精品解析：2023年江苏省无锡市宜兴外国语学校中考数学总复习试卷（一）

2023年江苏省无锡市宜兴外国语学校中考数学总复习试卷（一） 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. ﹣2023的绝对值等于（ ） A. ﹣2023 B. 2023 C. 土2023 D. 2022 【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值的代数意义，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，据此直接计算即可． 【详解】解：根据绝对值的定义可得 ； 故选：B 【点睛】本题考查绝对值的代数意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 2. 如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第三象限点的特征，横纵坐标都为负，列出一元一次不等式组，进而即可求解． 【详解】解：∵点P（m，1+2m）在第三象限内， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 故选D． 【点睛】本题考查了第三象限的点的坐标特征，一元一次不等式组的应用，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键． 3. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5，木长-绳长=1，据此可以列方程求解； 【详解】设绳子长x尺，木长y尺， 依题意可得：， 故选：C 【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列方程求解． 4. 在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸中哪种球的概率最大（ ） A. 红球 B. 黄球 C. 白球 D. 蓝球 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的求法，因为红球的个数最多，所以摸到红球的概率最大． 【详解】在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球， 因为红球的个数最多，所以摸到红球的概率最大， 摸到红球的概率是： 故选：A 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P (A) = ． 5. 由5个相同的小正方体组成的几何体，如图所示，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形， 如图示： 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握“从左边看得到的图形是左视图”是解本题的关键． 6. 如图，在中，，，延长到点，使，连接，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等边对等角求得，然后利用三角形的内角和求得答案即可． 【详解】解：，， ． ，，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大． 7. 如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵将以点为中心逆时针旋转得到， ∴， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， 平分，故②正确； ， ， ， ， ， ， 故③正确 故选D 【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 8. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围进行求解即可． 【详解】解：由题意得不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围， ∴不等式的解集为或， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，共30.0分） 9. 如果水位升高2m时水位变化记作+2m，那么水位下降2m时水位变化记作 _____． 【答案】﹣2m 【解析】 【分析】根据负数的意义，可得水位升高记作“+”，则水位下降记作“-”，水位不升不降时，记作0，据此解答即可． 【详解】解：如果水位升高2m时，水位变化记作+2m， 那么水位下降2m时，水位变化记作-2m， 故答案为：-2m． 【点睛】本题主要考查了正负数的意义以及应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：水位升高记作“+”，则水位下降记作“-”，水位不升不降时，记作0． 10. 要使式子 有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数即可得出结论． 【详解】解：要使式子有意义，则 ， 解得：． 故答案为：． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】原式利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可． 【详解】解：根据题意得△， 解得． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 13. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是，则的解集亦同． 【详解】由一次函数图像得，当y>3时，， 则y=kx+b>3的解集是． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键． 14. 下图是根据甲、乙两城市一周的日均气温绘制的折线统计图，根据统计图判断本圈的日平均气温较稳定的城市是____________．（选填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的性质：方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小.，判断即可． 【详解】解：由图知，乙的气温波动较小，故本周的日平均气温稳定的是乙城市． 故答案为：乙． 【点睛】本题主要考查了方差的性质，掌握利用方差判断稳定性是解题的关键． 15. 为了落实“双减”政策，东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查，15名同学的作业时长统计如下表，则这组数据的众数是____________分钟． 作业时长（单位：分钟） 50 60 70 80 90 人数（单位：人） 1 4 6 2 2 【答案】70 【解析】 【分析】根据众数的定义，人数最多的即为这组数据的众数． 【详解】解：由表可知： ∵6＞4＞2＞2＞1， ∴这组数据的众数是70分钟． 故答案为：70． 【点睛】本题考查了众数的定义，掌握众数的定义是本题关键． 16. 一副三角板如图放置，，，，则_________． 【答案】105 【解析】 【分析】根据平行性的性质可得，根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ，， ， ， 故答案为：105． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键． 17. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点作于点，于点，过点作交于点．证明，设，证明，设，则，求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，过点作交于点． 平分，，， ， ， ， 设，则， ，， ， ， 设，则， ， ， ， 的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可得到cosB＝sinA＝． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵sinA＝＝， ∴cosB＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB．熟知相关定义是解题关键． 三、计算题（本大题共2小题，共12.0分） 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值，零指数幂和特殊角三角形函数值的计算法则求解即可； （2）根据分式的混合计算法则求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂，绝对值等等，熟知相关计算法则是解题的关键． 20. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可． 【详解】 解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集是 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 四、解答题（本大题共8小题，共64.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），整理分析过程如下： 【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5组的具体数据如下： 74，72，72，73，74，75，75，75，75， 75，75，76，76，76，77，77，78，80 【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的A学校频数分布直方图如图所示： 组别 50.5≤x＜60.5 60.5≤x＜70.5 70.5≤x＜80.5 80.5≤x＜90.5 90.5≤x＜100.5 A学校 5 15 x 8 4 B学校 7 10 12 17 4 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表： 特征数 平均数 众数 中位数 方差 A学校 74 75 y 127.36 B学校 74 85 73 144.12 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查是　 　调查（选填“抽样”或“全面”）； （2）统计表中，x＝　 　，y＝　 　； （3）补全频数分布直方图； （4）在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是　 　学校（选填“A”或“B”）； （5）按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有　 　人． 【答案】（1）抽样 （2） （3） 补全频数分布直方图：     （4）A （5）920 【解析】 【分析】（1）根据题意知本次调查是抽样调查； （2）用总数减去其它组的频数求x，利用求中位数的方法求y； （3）根据A学校的频数分布表补全频数分布直方图； （4）根据方差即可判断； （5）分别求出在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生即可． 【小问1详解】 根据题意知本次调查是抽样调查； 故答案为：抽样． 【小问2详解】 x=50-5-15-8-4=18， 中位数为第25个和第26个平均数 故答案为：18，74.5． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 因为A学校的方差为127.36，B学校的方差为144.12， 127.36＜144.12， ∴课后书面作业时长波动较小的是A学校， 故答案为：A． 【小问5详解】 （人） 故答案为：920． 【点睛】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 22. 如图，将下列3张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上． （1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 ； （2）从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌的数字不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）列表或画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到2张扑克牌的数字不同的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，3张扑克牌中，数字为2的扑克牌有一张，数字为3的扑克牌有两张， 从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 如图，共有6种等可能的结果，其中抽到2张扑克牌的数字不同的结果有4种， 抽得2张扑克牌的数字不同的概率为． 【点睛】本题考查用列表或画树状图求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键是能准确利用列表法或画树状图法找出总情况数及所求情况数． 23. 某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同． （1）笔记本和钢笔的单价各多少元？ （2）若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？ 【答案】（1）笔记本每本12元，钢笔每支10元 （2）最多购买笔记本20本 【解析】 【分析】（1）设钢笔的价格为x元，则笔记本的价格为x+2元，根据题目中的等量关系列方程并求解即可； （2）设笔记本的数量为y本，则钢笔的数量为50-ｙ支，根据题意列关于y的不等式，解不等式并找到最大整数解即为答案． 【小问1详解】 设每支钢笔x元，依题意得： 解得：x＝10， 经检验：x＝10是原方程的解， 故笔记本的单价为：10+2＝12（元）， 答：笔记本每本12元，钢笔每支10元． 【小问2详解】 设购买y本笔记本，则购买钢笔（50﹣y）支，依题意得： 12y+10（50﹣y）≤540， 解得：y≤20， 故最多购买笔记本20本． 【点睛】本题考查了用分式方程和一元一次不等式解决问题，找到题目中的等量关系并列出关于未知数的方程或不等式，仔细计算是本题的解题关键． 24. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）证明：解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴（SAS）； （2）证明：∵， ∴ ∴， ∴四边形AECF是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据SAS即可证明； （2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 25. 如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 直线与相切，理由：如图，连接， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2）图中阴影部分的面积 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如（1）中图， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 26. 【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？ 【初步尝试】如图1，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分； 【问题联想】如图2，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形； 【问题再解】如图3，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分． （友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 【答案】【初步尝试】如图所示，作∠AOB的角平分线所在直线OP即为所求； 【问题联想】如图，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点； 【问题再解】如图，先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧CD即为所求． 【解析】 【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线所在直线即为所求； 【问题联想】如图2，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点； 【问题再解】如图3先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧即为所求． 【详解】略 【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法． 27. 如图，抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的解析式和点C的坐标； （2）若点M在直线上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索） （3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索） 【答案】（1）， （2），当时，S有最大值为 （3）满足条件的点P坐标为，， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，求出直线BC的解析式，设M（m，-+m+），则N（m，-m+），可得S△MBC=•MN•OB=+，再求解即可； （3）设Q（0，t），P（m，- +m+），分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②当AQ为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可． 【小问1详解】 解：把点和分别代入可得 ， 解得 ∴抛物线的解析式为 把代入可得 ∴； 【小问2详解】 解：作直线，作轴交直线于点N 设直线的解析式为（） 把点和分别代入 可得 解得 ∴直线的解析式为 设点M的横坐标为m ∴， ∴ ∴ （） ∴当时，S有最大值为 把代入可得 ∴； 【小问3详解】 解：当以为边时，只要，且即可 ∴点P的横坐标为4或-4 把代入可得 把代入可得 ∴此时， 当以为对角线时，作轴于点H ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∴点P的横坐标为2 把代入可得 ∴此时 综上所述，满足条件的点P坐标为，， 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． 28. 如图，在中，，，点在边上，、分别为、的中点，连接过点作的垂线，与、分别交于、两点．连接，交于点． （1）的度数为______； （2）连接，求的面积的最大值； （3）与存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由； （4）求的最大值． 【答案】（1）45 （2）当时，的面积的最大值为9 （3），，理由如下： 在和中， ， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， ． （4） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由三角形中位线定理可得，可求解； （2）设，由等腰直角三角形的性质和三角形中位线定理可求的长，由三角形面积公式和二次函数的性质可求解； （3）由“”可证，可得，，可求解； （4）以为斜边，构造等腰直角，可得点、、均在圆上，然后利用全等三角形的性质得出，利用“垂线段最短”得出，然后分别求出各线段长度，最终得到的最大值． 【小问1详解】 解：，， ，， 、分别为、的中点， ∴，， ． 【小问2详解】 解：如图，连接， ，， ，， 设，则， 、分别为、的中点， ∴， ，， ， ， 点是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 当时，的面积的最大值为； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，以为斜边，构造等腰直角，作于． ，则点、、均在上， 设的半径为， 则，，， 由得， ， ， ， 即的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年江苏省无锡市宜兴外国语学校中考数学总复习试卷（一） 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. ﹣2023的绝对值等于（ ） A. ﹣2023 B. 2023 C. 土2023 D. 2022 2. 如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( ) A. B. C. D. 3. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸中哪种球的概率最大（ ） A. 红球 B. 黄球 C. 白球 D. 蓝球 5. 由5个相同的小正方体组成的几何体，如图所示，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，延长到点，使，连接，则的度数（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 8. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 二、填空题（本大题共10小题，共30.0分） 9. 如果水位升高2m时水位变化记作+2m，那么水位下降2m时水位变化记作 _____． 10. 要使式子 有意义，则x的取值范围是_______． 11. 因式分解：______． 12. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________． 13. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 14. 下图是根据甲、乙两城市一周的日均气温绘制的折线统计图，根据统计图判断本圈的日平均气温较稳定的城市是____________．（选填“甲”或“乙”） 15. 为了落实“双减”政策，东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查，15名同学的作业时长统计如下表，则这组数据的众数是____________分钟． 作业时长（单位：分钟） 50 60 70 80 90 人数（单位：人） 1 4 6 2 2 16. 一副三角板如图放置，，，，则_________． 17. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为_____． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝_____． 三、计算题（本大题共2小题，共12.0分） 19. （1）计算：； （2）化简：． 20. 解不等式组：． 四、解答题（本大题共8小题，共64.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），整理分析过程如下： 【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5组的具体数据如下： 74，72，72，73，74，75，75，75，75， 75，75，76，76，76，77，77，78，80 【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的A学校频数分布直方图如图所示： 组别 50.5≤x＜60.5 60.5≤x＜70.5 70.5≤x＜80.5 80.5≤x＜90.5 90.5≤x＜100.5 A学校 5 15 x 8 4 B学校 7 10 12 17 4 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表： 特征数 平均数 众数 中位数 方差 A学校 74 75 y 127.36 B学校 74 85 73 144.12 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查是　 　调查（选填“抽样”或“全面”）； （2）统计表中，x＝　 　，y＝　 　； （3）补全频数分布直方图； （4）在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是　 　学校（选填“A”或“B”）； （5）按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有　 　人． 22. 如图，将下列3张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上． （1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 ； （2）从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌的数字不同的概率． 23. 某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同． （1）笔记本和钢笔的单价各多少元？ （2）若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？ 24. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形AECF是平行四边形． 25. 如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 26. 【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？ 【初步尝试】如图1，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分； 【问题联想】如图2，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形； 【问题再解】如图3，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分． （友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 27. 如图，抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的解析式和点C的坐标； （2）若点M在直线上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索） （3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索） 28. 如图，在中，，，点在边上，、分别为、的中点，连接过点作的垂线，与、分别交于、两点．连接，交于点． （1）的度数为______； （2）连接，求的面积的最大值； （3）与存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由； （4）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $