【天壹试题】2025-2026学年高二6月校内检测 数学

机密★启用前 高二年级6月测评 数 学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹 签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝.明代会试分南卷、北卷、中卷，按 11:7：2的比例录取，若某年会试录取人数为400，则中卷录取人数为 A.150 B.110 C.70 D.40 2.已知集合A={xx2-x-2≤0}，B={x∈Zlog2|x≤2}，则A∩B= A.{-1,1} B.{-1,1,2} C.{-1,2} D.{-1,0,1,2} 3.已知向量a=(1,2),b=(m,一1)，且(a十b)⊥a,则实数m A.-5 B.-3 C.3 D.5 4.椭圆4x2十y2=1的焦点坐标为 A.(3,0),(-3,0) B.(3,0),(-√3,0) c(o,).o,) D.(o,)0,-) 5.已知函数f(x)=x5-5x4+10x3-10x2+5.x-1,则f(100)= A.-1015 B.-995 C.1015 D.995 6.已知0<a-受，sin acos-2,cos sin月=3，则tan(2a-2p)- A.35 17 B.35 35 C.35 6 【高二数学第1页（共4页）】 B 7.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,bc,若cosC=号2+2B=32,则 sin Asin B- A易 c品 n 8.已知y=f(x)一3x是定义域为R的偶函数，f(x)的导函数f(x)满足f(2十x)= f(2-x),则f(2028)= A.2 B.3 C.4 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9,若两数f()=g千的定义城是(-6.6，则下列说法正确的是 A.f(x)是奇函数 B.b∈(0,1] C.f(x)是定义域内的增函数 D.若f(跆)=-1，则6=1 10.已知函数f(z)=sin(2x十p)(0<<π)的图象与函数g(x)=sin(2x-)的图象关于 直线x=对称，则 A9=变 B.g()的图象关于点（是0）对称 C.将f(x)的图象向右平移红个单位长度后所得函数图象与g(x)的图象重合 D.若g(x)的图象向左平移(0>0)个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则0的最 小值为等 11.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,点A在C的准线l上，过A的直线与C相切于点P, 点B在C上，且满足PB⊥PA,则 A.准线1的方程为y=一1 B.F可能在直线BP上 C.BF的最小值为9 D.△PAB面积的最小值为16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知i是虚数单位，若复数2x十(x一3)i的实部与虚部之积小于0，则实数x的取值范围 是 13.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S=10,So=120,则S2o= 14.如图，点P,A,B,C均在球O的表面上，PA=PC=BC=1,AB=2,PB =√2，平面PAC⊥平面ABC,则球O的体积为 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(本小题满分13分) 盒中有标记1,2,3,4的小球各2个，随机一次性取出3个小球. (1)求所有取出的小球上的数字之和小于6的概率； (2)记所有取出的小球上数字小于3的个数为X,求X的分布列与数学期望. 16.(本小题满分15分) 已知双曲线C芹若=1Ka>0,6>0)的左，右焦点分别为F,F:离心率为，且点 (2.号)在双尚线C上. (1)求双曲线C的方程； (2)若双曲线上存在一点A,满足AF1·AF2=3,求点A到双曲线的两条渐近线的距离 之和. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PBD是正三角形，AB=AC=2, PC=2√3，E为PD的中点 (1)证明：平面PAC⊥平面ABCD; (2)求二面角B-CE-D的正弦值. 【高二数学第3页（共4页）】 B 18.(本小题满分17分) 在数列{an}中，a1=2,a。.=5n,an>0. (1)求a1o的值； (2)当k∈N时，用含k的式子表示a2×5; (3)令(1-b,)log,ax=1,证明：b十b十…十h,<n十ln2 n+21 19.（本小题满分17分) 已知函数f(x)=a+径-sinx-1,a>0且a≠1，b≥0. (1)当a=e,b=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)当b=0时，若f(x)有且仅有两个零点，求a的取值范围； (3)若a≥e,且当x∈[0，π]时，f(.x)≥0，求6的最大值. 【高二数学第4页（共4页）】 9高二年级6月测评·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B C D A C B 题号 9 10 11 答案 ABD ABD ACD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.【答案】D 2 【解析】由题意知，会试录取人数为400，根据分层抽样的性质可知，中卷录取人数为400×1十7十2一40. 故选D 2.【答案】B 【解析】由x2-x-2≤0，解得-1≤x≤2，由log2x≤2，解得x∈[-4,0)U(0,4],且x∈Z,所以B= {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4},即A∩B={-1,1,2},故选B. 3.【答案】B 【解析】.a=(1,2),b=(m,-1)∴.a十b=(1+m,1),由(a十b)⊥a得到(1十m)×1十1×2=0，解得m =一3，故选B. 4.【答案】C 【解析们椭圆标准方程为二十y2=1,因为<1，所以焦点在y销上：面半焦距为√一子-号，所以焦 点坐标为(0，士） 故选C. 5.【答案】D 【解析】因为f(x)=x5-5.x+10x3-10x2+5.x-1=Cx5+Cx(-1)1+Cgx3(-1)2+Cx2(-1)3+ Cx(-1)+C(-1)5=(x-1)5,所以f(100)=(100-1)5=99,故选D. 6.【答案】A 【解]标已知0Ca一大受sina》=in oain日则cosa》=国，放tan(a-g》 sin(a-3)_√35 cos(a-β) n-0。震成在A 7.【答案C 【解析】依题意，由正弦定理得，2srA+2sinB=3sinC=3X(停）厂-务，所以siA十simB- 箭由 余孩定理可得，2a+26=3(a+6-2 abeosC0.即2a+26=3a2+6-号ab,所以d+公=ab, 即simA十sinB-兰sin Asin B.所以sin Asin B=易故选C. 8.【答案】B 【解析】因为y=f(x)一3.x是定义域为R的偶函数，所以f(一x)一3（一x)=f(x)一3x,即f(一x)十 3.x=f(x)-3.x.f(-x)十3x=f(x)-3.x两边求导，可得：-f'(-x)+3=f(x)-3,可得f(x)+ 【高二数学参考答案第1页（共6页）】 B f'(一x)=6.因为f(2+x)='(2一x),所以'(x)的图象关于直线x=2对称，则(x)=(4一x). 用-x代替x,可得f'(-x)=∫(4十x).将f(-x)=f(4+x)代入f(x)十f(-x)=6中，可得 f'(x)十f(4十x)=6①.用x十4代替x可得f'(x十4)+f'(x十8)=6②.由②-①可得： f'(x+8)=f(x).所以f'(x)是周期为8的周期函数.所以(2028)=f(8×253+4)=f(4).因为 f'(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(4)=f(0).在f(x)+f'(一x)=6中，令x=0,可得2f(0) =6,解得f'(0)=3,所以f'(4)=3,即f(2028)=3.故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】ABD 【解析]因为十-)=得得多=1=0，所以)是奇两数，所以A 选项正确； 函数f)=g三所以十子0，得(-1，).所以C01,B准项正确： 令-卡子。1，当∈（一，6带大时，诚小波小所以西数在定义坡内是减商藏，C选 项错误； 1、96 ()= 一1，则 111 1+ 1十56·解得=1，故D正确故选ABD 11 10.【答案】ABD 【解析】依题意，s(号-x)=sin(受-2x）=fx,所以p=受，A选项正确： g()=0,B选项正确： 由A可知，f(x)=c0s2x,将f()的图象向右平移餐个单位长度后所得函数为f(2-)） cos(2x一经)=cos(2x-受F)=sin(2z-),C选项结误： gx十0)=m(2x-吾+20)，所以-音+20=②生D,k∈Z.所以0=②牛D+受，k∈Z,由9> 2 4 0,所以>5，D选项正确；故选ABD, 11.【答案】ACD 【解析】易知F(0,1),所以1的方程为y=一1，A选项正确； 设点P的坐标为，)因为)一音，所以点P处的切线斜率为号，所以直线PB的斜率为一是所 以直线PB:y一=一 2(-),若F在直线BP上，则1-空=一2(0-)=2，即=一4，无 4 解，B选项错误； 直线PB与x2=4y联立可得，聋-平=二(x一)=)(+），解得=一 4 4 一xo,即B的 o 8 6+64+16 +4+16 横坐标为-8 一，所以B的纵坐标为 一，所以|BF1=— +1≥ X +16 x -十1=9.C选项正确； 【高二数学参考答案第2页（共6页）】 B 直线PA的方程为：y一平-受(x-x),令y=-1,则=受一名所以A(受品，-1小所以PB +(-++21Pa-+台是-✉ √+2台引，所以△PAB的面为PA·PB=V2+(8++) 22++贾·(8+云+》设=6+≥2√×要-8，当且仅当=2时，等号成立， 所以△PAB面积的最小值为生√2+子≥兰2+三=16.D选项正确，散选ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】(0,3) 【解析】由复数2x十(x一3)i,可得复数的实部为2x,虚部为(x一3)，因为复数2x十(x一3)i的实部与 虚部之积小于0，可得2x·(x一3)<0，解得0<x<3,所以实数x的取值范围为(0,3). 13.【答案】640 a1=-6, 【解析】因为S5=5a1+10d=10,S1。=10a1+45d=120,解得 故an=4n-10,Sm= d=4, n(4n-10-62=2m2-8n,所以S2,=640. 2 14.【答案】5x 6 【解析】取AC的中点D,连接PD,BD,如图，在△PAC中，PD⊥AC,因为平面PAC⊥平面ABC,且 平面PAC∩平面ABC=AC,所以PD⊥平面ABC. 设AD=x,则PD=1-2,oS∠BAC=AB+AC-BC3+4 2AB·AC x BD=AD+AB-2AD·ABcos∠BAC=2+4-2·2x.3+4C=多-. 8.x 因为PB=PD+BD,所以1+号2=2，解得x停，则PD名， 所以AC=2x=√3，因为AC+BC=AB,所以AC⊥BC. 取AB的中点G,则G为△ABC外接圆的圆心，过点G作直线1垂直于平 面ABC, 设△APC外接圆的圆心为E,过E作直线l2垂直于平面APC,记l1∩l2=F, PC 1 在△APC中，由正弦定理可得2PE=sn∠PAC=PD=2,解得PE=L, PA 则F为四面体P-ABC外接球的球心.连接AF, 则FG=DE=PE-PD=1-2-3, 四面体P-ABC外接球的半径为AF=√AG+FG=5, 2 所以四面体A-BCD外接球的体积为寺x·(停)广-5 6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.【答案11是(2)详见解析，号 【高二数学参考答案第3页（共6页）】 B 【解析】(1)记事件A为“所有取出的小球上的数字之和小于6”，则， 2分 P(A)= CC+CC+CC 4分 C 28 故所有取出的小球上的数字之和小于6的概率为28……… 5分 (2)X的所有可能取值为0,1,2,3，则，……… 6分 P(X=0)= C-1 @14' 7分 P(X=1)= C 8分 P(X=2)= CC C 7 9分 P(X=3)= C_1 C14' 10分 故X的分布列为， X 0 1 2 3 P 1 1 14 7 7 14 11分 X的数学期望为E(X)=0X+1×号+2X号+3×-号 13分 16.【答案】1) -y2=1 (2)W6 =2v3 a 3 【解析】(1)由题意得 4 1 2分 a 361 a2+b2=c2 a=√5 解得b=1 5分 c=2 故双曲线的方程为号 y2=1 6分 （2)设点Aw),则号-6=1， 7分 由D,得写-y2=1,则F(-20.F,2,0,即A=（-2--w.AF=(2--w,… …9分 因为AF·AF2=3,所以(-2-x)(2-x)十(-)2=3，整理得x8十=7，…10分 反因为装y听=1，所以x号=6，听=1， 11分 双曲线C:亏-y=1,故两条渐近线为y= 3x, 12分 设点A到两条渐近线的距离分别为d1d2,…………13分 则d山+d,=+3+53l=|=6, 25 25 【高二数学参考答案第4页（共6页）】 B 故点A到双曲线的两条渐近线距离之和为√6. 15分 1.【答案11详见解析（2)厘 【解析】(1)如图，记AC∩BD=O,连接OP. 1分 因为四边形ABCD为菱形，所以OB=OD,AC⊥BD,… 2分 因为△PBD是正三角形，所以PB=PD,所以OP⊥BD,…3分 因为AC,OPC平面PAC,AC∩OP=O,故BD⊥平面PAC,因此平面PAC⊥平面ABCD;·5分 (（2)由已知得OP=3,OC=1,AC=2.…6分 且cos∠PCA=2+25)-PA=12+(25-3,解得PA=22.. 7分 2×2×2W3 2×2√3 因此PA2十AC2=PC2,即PA⊥AC.… 8分 且PA⊥BD,AC∩BD=O,所以PA⊥平面ABCD.…9分 以A为坐标原点，AD的方向为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz. 则B(√3，-1,0)，C(3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2√2)，E(0,1W2) 所以BC=(0,2,0),C它=(-3,0W2),C方=(-√5,1,0).…11分 设平面BCE的法向量n1=(x,y,之)，平面CDE的法向量n2=(p,q,r),则 n1·BC=0,2y=0, 即 m·Ci=0,-5x+2=0 可取n1=(W2,0W√3).…12分 n·CD=0,-5p十q=0, m·i=0.即-6+E,=0 可取n=(W2W6,W3).… 13分 所以o=R治= 11 14分 因此二面角B-CE-D的正弦值为，1-（压） 66 11 11 15分 18.【答案】(1)25(2)a2×5=5+1(k∈N)(3)详见解析 【解析】(1)记an=f(n),由a。,=5n,得f(f(n)=5n.… 1分 因为a1=2,所以aa=a2=1×5=5,故f(2)=5. 由f(f(2)=2×5=10,得f(5)=10.由f(f(5)=5×5=25,得f(10)=25. 3分 所以10=25;………………4分 (2)令n=5*(k∈N),则f(f(5)=5X5,所以f(f(f(5))=f(5×5).…5分 且f(f(f(5))=f(5X5)=5f(5),故{f(5)}是公比为5的等比数列.…7分 所以f(5)=f(5°)X5=2X5,即f(f(5)=f(2X5*).…8分 且f(f(5)=5X5,所以f(2X5)=5+1,即a2×=5+1(k∈N);…9分 (3)由a×g=5+1且(1-么，)logazx=1,得6.=1-n十 ………10分 设函数)=x1n+1D>0).则()=1中>0,8)单调递指。 …………12分 所以g(x)>g(0)=0,即x>ln(x十1)(x>0).… 13分 则，>ln(n+1小，故，=1-1+im(n+1)-lnm+2》. ………15分 故b1+b2+…+bn<n+(ln2-ln3)+(ln3-ln4)+…+[ln(n+1)-ln(n+2)].…16分 【高二数学参考答案第5页（共6页）】 B 即b1+b2+…+bn<n+ln 2 n十2 …17分 19.【答案11y=。x(2)0.1)3) e2 【解析】(1)当a=e,b=1时，f(x)=e十工-sinx-1,f(0)=0,…1分 了(x)=e+日-os,f0)=1+日-eos0= ,……………2分 e 所以y-f(0)=(0)(红-0)，即y=1,…3分 e 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=- 4分 (2)当b=0时，f)=a+若-1，f0)=0,f)=a1na+ 1 a …5分 当a>1时，f(x)>0,f(x)单调递增， 因为f(0)=0,所以f(x)有且仅有一个零点.… 6分 当0<a<1时，易知f(x)单调递增，令f(x)=0,解得x=log.（一ana》 12 ，…7分 所以fx)在（一∞，log(一aa)止单调递减，在(og(一aa)+e)上单调递城， f(-1）=-1<0,…8分 f(ana)=a应a 1 -1=e 1 a2 In2a 一1>0（利用e一x2一1>0），…10分 1 所以存在∈(aa1,使得f(,)=0, 所以f(x)有且仅有两个零点， 所以a的取值范围是(0,1)；… 11分 (8)f)=a1na+日-c0sx.因为f0)=0.所以必有f(0)=lna+日-6≥0，…12分 设g(x)=a1lna+-bcos,x∈[0，元]，则g(x)=alna+bsin≥0， a 所以在x∈[0，π]时，g(x)单调递增，…13分 所以aa-是-60，博hat合名<e+是 14分 aaa 设h()=2+(≥0h)1ng-是-n12-1-n》-2≤-名 x x <0. 所以h(x)在[e,十∞)上单调递减，…15分 所以h(x)≤h(e)=e+1 16分 所以的最大值为十1 e21 17分 【高二数学参考答案第6页（共6页）】 B高二年级6月测评 数学答题卡 准考证号 学 校 00I000000I0I0 1D1□口11□1D1DDD 姓名 2222222222 3333]33333]3 44I44I4☐4444④4▣ 班 级 5555555555 6666666666 707077I77 7I777 考场号 座位号 8888□888888 99]99I999I9I99I 1.答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、准考证号填写在规 注 定的位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本人相符并完 全正确及考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置。 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑 事 色墨水签字笔作答，字体工整、笔迹清楚。 贴条形码区域 3.考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题 项 区域范围书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 填涂样例 正确填涂： 错误填涂：中Xp口 缺考标记：☐ 单选题（每小题5分，共40分） 1 A]B][C]D] 5 [ABC D 2 [A B][C]D 6ABI☑D 3A□B☐CD 7A□BD 4AB☐CD 8A▣B☐DI 多选题（每小题6分，共18分） 9A▣B☐ C]D 10[A]B [C]D 11A□B☐CD 填空题（每小题5分，共15分） 12 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高二数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ B 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) - 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高二数学第2页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ B