【天壹试题】2025-2026学年高一6月校内检测 数学

机密★启用前 高一年级6月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹 签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知复数之=2十，则在复平面内z对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知平面a,直线l,则“Ca”是“l与平面a有公共点”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知向量a=(W3,1),b=(1,2√3)，则a在b上的投影向量的模为 A.3 B30 13 c号 D司 4.已知m,n是两条不同的直线，α，3是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A.若a⊥3，m∥a,n∥B,则m⊥n B.若m∥B,a⊥B,则m⊥a C.若m⊥3，m∥a,则a⊥3 D.若m⊥n,nCa,则m⊥a 5.已知A,B为两个随机事件，P(A)=0.7,P(B)=0.4,则下列结论错误的是 A.P(A)=0.3 B.若A二B,则P(AB)=0.3 C.若P(AB)=0.2,则P(A十B)=0.9 D.若A,B互斥，则P(A十B)=0.7 6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，则异面直线 B BE与AC所成角的余弦值为 A.15 B号 2 C.2 D.0 5 【高一数学第1页（共4页）】 女 7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinA·sinC=sinB,设△ABC的面积 为S,若√3 accos B=2S,则△ABC的形状为 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 8.甲、乙、丙、丁篮球运动员连续7场比赛得分数据（分值均为整数）的数字特征如下： 甲球员：平均数为26，方差为20 乙球员：中位数为29，众数为26 丙球员：中位数为25，极差为10 丁球员：众数为25，第40百分位数为30 根据以上信息，下列结论一定错误的是 A.乙球员场均得分在24分以上 B.甲球员有一场比赛的得分可能为40分 C.丙球员场均得分一定在20分以上 D.丁球员场均得分至少为30分 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知1为虚数单位，则下列说法正确的是 A.若1=一4i,2=3i,则之1<z2 B.若n∈N,则m+2=一1 C.若x=2一i,则之的虚部为一1 D若3平则1=1 10.在△ABC中，内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.若a=√2，b=√3，A=45°，则B=60° B.若A>B,则sinA>sinB C.若A=F,c=4,△ABC有两解，则2<a<4 D.cos(A++B)<cos Acos B 11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,G分别为BB1,BC,DD1的中点，点P为 线段B,G上的动点，则下列说法正确的是 A.几何体NBM-DAA1是三棱台 B.直线B,G与平面A1DNM相交 C.二面角A-DN-A的平面角的正切值为5 D.直线PV与平面ADNM所成角的正弦值的最大值为因 29 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.数据560,546,543,532,527,518,517,516,515,513,513的80%分位数是 13.河南科技馆内有一个半径为15的球形建筑物，已知A,B,C三点在该球面上，且AB =AC=BC=9√3m,则球心O到平面ABC的距离为 m. 14.已知平面向量a,b,c满足a=c=1且a⊥c,向量b满足(a一b)·(c-b)=0,则 b的最大值是 【高一数学第2页（共4页）】 B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(本小题满分13分) 设复数1=a一i,2=3+bi(其中a,b∈R). (1)若1=2，求a的值； (2)若1是关于x的方程x2十mx十10=0的一个根，求实数m的值. 16.(本小题满分15分) 某景点为了更好地提升旅游品质，景点工作人员随机选择100名游客对景区满意度评 分（满分100分），将评分绘制成频率分布直方图（如图）. (1)求x的值； (2)为了解游客对景区不满意的原因，该景区在评分低于70 频率 组距 分的游客中用比例分配的分层抽样方法随机抽取5人座0.040 谈，座谈之后，景区在5人中随机抽取2人作为景区的长 2 期“荣誉顾问”，求抽取的2人评分不在同一组的概率. 0.010 0.005 5060708090100成绩分 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2 asin B-√3 bcos A=bsin A. (1)求角A的大小； (2)若c=2b,△ABC的面积为2√3，求△ABC的周长. 【高一数学第3页（共4页）】 9 18.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,3),B(4,1),P(1,y),PA·PB=3,OP1<2, 点M,C是直角坐标系中的动点. (1)若四边形APBM是平行四边形，求点M的坐标； (2)若点M在直线OP上，求MA·MB的最小值； (3)在△ABC中，若M是BC的中点，且M正=E=FA,E.EC=号，F.F心=2，求 AB.AC的值. 19.(本小题满分17分) 一个上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2的圆台OO,如图所示，等腰梯形 ABCD是圆台OO的轴截面，P为圆台上底面圆周上一点. (1)若平面APC与圆台OO'下底面的圆周交于点Q. (i)证明：CP∥平面ADQ; (i)若四棱锥B-APCQ的体积为2√3，求二面角C-AQ-B的正弦值； (2)若圆台OO是封闭容器（容器壁厚度忽略不计），且圆台OO内有两个半径相等的铁 球，求铁球半径的最大值. 【高一数学第4页（共4页）】 9高一年级6月测评 数学答题卡 准考证号 学 校 00I000000I0I0 1D1□口11□1D1DD1D 姓名 2222222222 3333]33333]3 44I44I4☐4444④4▣ 班 级 5555555555 6666666666 707077I77 7I777 考场号 座位号 8888□888888 99]99I999I9I99] 1.答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、准考证号填写在规 注 定的位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本人相符并完 全正确及考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置。 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑 事 色墨水签字笔作答，字体工整、笔迹清楚。 贴条形码区域 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题 项 区域范围书写的答案无效：在草稿纸，试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 填涂样例 正确填涂： 错误填涂：中Xp口 缺考标记：☐ 单选题（每小题5分，共40分） 1 A]B][C]D] 5 [ABC D 2 [A B][C]D 6ABI☑D 3A□B☐CD 7A□BD 4AB☐CD 8A▣B☐DI 多选题（每小题6分，共18分） 9A▣B☐ C]D 10[A]B [C]D 11A□B☐CD 填空题（每小题5分，共15分） 12 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高一数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ B 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高一数学第2页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 0 Q 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ B高一年级6月测评·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A 1 B C C D C B 题号 9 10 11 答案 BCD BCD AC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.【答案】A 【解析】因为复数之=2+3=2一i,所以之=2+i,所以z对应的点位于第一象限.故选A. 2.【答案】A 【解析】若直线在平面内，则直线与平面有公共点；若直线与平面有公共点，直线不一定在平面内.故 选A. 3.【答案】B 【解析】由a=(W5,1),b=(1,2√)，所以|b=√12+(2√5)2=√13，a·b=√5×1+1×2√5=3√3.所 以a在b上的投影向量的模为 a·b_3V5_339 13 故选B. 4.【答案】C 【解析】对A,若a⊥3，m∥a,n∥3，则m与n也可能平行，故A错误； 对B,若m∥B,a⊥3，则mCa或m∥a或m与a相交，故B错误； 对C,若m∥a,根据线面平行的性质，可知a内必有一直线与m平行，由m⊥3知，a内这一直线与3垂 直，由面面垂直的判定定理知a⊥3，故C正确； 对D,若m⊥n,nCa,可能直线m与平面斜交，也可能在平面内，故D错误.故选C 5.【答案】C 【解析】对于A:由题意可知P(A)=1一P(A)=0.3,故A正确； 对于B:因为A二B,所以P(AB)=P(A)=0.3,故B正确； 对于C:P(AB)=0.2,根据并事件的概率公式得P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3十0.4-0.2 =0.5,故C错误； 对于D:A,B互斥，则P(AB)=0,由概率的加法公式可得P(A+B)=P(A)十P(B)-P(AB)=0.3十 0.4=0.7,故D正确.故选C. 6.【答案】D D 【解析】取DD1的中点为F,连接EF,AF,CF,因为点E为AA1的中点，所以 A EF∥AD,且EF=AD,又因为AD∥BC,AD=BC,所以EF∥BC,且EF=BC, 即四边形EFCB为平行四边形，所以BE∥CF,则∠ACF或其补角即为异面直 D 线BE和AC所成的角.设正方体的棱长为2，则AC=2√2，CF=AF=√5，所以 COS/ACF-AC+CF-Ar8+5-510 2AC·CF 2X22x后=写，放选D 【高一数学参考答案第1页（共6页）】 B 7.【答案】C 【解标】由5 B=25,可得asB=25×24 csin B,解得anB=5,因为0<B<,所以B=受，又 3 sinA·sinC=sinB,得ac=.由余弦定理得：=a2+2-2 accos于，所以B=d2+2-ac,因为ac=f, 所以(a一c)2=0,解得a=c,则=ac=a2,可得b=a,所以a=c=b,所以△ABC为等边三角形.故选C 8.【答案】B 【解析】对A,因为乙球员得分的中位数为29，众数为26，所以乙球员每场比赛最少得分（从小到大排 列)分别为：0,26,26,29,30,31,32，则场均得分最少为.0十26+26+29+30+31+32=174>24，所以 7 A正确； 对B,若甲球员有一场比赛得分为40分，则(40一26)2=196>20×7=140，所以B错误； 对C,因为丙球员得分的中位数为25，极差为10，所以丙球员每场比赛最少得分（从小到大排列）分别 为：15,15,15,25,25,25,25，因此丙球员场均得分一定在20分以上，所以C正确； 对D,丁球员得分的第40百分位数为30，众数为25，因此丁球员每场比赛最少得分（从小到大排列）分 别为：25,25,30,31,32,33,34，因此丁球员场均得分最少为30分，所以D正确.综上，故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.【答案】BCD 【解析】对于A,虚数不能比较大小，故A错误； 对于B,因为=1，所以物+2=2=一1，故B正确； 对于C,若之=2一i,则之的虚部为一1，故C正确； 对于D=产，则一V得+（号=1，故D正确故连D 10.【答案】BCD 【你附于人正在发理品品可得血公-如竖 2=8,又因为b>a,A=45,A √2 +B+C=180°，所以45°<B<135°，所以B=60°或B=120°，故A错误； 对于B,若A>B,因为y=sinx在(O,受)上单调递增，且0<B<A<一B,所以sinA>sinB,故B正确： 对于C由正弦定理得后-正C-C=品CCE(o,晋)△AC要有两解，血CG 2 (分，1)，所以a∈(2,4)，故C正确： 对于D,因为cos(A十B)=cos Acos B-sin Asin B,在△ABC中，A,B∈(0，π)，则sin Asin B>0,所 以cos(A+B)<cos Acos B,故D正确.故选BCD. 11.【答案】AC 【解析】对于A,因为点M,N分别为BB,BC的中点，所以MN∥AD,且MN=2AD,所以四边形 A1DVM是等腰梯形，所以延长A1M与DN必然相交，设交点为O,则点O既在平面A1ABB1内，又 在平面ABCD内，平面A1ABB1∩平面ABCD=AB,所以O∈AB,即延长A1M,DN,AB相交于一 点，所以几何体NBM-DAA,是三棱台，所以A正确； 对于B,如图1，连接BC,CG,则B,C∥MN,CG∥A1M,且BC∩CG=C,所以平面B,CG∥平面 A1DNM,又因为B1GC平面B1CG,所以B1G∥平面A1DNM,所以B错误； 【高一数学参考答案第2页（共6页）】 B 图1 图2 图3 对于C,如图2，过点A作AE⊥DN,垂足为E,连接AE,AN,因为AA1⊥平面ABCD,DNC平面 ABCD,所以DN⊥AA1,又因为AA1∩AE=A,所以DN⊥平面A1AE,又因为A1EC平面A1AE,所 以DN⊥A1E,则∠A,EA即为二面角A1-DN-A的平面角，设正方体的棱长为2，则AN=ND= 5,由5·AE=2X2,所以AE-言则am∠AEA-是是专，所以C正确： √/5 AE 4 5 对于D,如图3，过点P作PF⊥平面A1DNM,垂足为F,连接NF,则∠PNF即为PN与平面 A,DNM所成的角，则sin∠PNF-S,因为BG/平面ADNM,所以点P到平面A,DNM的距离 为定值，即PF为定值，所以当PN最小时，sin∠PNF= S取最大值，点P到平面A,DNM的距离 等于点B1到平面A1DNM的距离，设点B,到平面MND的距离为d,正方体的棱长为2，则MN= ,A,D=2E,DN=A,M=5,所以等腰撈形ADNM的高A=√5-(22可-3要，由 2 Vaa=vn,所以号×号××3号.d-子×号×1X1×2,解得d-号即PF=号在 2 2 △BNG中，B,N=5,GN=6,B,G=3,cos∠B,NG=5+6-9= 1 2X√5X√6√3 ，所以sin∠B,NG=√29 √30 当PNLBG时BG·PN=N.NG.sin∠BG,即3PN-5X5XV.所以PN=厘，即 /30 2 PN的最小值为受.PN与平面A,DNM所成角的正弦值的最大值为：sn∠PNF- PE √29 3 2w29 29 ,所以D错误.综上，故选AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.【答案】543 【解析】共有11个数据，则11×80%=8.8，按从小到大排列，第9个数为543，所以80%分位数 是543. 13.【答案】12 【解折】△ABC是正三角形，则△ABC外接圆的半径r=9V5×受×号-9，则球心0到平面ABC的 距离d=√152-9=12. 14.【答案V2 【解析】如图，.(a-b)(c一b)=0,∴.(a一b)⊥(c-b),∴.∠ABC=90°，∴.B点的轨迹 是以AC为直径的圆，由图可知b的最大值为√2. 【高一数学参考答案第3页（共6页）】 B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.【答案】(1)3(2)6或-6 【解析】(1)之2=3-bi,因为名=2，所以a一i=3一bi,…2分 故a=3,b=1,所以a=3;………… 5分 (2)因为1是关于x的方程x2+mx+10=0的个根， 所以(a-i)2十m(a-i)+10=0,即a2十am十9-(2a十m)i=0. 8分 所以 |a2+am+9=0 10分 2a+m=0 a=3 解得 或/a-3 13分 m=-6m=6 故m=6或m=-6. 16.【答案】(1)0.015(2)3 【解析】(1)(x十0.010十0.040十2.x十0.005)X10=1,…3分 解得x=0.015;…… 5分 (2)评分低于70分的有两组[50,60)，[60,70)，这两组的频率分别为：0.15,0.1，…7分 则这两组的人数分别有15人，10人，用比例分层抽样方法随机抽取5人座谈， 则这两组分别抽取3人，2人，………9分 设a1,a2,a表示在[50,60)这组抽取的3人，设b1,b表示在[60,70)这组抽取的2人， 从这5人中任意抽取2人，则样本空间2={(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1), (a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},共有10种等可能结果，…12分 设事件A=“抽取的2人评分不在同一组”，则事件A包含的可能结果有6种，…13分 所以PA=岛-是 …………………………………15分 17.【答案】(1)(2)2W3+6 【解】析1D由正弦定理品得，23 sin Asin B一厅in BeosA=sin Bsin A.…2分 因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以2sinA=√3cosA+sinA,…3分 整理得sinA=5coSA,tanA=SnA=5, cos A 5分 因为A∈(0，π)，所以A三号； 7分 (2)由△ABC的面积为2/3，得besin A-=23,所以bc=8,… 9分 又c=2b,则b=2,c=4,所以b十c=6,………11分 由余弦定理得a2=c2十b-2 bccos A=4十16-8=12，解得a=2√3，..…13分 所以△ABC的周长为2√5十6.…15分 18【答案115,8)(2②)-号(3号 【解析】(1)由题意可知PA=(1,3-),PB=(3,1-y),PA·P=3+(3-)(1-6)=3,得8 4y%十3=0，………………1分 獬得=1或%=3，又：1OP<2,%=1,P的坐标为(1,1)，…2分 设平行四边形APBM的对角线的交点为T, 由T为AB的中点，可得点T的坐标为(3,2)，…3分 【高一数学参考答案第4页（共6页）】 B 又T为PM的中点，可得点M的坐标为(5,3)；… 4分 (2)设点M的坐标为(x,x),有AM=(x-2,x-3),BM=(x-4,x-1),…。 6分 可得M.Mi=Ai.Bi=(红-2x-40+(c-3x-1D=2r-10x+11=2(x-号)-多， 8分 所以当x=艺时，M·M取得最小值-多： 9分 (3)由M元=E京=FA,可知E,F是线段MA的三等分点， 10分 M是BC中点，则E谚.E衣=(EM+M成)·(EM+M心)=E立：-M?=号 ①，…12分 F馆，F心=(FMi+M成)·(FM+MC)=4Ei-M:=子 ②，… …14分 由①②可得1E2=1,1M2=7, 15分 A店.A花-i+M.(i+Mò=A-M:=9Ei-M=9X1-3-号 …17分 19.【答案】(1)(i)详见解析(im 5 :(2)5-1 【解析】(1)()因为圆台上、下底面平行，平面APCQ与圆台上底面的交线 为PC,与下底面的交线为AQ,所以PC∥AQ,……2分 因为CP史平面ADQ,AQC平面ADQ,所以CP∥平面ADQ;…4分 (i)因为圆台上底面半径为1，下底面半径为2，所以AQ=2PC, Q 图1 如图1，连接AC,则VB-Aace=2VB-AcP,则VB-Aax= 3×23 -43 3 5分 又因为Vc-AQ=Vgac= 圆台的高为后 则V:方5wA一号5e=5所以Sw-4,又因为AB=4,所以点Q到直线AB的距离 为2，所以OQ⊥AB,则AQ=BQ=2√2. 6分 过点C作CC1⊥AB,垂足为C1,过点C作CR∥BQ,交AQ于点R,连接CR,因为AQ⊥BQ,所以 CR⊥AQ,因为CC⊥平面ABQ,所以CC⊥AQ,所以AQ⊥平面CCR,所以CR⊥AQ, 则∠CRC即为二面角C-AQ-B的平面角，… 7分 因为cG-厅，AC=8则G-所以RC=是×2E-3.所以CR=VCG+CR_ 2 2 ………8分 所n/CC-装- 5 9分 (2)由(i)(ii)可知ABCD为圆台的轴截面，∠DAB=60°，因为ABCD是等 D 腰梯形，所以∠ABC=60°，∠BCD=∠ADC=120. 设两铁球半径为r, I.当两个铁球的球心在竖直方向上时，若半径最大，则分别与两个底面相 0 切，如图2，则铁球球心与圆台上、下底面的距离均为r,则有4r=√3，所以 图2 【高一数学参考答案第5页（共6页）】 B 此时铁球半径，= 4 ………………10分 L.当两个铁球都与底面相切时，若半径最大，则两铁球相外切，且各与圆台 D O' 一侧面也相切，如图3，E,F分别是两球与底面相切的切点，则OE⊥AB, O2F⊥AB,EF=O1O2=2r,连接O1A=O2B,因为点O1到AB与AD的距 离都等于r,所以点O1在∠DAB的角平分线上，同理，点O2也在∠CBA 的角平分线上，…11分 图3 则∠O1AE=∠O2BF=30°，又因为O1E=O2F=r,则AE=BF=√3r,所以AB=2√3r+2r=4,则r= 4=3-1: …13分 2W5+2 1.当两个铁球一个与下底面相切，另一个与上底面相切，若球的半径最 D 大，则两球相切且分别各与圆台一侧面相切，如图4所示，球O1与下底面 相切的切点为E,球O2与上底面相切的切点为G,GO2的延长线与AB交 于点F,过O1向直线GO2作垂线，垂足为H,则O2H=√3-2r,O1O2=2r, …………………………………………………14分 图4 同上分析，O在∠DAB的角平分线上，点O,在∠BCD的角平分线上，所以AE=5,GC=5, 15分 则0H=4-,-写-1=8-5，.由00=0H+0H,厮2r=84,+5-2n, 化简得：4r-95十9=0，解得r=95-3页或，=95+3页（舍. 8 16分 8 又因为3-19√3一3√113所以铁球半径的最大值为√3一1.……17分 8 (备注：若直接写出第I1种情况，没有第I,II种情况扣3分) 【高一数学参考答案第6页（共6页）】 B