由. 方案①：按照表中标准支付，由芯片厂免费对芯片进行检测分类； 方案②：所有芯片均按二等品的价格支付，电脑制造厂自行检测分类，每颗芯片检测成本为元. 【答案】（1）， （2）， （3）使用方案②更好 样本中一等品、二等品、三等品的数量分别为，频率分别为 . 若使用方案①，则支付的费用为（元）； 若使用方案②，则支付的费用为 （元）. 因为，所以使用方案②更好. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用平均数与方差的计算公式，即可求解； （2）根据条件，利用分层抽样的平均数与方差的计算公式，即可求解； （3）根据条件，分别求出两种方案的支付的费用，即可求解. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 因为甲、乙生产线的产量相同， 所以 ， . 【小问3详解】 使用方案②更好，略 19. 如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，，分别是线段上的动点(不含端点). （1）证明:； （2）求二面角的正切值； （3）求的最小值. 【答案】（1）在中，由余弦定理可得， 所以，所以，所以. 在直四棱柱中，底面，所以. 又因为，所以平面， 因为平面，所以. （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，作，垂足为，连接. 由（1）知平面，所以， 又，所以平面， 所以，所以二面角的平面角为. 在中，可得， 所以， 即二面角的正切值为. 【小问3详解】 底面为平行四边形，故且，由得， 直四棱柱中底面，底面，故， 又，平面，因此平面. 由平面，得，即为直角三角形，. 将与沿翻折到同一平面内， 由垂线段最短可知，当且三点共线时，取得最小值， 最小值即为点到直线的垂线段的长. 在中，，，，故，得. 在中，，，故， ，. 翻折后， 由正弦和角公式得 . 在中，， 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项: 1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 回答选择题时， 选出每小题后， 用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上. 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知向量 ，则 （ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 2. （ ） A. B. C. D. 3. 一个圆锥的底面积为 ，母线长为 5，则该圆锥的侧面积为（ ） A. 15 B. C. 30 D. 4. 某地区初中、高中的学生人数分别为 6 万、 3 万、教育部门为了解该地区中学生的视力情况， 按照各阶段学生人数比例， 用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行调查. 若样本中高中生有 150 人，则初中生有（ ） A. 600 人 B. 300 人 C. 200 人 D. 150 人 5. 已知 ，则 （ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 在四边形 中， ，设 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 射箭比赛中的环数通常为整数，最高 10 环，若一名射箭运动员连续射箭 3 次的环数均不低于 8 环，则称该运动员为“神射手”. 现有甲、乙、丙、丁四名射箭运动员连续射箭 3 次，根据他们的数据， 可以推断一定不是神射手的是（ ） A. 甲:平均数为 9 ，中位数为 9 B. 乙:平均数为 9 ，极差大于 1 C. 丙:中位数为 9 ，众数为 9 D. 丁:众数为 9 ，方差大于 1 二、多项选择题:本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题 目要求， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 是钝角三角形 10. 已知复数 在复平面内对应的点为，则下列选项正确的是（ ） A. 若为实数，则 B. 若为纯虚数，则 C. 若，则 D. 若点在第一象限，则的取值范围为 11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 分别为棱 的中点，动点 在线段 上 (含端点)，动点 在正方形 内 (含边界)，且 ，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥 的体积为定值 B. 动点 的轨迹长度为 C. 直线 与平面 所成的角为 D. 直线 与 总是异面 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度由关系式确定，则当时， _____． 13. 已知正方体的八个顶点均在同一个球的球面上，若正方体的棱长为2，则该球的表面积为_____. 14. 某校为了选拔参加数学竞赛的学生， 安排名同学参加预选赛， 所有成绩按照分组，得到如图所示的频率分布直方图，则图中_____．若按分数从高到低选拔出名学生，则划定的分数线大约为_____． 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的最小正周期； （2）直接写出的解析式和单调递减区间； （3）的图象可以由的图象经过怎样的变换得到？ 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，分别为，的中点. （1）证明:平面 ； （2）若 底面，求四棱锥的体积. 17. 在中，内角的对边分别为，已知，，且的面积为 4. （1）求 ； （2）如图，延长至点，使得，求. 18. 某芯片厂有甲、乙两条生产线生产用于高速存储的芯片，且甲、乙生产线的产量相同. 为了检验芯片的某项指标，从两条生产线上各随机抽取了颗芯片，得到每颗芯片该项指标的数据如下表： 甲 40 90 60 80 50 40 60 70 80 30 乙 50 80 50 40 50 70 100 90 80 90 记甲、乙生产线生产的芯片该项指标的样本平均数分别为和，样本方差分别为和. （1）求，. （2）已知，估计该芯片厂生产的芯片该项指标的平均数与方差 . （3）该项指标是影响芯片价格的主要因素， 根据市场调研， 芯片的价格如下表: 等级 该项指标范围 价格(元/颗) 一等品 50 二等品 25 三等品 10 用样本中各等级芯片的频率估计总体中各等级芯片的频率. 某电脑制造厂计划向该芯片厂采购颗芯片，有以下两种支付方案，若要电脑制造厂支付的费用（芯片价格 + 检测成本）更少，使用哪种支付方案较好？说明理由. 方案①：按照表中标准支付，由芯片厂免费对芯片进行检测分类； 方案②：所有芯片均按二等品的价格支付，电脑制造厂自行检测分类，每颗芯片检测成本为元. 19. 如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，，分别是线段上的动点(不含端点). （1）证明:； （2）求二面角的正切值； （3）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $