精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高二下学期7月月考数学试题

2025年下学期高二数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 实数a，b满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 已知等比数列是其前项和，，则（ ） A. B. 8 C. 7 D. 14 3. 已知等差数列的前项和为且，则使的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 4. 已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 6. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的极大值点 B. 是函数的最小值点 C. 函数在区间上单调递增 D. 曲线在处切线的斜率小于零 7. 已知数列满足的前12项组成一组数据，其第90百分位数为（ ） A. B. C. D. 8. 某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 设M，N为两个随机事件，下列命题是真命题的是（ ） A. 若M，N为互斥事件，且，则 B. 若，则M，N为相互独立事件 C. 若，则M，N为相互独立事件 D. 若，则M，N为相互独立事件 10. 如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知四面体中，，，，为四面体外接球的球心，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则的取值范围是 C. 若，则的取值范围是 D. 若，直线与所成的角为，则四面体外接球的表面积为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 设函数，，若是奇函数，则________． 13. 某城区交通要道有积雪堵塞，现场有9名男志愿者和5名女志愿者，交警拟安排其中3名女志愿者和2名男志愿者参与扫雪工作.其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有__________种用数字作答 14. 一只青蛙在正方体的顶点A处，每次等概率的跳跃到相邻三个顶点中的一个，那么六次跳跃后回到顶点A的概率为________． 四、解答题（共80分） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，且满足，求的周长． 16. 已知抛物线的焦点F在直线上． （1）求C的方程； （2）过点的直线交C于M，N两点，又点Q在线段MN上，且，证明：点Q在定直线上． 17. 已知实数，设． （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 18. 已知在点处与轴相切. （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）若，求证. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，且． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 20. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）椭圆C的左焦点为F，若T为直线上一点，过点F且与TF垂直的直线交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为M. （ⅰ）证明：点M在直线OT上（O为原点）； （ⅱ）求的面积的最大值，以及此时点T的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期高二数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 实数a，b满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数乘法计算化简，再结合复数相等列式求解. 【详解】由得， 解得，所以． 故选：D. 2. 已知等比数列是其前项和，，则（ ） A. B. 8 C. 7 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意求得，结合等比数列前项和的定义即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，可得，即，所以， 所以. 故选：C. 3. 已知等差数列的前项和为且，则使的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可得为递减数列，且有，有，，即可得. 【详解】由，则，可得，即， 所以，又，即为递减数列， 当，，当，，又， 所以使的最大值为10. 故选：B. 4. 已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数与对数函数性质结合题意列式计算即可. 【详解】当时，函数单调递增，所以， 要使得函数的值域为， 则当时，，解得，所以实数的取值范围是 故选：D. 5. 已知，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断出为偶函数，且在上单调递增，将所求不等式利用函数性质转化为利用单调性解得答案. 【详解】定义域为R， ， 所以函数为偶函数，又因为， 时，， 时，， 故， 所以在上单调递增， 则不等， 即解得:. 所以不等式的解集为. 故选：C. 6. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的极大值点 B. 是函数的最小值点 C. 函数在区间上单调递增 D. 曲线在处切线的斜率小于零 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断； 【详解】解：由导函数的图象可知， 当时，当时，当时，当或时， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值即最小值，所以是函数的极小值点与最小值点， 因为，所以曲线在处切线的斜率大于零， 综上可知ABD错误，C正确. 故选：C 7. 已知数列满足的前12项组成一组数据，其第90百分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断数列的单调性，确定其最大项，根据百分位数的求法，即可确定答案. 【详解】因为， 故一组12个数据的第90百分位数是将数据由小到大排序后的第11个数， 又, 则，， 即数列前9项逐渐增大，从第10项开始又逐渐减小，且， 由此可得和是数列的最大项， 故将数列的前12项从小到大排序后，或将排在第11，12位 所以第90百分位数为或. 故选：B 8. 某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得及. 【详解】用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得， ， 故选：B． 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 设M，N为两个随机事件，下列命题是真命题的是（ ） A. 若M，N为互斥事件，且，则 B. 若，则M，N为相互独立事件 C. 若，则M，N为相互独立事件 D. 若，则M，N为相互独立事件 【答案】ABD 【解析】 【详解】若M，N为互斥事件，且，则，由互斥事件的加法公式知A正确；若，则，得，满足，B正确；若，则，得，不满足，C错误；若，则，又，所以，满足，D正确． 10. 如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由超几何分布的概率以及期望、方差即可. 【详解】由题意知，. ， 则，故A错误，B正确； 由题意知，. ， ， 故CD正确； 故选：BCD 11. 已知四面体中，，，，为四面体外接球的球心，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则的取值范围是 C. 若，则的取值范围是 D. 若，直线与所成的角为，则四面体外接球的表面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A选项；由结合空间向量数量积的运算性质可判断B选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断C选项；以、为邻边作平行四边形，则为矩形，分、两种情况求出球的表面积，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，又因为，， 、平面，故平面，A对； 对于B选项，，由题意， 所以 ， 因为、互为异面直线，则， 故，故，B对； 对于C选项，不妨取的中点，连接、，则， ， 同理可得，， 所以， ， 因为，故，故，C对； 对于D选项，以、为邻边作平行四边形，则为矩形， 故的各顶点都在球的球面上，如下图所示： 则，又因为，，、平面， 所以，平面，且， 如下图所示： 圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心. 可将三棱锥置于圆柱内，使得的外接圆为圆，如下图所示： 因为，故异面直线、所成的角为或其补角， 当时，为等边三角形，则该三角形外接圆直径为， 设球的半径为，则， 此时，球的表面积为； 当时，由于，则， 则外接圆直径为，则， 此时，球的表面积为. 综上所述，球的表面积为或，D错. 故选：ABC. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 设函数，，若是奇函数，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用辅助式化简函数解析式，再由正弦函数性质求解. 【详解】函数， 由是奇函数，得，则， 所以. 故答案为：. 13. 某城区交通要道有积雪堵塞，现场有9名男志愿者和5名女志愿者，交警拟安排其中3名女志愿者和2名男志愿者参与扫雪工作.其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有__________种用数字作答 【答案】360 【解析】 【分析】相当于先从9人中选取2人，再从5人中选取3人，据此可得答案. 【详解】由题可得相当于先从9人中选取2人，再从5人中选取3人，则安排方法有： . 故答案为：. 14. 一只青蛙在正方体的顶点A处，每次等概率的跳跃到相邻三个顶点中的一个，那么六次跳跃后回到顶点A的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】移动偶数次返回的路径数，考虑从出发移动次后所在点，再分类探讨得递推公式，利用累加法求出，进而求出概率即可得解. 【详解】由点A出发，经过偶数次移动只能到达点，经过奇数次移动后只能到达， 考虑移动（为偶数）次返回到的路径数为，显然； 由于移动次后只能位于点，其中位于再移动1次可回到， 则考虑移动次后所在点，把这4个点分成两类，点和点， 若在点，路径数为，再移动2次返回到只有3种折返路径； 若在（路径数为）中的一个，再移动2次返回路径数， 每个点处都有2条路径（）， 因此移动（为偶数）次返回到的路径数， 即，累加得，总路径数为， 因此青蛙跳跃（为偶数）次后恰好回到的概率， 所以六次跳跃后回到顶点A的概率为 故答案为： 四、解答题（共80分） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，且满足，求的周长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解. （2）利用数量积的定义求出，再利用正弦定理角化边，结合（1）中信息求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 即，由余弦定理得，而 所以． 【小问2详解】 由，得，解得， 由，得，由（1）得， 则，即，解得，， 所以的周长为． 16. 已知抛物线的焦点F在直线上． （1）求C的方程； （2）过点的直线交C于M，N两点，又点Q在线段MN上，且，证明：点Q在定直线上． 【答案】（1） （2）证明如下： 设直线MN的方程为：，，，， 不妨设， 联立直线MN与抛物线C的方程，消去y可得， 由，且，解得且， 则，， 因为，则， 整理可得，即， 又因为点Q在直线MN上，则，消m得， 且且，可得得且， 所以点Q在定直线：（且）上． 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标可得，即可得方程； （2）设，，，，联立方程结合韦达定理可得，结合消元即可得结果. 【小问1详解】 由题意可得，则，解得， 所以抛物线C的方程为． 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 17. 已知实数，设． （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，写出切线方程即可； （2）求函数单调区间、极值、零点，，集合，由题意知，由时不成立知， 讨论与1的大小关系求出满足的的取值范围. 【小问1详解】 因为， ，， 所以，则. 故点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由已知有，令，解得或，列表如下： 所以的单调增区间是，单调减区间是和， 当时，取极小值，当时，取极大值， 由知，当时，，当时， 因为对于任意的，总存在，使得， 当时，不成立，故，所以，所以. 设集合集合 则“对于任意的，都存在，使得”等价于. 下面分两种情况讨论： 当即时，有且此时在上单调递减，的值域为， 故，，所以A不是B的子集.    当即时，有且此时在上单调递减，故，因而， 由有在上的值域为，所以，所以满足题意.    综上，的取值范围为 18. 已知在点处与轴相切. （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）若，求证. 【答案】（1） （2）单调递减区间为，无单调递增区间 （3）因为，则，要证， 即证， 即证， 设，则， 即证，即证， 令，， 又，所以在上单调递增，， 即，故不等式成立. 【解析】 【分析】（1）依题意知，，联立求得答案； （2）对，利用导数求单调区间； （3）对不等式变形，换元，构造函数证明. 【小问1详解】 因为在点处与轴相切，， 所以，，解得. 【小问2详解】 由（1）得，，定义域为，， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，所以，所以单调递减， 当时，，单调递减，，所以单调递减， 所以的单调递减区间为，无单调递增区间. 【小问3详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，且． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由线段关系证，结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线线垂直证线面垂直； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可. 【小问1详解】 由题意，则， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的一个法向量， 则，令，得， 设平面的法向量， 则，令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 20. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）椭圆C的左焦点为F，若T为直线上一点，过点F且与TF垂直的直线交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为M. （ⅰ）证明：点M在直线OT上（O为原点）； （ⅱ）求的面积的最大值，以及此时点T的坐标. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：由题可设，，PQ的中点为， 若直线PQ的斜率为0，不存在满足的点T，故设PQ的方程为， 代入椭圆方程得， 则，，， ∵TF的方程为，令，得， ∴，∴OT过PQ的中点，即点M在直线OT上. （ⅱ）面积最大值为，点T的坐标. 【解析】 【分析】（1）利用离心率和椭圆过的点列方程求解即可； （2）（ⅰ）设，，易知直线PQ的斜率不为0，设PQ的方程为，代入椭圆方程，韦达定理，求出PQ的中点坐标，进而有，即可证明； （ⅱ）由（ⅰ）可得，利用基本不等式求得的面积最大值及此时点T的坐标. 【小问1详解】 由题知，∴，∴， 又，∴，， ∴椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）可得， . ∵， 而，，， 当且仅当，即时等号成立. ∴，当且仅当时等号成立. ∴的面积最大值为，及此时点T的坐标. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $