湖南邵阳市邵东市第一中学2025-2026学年高一下学期第三次诊断性测试数学试卷

2026年上学期高一第三次诊断性测试 数学试卷 时间：120分钟总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知复数z满足+2=(2+)（其中1为虚数单位），则三的虚部为() A.1 B.2 c.√2 D.2W5 2.平面向量a,万满足=2，aa+8)=3,且向量a,5的夹角为牙，则风=（) A.1 B子 C.5 D.2 3.己知&，B,Y是三个不同的平面，，，1是三条不同的直线，下列命题中正确的是 () A.若m⊥l,n⊥1，则ml∥n B.若a⊥Y,B⊥y,则ap C.若m⊥，∥n,则n⊥a D.若a⊥B,mca,ncB,则m⊥n 4.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a2+c2-b2=V3ac,则sinB=（) B C. D 5.若)是定义在R上且周期为2的奇函数，当2<≤3时，f)=x2-4x,则f(习)= () B C.4 15 D 6.冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激 凌可近似地看作圆锥和半球的组合体·若半球部分的体积为 九，圆锥部分的侧面展开图是半圆形，且用塑料外晟 冰激凌密封固定，则所用塑料的面积至少为() A.16π B.18元 C.24π D.36π 7,.将西数f)=m(x+o0>0o到的图象向左平移g个单位长度得到函数g)的 图家，如图所示，-1，且图中阴影福分的面积为子.则=《) y=g(x) y=f(x) 6 A.6 B牙 D. 12 8.在正四棱锥P-ABCD中，AB=PA=4,当过P,C,D三点的球的体积最小时，该球 被平面ABCD所截截面的面积为() A.r 9 D. 16 C. 8 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分， 9.下列命题正确的是() A.数据1,2,3,4,5,6的75%分位数是5 B.数据X,x2,,的方差是1，则3x+1,3x2+1,,3x+1的标准差是9 C.若A与B是任意两个事件，则A(A十B)=A D.若事件A与B互斥，且P(A)=0.2,P(B)=0.3,则P(AUB)=0.5 10.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，下面四个结论正确的是() A.若c=2,b=3,A=亚 ,则BC边上的中线长为 2 B.在钝角△ABC中，A,B为锐角，则不等式sinA<cosB恒成立 C.若A若b+c-16=V56c,则△ABC面积的最大值为4+45 D.若B-号a=25,且△ABC有两解，则6的取值范国是2) 11.正方形ABCD的边长为2，动点P在正方形内部及边上运动，AP=1AB+LAD,则下 列结论正确的有() A.元+u的最大值为2 B.当P为△ABC内部的点，S△4PB:S△BPC:S△4Pc=4:3:2,AP=AB+AC, 则21A号 C.点P在线段CD上时，ADAP=2 2 1 D.若元+2业=2则P点轨迹长度为5 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知随机事件A,B相互独立，且P(A0=, 到子则回- 13.在等腰直角△ABC中，D为斜边AB的中点，点P在边BC上，BC=8,则PA.PD的最 小值为 14.如图绘制有函数f()=Msm工x+p[M>0,0<0<]的部分图象，图象与y轴的交点 为 其中A,B分别为最高点和最低点，现将此图沿着x轴折叠形成一个钝二面角， 夹角为120°，其中此时AB之间的距离为5，则p= 2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.为了解高一年级学生在期末考试中的数学成绩情况，某校调查了该年级500名同学的数 学成绩并绘制成频率分布直方图. 频率组距 0.0200-- a 0.0100 0.0050 0.0025 0507090110130150成绩/分 (1)求a的值及这500名同学数学成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点 值表示)： (2)现拟在区间[50,70)，[130,150]用分层抽样的方法抽取6人，然后在这6人中随机选取2 人举行座谈，求选取的2人均位于区间[130,150]的概率. 3 16.如图①，平面四边形ABCD由两个三角形拼接而成，其中AB⊥BD,BC⊥CD, ∠A=∠DBC=60°，现以BD为轴将△ABD向上折起至位置A',连结A'C得到如图②的三 棱锥A'-BCD,M是A'B的中点，P是DM的中点，Q在A'C上，且A2=3QC. M B B C 图① 图② (1)求证：P2//平面BCD; (2)若平面ABC⊥平面ACD,求证：CD⊥A'B: (3)在(2)条件下，若AB=2,求三棱锥A'-PMQ的体积. sinB a-c 17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, sinA+sinC b+c (1)求A. (2)已知AD平分∠BAC且交BC于点D,AD=2. (i)若sinB=2sinC,求as (i)求△ABC周长的最小值. 4 1 18.如图，在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF,∠DAB=90°，AB=AD=EF=二CD=2, 2 △ADE为等边三角形，平面ADE⊥平面ABCD. 夕 (I)证明：直线CD⊥平面ADE: (2)求直线FC与平面ABCD所成角的余弦值： (3)在线段EF上是否存在点P,使得BD⊥AP,若存在，请求出点P的位置：若不存在，请 说明理由. 19.在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量OR=(化k,y)和角0∈(0，π)，定义变换如下： OP=F。(Op)=(x,cos0-⅓sin6,sin0+y,cos),且Op=(1V3). ()若0=牙，求o乎o明的值： (2)求证：△ORP+1与△OR+1P+2的面积相等： (3)设向量u=0P+OPk+i,v=OP-OPk+i,是否存在1eR,使得H0e(0,)，不等 式u+λv≥23恒成立.若不存在，说明理由：若存在，求出1的取值范围. 5 2026年上学期高一第三次诊断性测试数学参考答案 题号 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 A A c C D A B B ACD ABD 题号 11 答案 AB 1.A 【详解】因为+2 =2+i,即+2=(2+i):,移项整理得=(2+i-1)=2, z=2=21-i） 1+i(1+i)1-i) =1-i,所以z=1+i, 故z的虚部为1. 2.A 【详解】由i.(a+b)=a.a+a.i=d+a.i3, 得a.b=-1 又a6-46s牙-2p（), =1 3.C 【详解】对于选项A,分别把AA、BC、AB当作直线、n、l,显然mLn,故A不正 确： 对于选项B,平面AAB,B、平面BBCC、平面ABCD分别视为平面a、B、Y,显然 ∩B=BB,故B不正确： 对于选项C,m⊥，∥n,则n⊥&，故C正确： 对于选项D,平面AAB,B、平面ABCD分别视为平面a、B,AB,CD分别视为m,n,则m∥n, 故D不正确。 D C A B D B 4.C 6 【详解】在ce4BC中，由余弦定理可得：cosB=a+c2-b_V5ac=V5 2ac 2ac 2 因为B∈(0，，所以simB>0,则simB=1-cosB=) 5.D 【详解】因为函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，且当2<x≤3时，f(x)=x2-4x, 可得=-兮-到==-原-4- 6.A 【详解】设半球半径为R,圆锥母线长为1，由-1π，得R=2, 3 3 又=2元R=4π，故1=4， 所以所用塑料的面积至少为S=2元R2+πR1=2元×22+元×2×4=16元 7.B 【详解】如图， y B y=fx) y=8(x) E H AOπ 6 F G 由三角函数的对称性可得阴影部分的面积等于矩形ABCD和矩形EFGH的面积之和， 又SBm=S,所以2=2Sm, 3 因为函数∫(x)图象向左平移日个单位长度得到g(x)的图象，所以AD=日， 所以sam-10=9,即20-经故0 3 由图象可得？=0= ,则0=牙经子 3,所以T=4π T4π2， 3 又)经若+小1，所以+p-受-a,e7,则p=at=2列， 26 2 4 又经所以子 8.B 【详解】由题意，△PCD是边长为4的正三角形，设过P,C,D三点的球心为O,半径 为R, 则球O中过P,C,D三点的截面圆圆心O为△PCD的中心，截面圆的半径 r=4x5x245 233 设球心O到截面圆O的距离为d,则R2=d2+r2,要使球O的体积最小，则R最小， 当d=0时，R有最小值为R=T=45 此时O、O重合，即球心为△PCD的中心， 3 如图，作出符合题意的图形， B D M 设Q为正方形ABCD的中心，M为CD的中点， 连接PO、BQ、PM、QM,过O作ONI/PQ,交于点N, 则2为正四棱锥的高，PQ=√PB2-B0=4-(2W2)=22, 由ONW/PO知，ONL平面ABCD,且ON=P0=2y5 3 即球心O到截面ABCD的距离为h=2V2 所以截面圆的半径为√R-2 25 2M0 3 3 210 所以球被平面ABCD所截截面的面积为S=πx 40π 9 9.ACD 【详解】因为6x75%=4.5,所以数据1,2,3,4,5,6的75%分位数是5，A正确： 设数据x1,为3，，x的均值为x,记y=3x+1(1=1,2,3,,n川，则y=3x+1, 子之g-可之k-=98=9,故标准差是3，B不正确： ni=1 若A与B是任意两个事件，AC(A+B),则A(A+B)=A,C正确； 因为事件A与B互斥，且P(A=0.2,P(B)=0.3,所以P(AUB)=P(A)+P(B)=0.5,D 正确 10.ABD 8 【详解】对于A,设BC的中点为D,所以AD=(AB+4C), 丙应数平方而-丽，衣+2而示9422？ 则AD= 2,故A正确 2 对于B,:△ABC为钝角三角形，A,B为锐角，A+B< 205A< -B< 2 ..sinA<sin 匹-B=cosB,B正确： 对于C,由余弦定理可得：c0sA=B+c2-d-V ,所以b2+c2-ad2=V3bc, 2bc 2 又因为b2+c2-16=36c,所以a2=16,所以a=4, 又因为b2+c2-16=√5bC≥2bc-16,则bc≤162+V3),当且仅当“b=c时取等， 则e4BC面积为S=bc sinA=bc≤42+VB), 所以eABC面积的最大值为8+4√5，故C错误： 对于D,如图，若ABC有两解，则asin B<b<a,b∈(3,2W3),D正确 a asinB b b B A 11.AB 【详解】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，那么 对于A选项，AB=(2,0),设P(xy),0≤x≤2.0≤y≤2，AP=(xy), 由AP=AB+uAD得，(x,y)=2(2,0)+u(0,2)=(222), 所以x=22y=2业，即元=X 名A经5 故当x=y=2时，元+u=X+兰取得最大值，最大值为2，故A选项正确： 22 对于B选项，设BP与AC相交于M,则由 BP S.APB:S.BPC= BP .MS.c.M:.AM:CM-4 BM CP P与AB相交于N,则由SBre:S.APC-RBCNSACN=SBaw:SAcg=BN:AN 可得， M A B主 因B,P,M三点共线，故存在实数m,使AP=mAB+Q-mAM=mAB+-mAC, 因C,n,N三点共线，故存在实数，使得亚=1-叫瓜+nC--川亚+nC, 所以m=子-ma-m=,解得m=弓m-香 =。n=g 山于=丽-c,所以A-后A-台A+n-号 ,所以，B选项正确 对于C选项，点P在线段CD上时，设P(n,2),0≤n≤2，AP=(n,2), AD.AP=(0,2)(,2)=4,故C选项错误： 对于D选项，由A选项知，=M=号故2+2业=之 2即=x 1 2 22 所以P点轨迹为直线y=?2在正方形ABCD内的部分，即线段EP, 其中y号平，令=0得分令7=0得1· 改--5，故使22=的P点轨选长度为 2 所以，D选项错误。 故选：AB A B 14 10 【详解】因为4B相互独立，所以小、豆也相互独立，又P④-P) 所以P(a丽)=PaP回)=Pa0-PB专)号 15.28 【详解】以C为坐标原点，CB,CA所在直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系，如图所 示：则A(0,8),D(4,4),B(8,0),P(x,0)(0<x<8) 则赞=(x8节4-x,4④. 所以赞节-x4-)+32=x2-4x+32=(x-22+28. 当x=2时，PAPD取得最小值28. 16买 【详解】过A,B分别作x轴的垂线，垂足分别为C,D,过A,D分别作y轴，x轴的垂线相交 于点E, 连接ARBa,则∠nDB-BD=DR=M, 由余弦定理得B'=M+M-2M'cos2T-3M, 由上可知，x轴垂直于BD,DE,又BD0DE=D,BD,DEC平面BDE, 所以x轴垂直于平面BDE,又AE//x轴，所以AE⊥平面BDE, 因为BBc平面8D8,所汉BLBE,因为化的驾T-名 =8 ,所以AB=CD=4, 4 6 由勾股定理得3MP+16=25,解得M=√5，由图知，f(x)的图象过点 0, 且在递减 区间内，所以了O=5n0-6即snp-5 2 因为0<p<π， 点 06 3 故答案为： ”2 在递减区间内，所以”=3死， 18.0)a=0.0125,中位数为100，平均数101(2) 【详解】（1)由20×(0.0025+a+0.02+0.01+0.005)=1,解得a=0.0125 由图可知，成绩在区间[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]的频率分别为 0.05,0.25,0.4,0.2,0.1, 因为0.05+0.25=0.3<0.5,0.05+0.25+0.4=0.7>0.5， 所以中位数位于区间[90,110)内，设中位数为x, 则有0.05+0.25+0.02×(x-90)=0.5,解得中位数x=100分， 这500名同学数学成绩的平均数为： 元=60×0.05+80x0.25+100×0.4+120×0.2+140×0.1=101分： (2)由区间[50,70)的人数为：0.0025×20x500=25人 区间[130,150]的人数为：0.005×20×500=50人 人数比为1：2，所以在区间[50,70)应抽取2人，设为4，A2, 在区间130,1501应抽取4人，设为B,B2,B3,B4, 设事件A=“这6人中选取2人，选取的2人均位于区间130,150]小”， 由样本空间2={AA,AB,AB2,AB3,AB4,AB,AB2,AB3,AB4,BB2,BB3, BB4,B2B3,B2B4,BB4},得n(2)=15, 由事件A={BB2,BB3,BB4,B2B3,B2B4,B3B4},得n(A=6, 所以P(4)=n4_62 n(2)155 19.(4)证明见解析（②）证明见解析6)35 16 【详解】(1)如图②取BM的中点N,连结PN,QN ·P是DM中点，N是BM中点，在△DBM中， 由中位线定理得PN∥BD, 又PN丈平面BCD,BDC平面BCD,.PNII平面BCD D B 又：M是AB中点，N是BM中点，AN=3NB,又A2=3QC, 图② 12 故在△A'BC中，得ON//BC, 又QNL平面BCD,BCC平面BCD,∴.QNII平面BCD 由PNc平面PW,QNc平面PQN,PNOON=N, ∴.平面PON/I平面BCD,又P2C平面PON,.PQ/I平面BCD. (2)如图④，在平面A'BC中，过B作BH⊥A'C,H为垂足， :平面ABC⊥平面ACD,BHC平面ABC,BH⊥A'C,平面 ABC∩平面ACD=A'C,.BH⊥平面ACD, H D 又CDC平面ACD,.BH⊥CD,已知CD⊥BC, 又BHC平面ABC,BCC平面ABC,BHBC=B, 图④ \CD平面A'BC,又由ABC平面ABC,CD⊥A'B (3)由(2)知A'B⊥DC,又已知A'B⊥DB,CD,DB是面BCD内两相交直线， :A'B⊥面BCD,即A'B为三棱锥的A'-BCD的高，设点C到面A'BD的高为h, 则由VA-BcD=c-DA'B=2,BD=2V3,BC=V5,CD=3得 含352-行236，解得为号，又由0=5Q0知点e缅8D的离为 32 2 -又8w89 1 1√5933 2 :VA-2M=Vg-Fw=32‘816 20.@2a0:i45+8 sinB a-c 【详解】D因为m4+Cbd所以。，即+c-:=加， a+c b+c 所以c碳A:-子因为40，所以A-专： 2bc 3: （2)(i)因为smB=2sinC,由正弦定理得：b=2c, 因为4D平分∠A4C,所以B4D=∠CAD-子 因为Sac=Sao+8e,所以esin 兀.1 3 将AD=2,b=2c代入上式得c2=3c,解得c=3,b=2c=6, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bcc0sA=62+32-2×6×3×cos 2=63,解得a=3V7. (i)由SBc=S.aD+ScAD, 得bc sin2亚=b-AD-sim+2c4D-sim5 32 32 13 将D=2代入上x565。,即c=2+,即哈日 4 2 2 则6=20+e6月=22-号+)2-2后8=8， 当且仅当b=c时，等号成立，则b+c的最小值为8： 由余弦定理得ad2=b2+c2-2 bc cosA, =b2+c2+bc=(b+c)2-bc=(b+c)2-2(b+c）, 令t=b+c,则a2=t2-2t=(t-1)}-1, 因为t≥8，当t=8时，a2的最小值为(8-1)2-1=48， 则a的最小值为4W3,所以ABC周长的最小值为a+b+c=4W3+8, 21.(L证明见解析(2)画3)存在，P为线段EF的中点 4 【详解】(1)因为AB∥CD,∠DAB=90°，则∠ADC=90°，即CD⊥AD, 因为平面ADE⊥平面ABCD,平面ADE∩平面ABCD=AD,CDC平面ABCD, 所以CD⊥平面ADE. (2)取AD的中点O,连接OE,因为ADE为等边三角形，∴EO LAD,因为平面ADE⊥ 平面ABCD,平面ADE∩平面ABCD=AD,∴.EO⊥面ABCD,取CD 中点G,连BG,取BG中点H,连FH,由已知，EF∥AB∥DG,∴EF ∥OH,且EF=OH,四边形EFHO为平行四边形，FH∥EO,FH ⊥面ABCD,连HC,故FC与平面ABCD所成的角为∠FCH, ,等边三角形ADE中，AD=2,则OB=√3，FH=5,HC-√5， FC=2√2，“.cos∠FCHC5四故FC与平面ABCD所成的角为的余弦值为四。 FC 2v2 4 4 (3)存在P为EF中点，使得BD⊥AP,证明如下： 连AG交BD于N,连PN,由己知四边形ABGD为正方形， 故BD⊥AG,又EP∥ON,EP-ON,∴.四边形EPNO为平行四边形， ∴，PN∥EO,,EO⊥面ABCD,PNL面ABCD,PN⊥BD, 又BD⊥AN,AN∩PN=N, ,BD⊥面APN,APC面APN,.BD⊥AP。 14 22.(1)0F.OE=0(2)证明见解析(3)存在， 【详解】1)因为0-分所以cos0=0,n0=1,所以0死-(5,1，所以o明o明=0 (2)证明△ORA1与△OPR,面积相等首先证明所有O为定值： R(xcos0-ysin)+(xine+y.cos =x2(cos20+sim20)）+呢(6in20+cos20x2+2=bg 因此O=or=OP=o=2, 0P·OPk+i=￥cos6-x sin6+XVx sin6+y喔cos6=4cos6, 所以cos(op,oP+1)=立=os, 2×2 故∠ROPa=∠R.OR:=0,三角形面积公式：S=04 si.∠A0B, 因此：Sw号p9|p9em622sm9=2s如6， Sm,=pPpR小n0:2sn0,放面积相等，得E (3)u+w=(O+OP,)+2(OR-OP)=(1+)O+1-)OR1, u+=(1+2)DP+21+2)0-DP.-OP4-2)Φp =41+2)2+20-22)4c0s0+4(1-2=81+2+1-22)c0s0, 不等式u+州≥23等价于u+≥12，代入得：81+2+(1-2)cs0≥12， 整理化简得：21-元2)cos0+222-1≥0，因为6∈(0，π)，故cos0=t∈(-1,1)， 上式是关于t的一次函数f(t)=21-+22-1, 一次函数在(-1,1)恒非负只需端点满足：f(1)=21-22)+222-1=1≥0恒成立； f(-1)=-20-2)+22-1=42-3≥0，解得足≥3 因此存在满足条件的1，取值范围为1≤-9或元之52026年上学期高一第三次诊断性测试 数学试卷 时间：120分钟总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知复数z满足+2=(2+)（其中1为虚数单位），则三的虚部为() A.1 B.2 c.√2 D.2W5 2.平面向量a,万满足=2，aa+8)=3,且向量a,5的夹角为牙，则风=（) A.1 B子 C.5 D.2 3.己知&，B,Y是三个不同的平面，，，1是三条不同的直线，下列命题中正确的是 () A.若m⊥l,n⊥1，则ml∥n B.若a⊥Y,B⊥y,则ap C.若m⊥a,∥n,则n⊥ D.若a⊥B,mca,ncB,则m⊥n 4.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a2+c2-b2=V3ac,则sinB=（) B C. D. 5.若)是定义在R上且周期为2的奇函数，当2<≤3时，f)=x2-4x,则f(习 () B C.4 15 D 6.冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激 凌可近似地看作圆锥和半球的组合体·若半球部分的体积为 乙，圆锥部分的侧面展开图是半圆形，用塑料外壳 冰激凌密封固定，则所用塑料的面积至少为() A.16π B.18元 C.24π D.36元 ,将西数)=血（然p。0外到的图象向左平移0个单位长度得到通数g问的 图家，如图所示，1，且图中阴影福分的面积为子.则=《) 试题第1页，共5页 y=g(x) y=f(x) 6 A.6 B牙 D. 12 8.在正四棱锥P-ABCD中，AB=PA=4,当过P,C,D三点的球的体积最小时，该球 被平面ABCD所截截面的面积为() A.r 9 D. 16 C. 8 3π 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分， 9.下列命题正确的是() A.数据1,2,3,4,5,6的75%分位数是5 B.数据X,x2,,的方差是1，则3x+1,3x2+1,,3x+1的标准差是9 C.若A与B是任意两个事件，则A(A十B)=A D.若事件A与B互斥，且P(A)=0.2,P(B)=0.3,则P(AUB)=0.5 10.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，下面四个结论正确的是() A.若c=2,b=3,A=亚 ,则BC边上的中线长为 2 B.在钝角△ABC中，A,B为锐角，则不等式sinA<cosB恒成立 C.若A=元，b2+c2-16=VBbc,则△ABC面积的最大值为4+4W5 6 D.若B-号a=25,且△ABC有两解，则6的取值范国是2) 11.正方形ABCD的边长为2，动点P在正方形内部及边上运动，AP=1AB+LAD,则下 列结论正确的有() A.元+u的最大值为2 B.当P为△ABC内部的点，S△4PB:S△BPC:S△4Pc=4:3:2,AP=AB+AC, 则21A号 C.点P在线段CD上时，ADAP=2 试题第2页，共5页 D.若元+2业=2则P点轨迹长度为5 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知随机事件A,B相互独立，且P(A0=, 风到=京则回 13.在等腰直角△ABC中，D为斜边AB的中点，点P在边BC上，BC=8,则PA.PD的最 小值为 14.如图绘制有函数f()=Msm工x+p[M>0,0<0<]的部分图象，图象与y轴的交点 其中A,B分别为最高点和最低点，现将此图沿着x轴折叠形成一个钝二面角， 夹角为120°，其中此时AB之间的距离为5，则p= 6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.为了解高一年级学生在期末考试中的数学成绩情况，某校调查了该年级500名同学的数 学成绩并绘制成频率分布直方图. 频率组距 0.0200-- 0.0100 0.0050 0.0025 0507090110130150成绩/分 (1)求a的值及这500名同学数学成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点 值表示)： (2)现拟在区间[50,70)，[130,150]用分层抽样的方法抽取6人，然后在这6人中随机选取2 人举行座谈，求选取的2人均位于区间[130,150]的概率. 试题第3页，共5页 16.如图①，平面四边形ABCD由两个三角形拼接而成，其中AB⊥BD,BC⊥CD, ∠A=∠DBC=60°，现以BD为轴将△ABD向上折起至位置A,连结A'C得到如图②的三 棱锥A'-BCD,M是A'B的中点，P是DM的中点，Q在A'C上，且A2=3QC. M B B C 图① 图② (1)求证：P2//平面BCD; (2)若平面ABC⊥平面ACD,求证：CD⊥A'B: (3)在(2)条件下，若AB=2,求三棱锥A'-PMQ的体积. sin B a-c 17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, sinA+sinC b+c (1)求A. (2)已知AD平分∠BAC且交BC于点D,AD=2. (i)若sinB=2sinC,求as (i)求△ABC周长的最小值. 试题第4页，共5页 1 18.如图，在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF,∠DAB=90°，AB=AD=EF=二CD=2, 2 △ADE为等边三角形，平面ADE⊥平面ABCD. 夕 (I)证明：直线CD⊥平面ADE: (2)求直线FC与平面ABCD所成角的余弦值： (3)在线段EF上是否存在点P,使得BD⊥AP,若存在，请求出点P的位置；若不存在，请 说明理由. 19.在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量OR=(化k,y)和角0∈(0，π)，定义变换如下： OP=F。(Op)=(x,cos0-⅓sin6,sin0+y,cos),且Op=(1V3). ()若0=牙，求o乎o明的值： (2)求证：△ORP+1与△OR+1P+2的面积相等： (3)设向量u=0P+OPk+i,v=OP-OPk+i,是否存在1eR,使得H0e(0,)，不等 式u+λv≥23恒成立.若不存在，说明理由：若存在，求出1的取值范围. 试题第5页，共5页