2.2 有理数的乘法与除法（知识梳理+达标检测）-2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》（人教版）

本讲义聚焦有理数的乘法与除法核心知识点，系统梳理乘法法则（同号得正等）、倒数（乘积为1）、乘法运算律（交换律等）、乘法法则推广（负因数个数定符号）、除法法则（除以倒数或符号法则）、乘除混合运算（从左到右转化乘法）及加减乘除混合运算（先乘除后加减），构建从基础到综合的学习支架。 该资料特色在于结合生活实际设计问题，如篮球比赛场次、工程施工天数等，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过数轴与有理数乘积的推理题提升运算能力和推理意识，体现数学思维。解答题如耗油计算、高度变化问题，引导学生用数学语言表达实际关系，发展模型意识和应用意识。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生通过达标检测查漏补缺，强化知识应用。

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.2 有理数的乘法与除法（知识梳理+达标检测） 知识点一有理数乘法法则 1、两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积。 2、任何数与0相乘，都得0。 知识点二倒数 1、倒数：乘积是1的两个数互为倒数。 2、求一个数的倒数的方法。 知识点三有理数的乘法运算律 1、乘法交换律。 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。 2、乘法结合律。 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 3、乘法分配律。 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 知识点四有理数乘法法则的推广 1、几个不为0的数相乘，积的符号由负的乘数的个数决定，当负的乘数的个数是偶数时，积为正数；当负的乘数的个数是奇数时，积为负数。 2、几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0。 知识点五有理数的除法 1、有理数除法法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 2、有理数除法法则二：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商，0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点六有理数的乘除混合运算 1、有理数的乘除混合运算顺序：按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的。 2、有理数的乘除混合运算。 有理数的乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则确定积的符号，最后求出结果。 知识点七有理数的加减乘除混合运算 1、有理数的加减乘除混合运算。 先乘除，后加减，有括号的先计算括号里面的同级运算中，按照从左到右的顺序计算，并能合理运用运算律，简化运算。 2、计算器的使用。 计算器具有运算快、操作简便等优势，当有理数的混合运算的计算量大时，可借助计算器计算，各种类型的计算器在使用时，操作方法不尽相同（具体参见计算器的使用说明），但在进行加、减、乘、除四种运算时按键方法通常是一样的。 一、选择题 1．若的绝对值与的绝对值均为，则的倒数为（    ） A． B． C． D． 2．六年级8个班进行篮球比赛，每两队之间都要赛一场，一共要赛（   ）场． A．28 B．30 C．64 D．32 3．计算的结果是（   ） A．10800 B．-2700 C．-432 D．1080 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．海淀区某路段改造工程，甲工程队单独施工需天完成，乙工程队单独施工需天完成，两队合作施工，完成工程所需的天数为（   ） A． B． C． D． 6．有6筐水果，以每筐20千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称后记录如下：1.5，，2，，，．这6筐水果总重量为（    ） A．112千克 B．115.5千克 C．123.5千克 D．131.5千克 二、填空题 7．如图，数轴上点A、B、C分别表示有理数a、b、c，若a、b、c三个数的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则b____0． 8．已知，则的整数部分是______． 9．浙教版新教材七上第六章《目标与评定》中有这样的素材：上海东方明珠广播电视塔建成于1994年，塔下端三根斜柱共同支撑的球状建筑的直径是50米，你能根据下图估计出上海东方明珠广播电视塔的大致高度吗？现量得图中该球状建筑的直径是0.5厘米，塔高是4.6厘米，则上海东方明珠广播电视塔的实际高度约为________米． 10．有理数在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于______． 11．对于有理数，，定义运算：，则______． 12．自动扶梯停止运行时，一个小孩要用90秒钟才能走完60米长的自动扶梯．自动扶梯运行时则可用60秒钟将乘客从底端送到顶端．若小孩在运行的自动扶梯上行走，问小孩从扶梯底端到达顶端需要___________秒． 三、解答题 13．计算： 14．某一天，小朱开车从家出发，在南北方向的公路上来回行驶，规定向北为正，向南为负，行驶的路程情况如下：（单位：），，，， （1）小朱行驶结束后在家的什么方向，距离多少千米？ （2）若每千米耗油升，则小朱行驶结束后共耗油多少升？ 15．某空军举行特技飞行表演，其中一架飞机起飞上升后的四个动作表演高度变化如下表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 ________km 下降 ________km （1）将表格补充完整； （2）飞机完成上述四个动作表演后，其高度是多少？ （3）如果飞机平均每上升需消耗燃油，平均每下降需消耗燃油，那么这架飞机在起飞上升后的四个动作表演过程中，一共消耗了多少燃油？（直接写出答案） 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 16．有20筐白萝卜，以每筐20千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 2.5 筐数 1 4 2 3 4 6 （1）20筐白萝卜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ （2）与标准质量相比，20筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ （3）若白萝卜每千克售价20元，出售这20筐白萝卜可卖多少钱？ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.2 有理数的乘法与除法（知识梳理+达标检测） 知识点一有理数乘法法则 1、两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积。 2、任何数与0相乘，都得0。 知识点二倒数 1、倒数：乘积是1的两个数互为倒数。 2、求一个数的倒数的方法。 知识点三有理数的乘法运算律 1、乘法交换律。 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。 2、乘法结合律。 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 3、乘法分配律。 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 知识点四有理数乘法法则的推广 1、几个不为0的数相乘，积的符号由负的乘数的个数决定，当负的乘数的个数是偶数时，积为正数；当负的乘数的个数是奇数时，积为负数。 2、几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0。 知识点五有理数的除法 1、有理数除法法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 2、有理数除法法则二：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商，0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点六有理数的乘除混合运算 1、有理数的乘除混合运算顺序：按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的。 2、有理数的乘除混合运算。 有理数的乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则确定积的符号，最后求出结果。 知识点七有理数的加减乘除混合运算 1、有理数的加减乘除混合运算。 先乘除，后加减，有括号的先计算括号里面的同级运算中，按照从左到右的顺序计算，并能合理运用运算律，简化运算。 2、计算器的使用。 计算器具有运算快、操作简便等优势，当有理数的混合运算的计算量大时，可借助计算器计算，各种类型的计算器在使用时，操作方法不尽相同（具体参见计算器的使用说明），但在进行加、减、乘、除四种运算时按键方法通常是一样的。 一、选择题 1．若的绝对值与的绝对值均为，则的倒数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据绝对值的非负性，求出的值，再计算，最后得到的倒数即可． 【详解】∵与均为， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的倒数为． 2．六年级8个班进行篮球比赛，每两队之间都要赛一场，一共要赛（   ）场． A．28 B．30 C．64 D．32 【答案】A 【分析】本题属于单循环比赛场次计算问题，核心是避免重复计算场次，可通过先算所有队的比赛场次总和，再除以2得到实际场次（因每场比赛被两个队各算一次）． 【详解】解：∵六年级有8个班，每个班需和其余7个班各赛1场， ∴8个班初步计算的比赛场次为场， 又∵每场比赛会被参与的两个班各统计1次，存在重复计算， ∴实际比赛场次为场． 3．计算的结果是（   ） A．10800 B．-2700 C．-432 D．1080 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数加减乘除的运算法则，分别计算每个选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：∵，故A错误； 选项B：∵，故B错误； 选项C：∵，故C错误； 选项D：∵，运算正确，故D正确． 5．海淀区某路段改造工程，甲工程队单独施工需天完成，乙工程队单独施工需天完成，两队合作施工，完成工程所需的天数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为工程问题，考查了有理数的混合运算，将总工作量看作单位“”，先求出甲、乙两队的工作效率，再计算两队合作的工作效率，最后根据“工作时间总工作量合作工作效率”求解所需天数即可． 【详解】解：∵设总工作量为，甲工程队单独施工需天完成， ∴甲的工作效率为； ∵乙工程队单独施工需天完成， ∴乙的工作效率为； ∴两队合作的工作效率为， 故两队合作完成工程所需天数为（天）． 故选：A． 6．有6筐水果，以每筐20千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称后记录如下：1.5，，2，，，．这6筐水果总重量为（    ） A．112千克 B．115.5千克 C．123.5千克 D．131.5千克 【答案】B 【分析】先计算6筐水果的标准总重量，再计算所有重量偏差的和，最后将两者相加得到实际总重量． 【详解】解：（千克）． 答：这6筐水果总重量为115.5千克． 二、填空题 7．如图，数轴上点A、B、C分别表示有理数a、b、c，若a、b、c三个数的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则b____0． 【答案】 【分析】根据有理数的乘法法则：几个数的积是正数，则这几个数中负因数的个数应该是偶数个，从而得出 a，b，c 三个数都是正数或其中两个是负数，又根据这三个数的和与其中一个数相等得出这三个数只能是一个正数，两个为负数，由数轴可知，故只能 a，b 是负数，c 是正数，即可得出结果． 【详解】解：∵a 、b、c 三个数的乘积为正数， ∴a，b，c 三个数都是正数或其中两个是负数， 又∵这三个数的和与其中一个数相等， ∴这三个数只能是一个正数，两个为负数， ∵， ∴只能 a，b 是负数，c 是正数， 即． 8．已知，则的整数部分是______． 【答案】100 【分析】先确定中共有20个数，利用放缩法得到的取值范围，对不等式取倒数得到的取值范围，即可求出的整数部分． 【详解】解：对任意正整数满足，都有， .， 同理，对任意正整数满足，都有， ， 不等式各项均为正数， 对不等式取倒数得， 化简得：， 的整数部分为． 9．浙教版新教材七上第六章《目标与评定》中有这样的素材：上海东方明珠广播电视塔建成于1994年，塔下端三根斜柱共同支撑的球状建筑的直径是50米，你能根据下图估计出上海东方明珠广播电视塔的大致高度吗？现量得图中该球状建筑的直径是0.5厘米，塔高是4.6厘米，则上海东方明珠广播电视塔的实际高度约为________米． 【答案】460 【分析】本题考查比例尺，根据实际距离与图上距离对应成比例，列式计算即可． 【详解】解：（厘米）； 厘米米； 故答案为：460． 10．有理数在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与有理数，根据数轴上点的位置得到式子的正负，再根据绝对值的性质化简求值即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，，， ， ∴， 故答案为：． 11．对于有理数，，定义运算：，则______． 【答案】 【分析】根据，可以求得所求式子的值． 【详解】∵， ∴ ． 12．自动扶梯停止运行时，一个小孩要用90秒钟才能走完60米长的自动扶梯．自动扶梯运行时则可用60秒钟将乘客从底端送到顶端．若小孩在运行的自动扶梯上行走，问小孩从扶梯底端到达顶端需要___________秒． 【答案】36 【分析】本题主要考查了行程问题中速度、路程与时间的关系，熟练掌握速度 = 路程÷时间是解题的关键．根据路程、速度、时间的关系，先表示出小孩行走速度和扶梯运行速度，再利用合速度公式求出小孩在运行扶梯上的总速度，最后用路程除以总速度得到所需时间，全程列综合式计算． 【详解】解： ， ∴小孩从扶梯底端到达顶端需要秒， 故答案为：． 三、解答题 13．计算： 【答案】 【详解】解： ． 14．某一天，小朱开车从家出发，在南北方向的公路上来回行驶，规定向北为正，向南为负，行驶的路程情况如下：（单位：），，，， （1）小朱行驶结束后在家的什么方向，距离多少千米？ （2）若每千米耗油升，则小朱行驶结束后共耗油多少升？ 【答案】（1）在家北边5千米处 （2）升 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算． （1）将各数相加，根据正负数的意义作答即可； （2）先求出总行驶路程，再乘以油耗即可． 【详解】（1）解：， ∵规定向北为正， ∴小朱行驶结束后在家北边5千米处； （2）解：总行驶路程， 耗油量升， 答：共耗油升． 15．某空军举行特技飞行表演，其中一架飞机起飞上升后的四个动作表演高度变化如下表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 ________km 下降 ________km （1）将表格补充完整； （2）飞机完成上述四个动作表演后，其高度是多少？ （3）如果飞机平均每上升需消耗燃油，平均每下降需消耗燃油，那么这架飞机在起飞上升后的四个动作表演过程中，一共消耗了多少燃油？（直接写出答案） 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数的加减的应用，有理数的混合运算的应用， 对于（1），根据上升用“”表示，下降用“”表示； 对于（2），将各数相加可得答案； 对于（3），先算出飞机上升消耗的燃油，再加上飞机下降消耗的燃油可得答案． 【详解】（1）解： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 故答案为：； （2）解：． 答：飞机完成上述四个动作表演后，飞机高度是； （3）解：． 理由如下：． 一共消耗了燃油． 16．有20筐白萝卜，以每筐20千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 2.5 筐数 1 4 2 3 4 6 （1）20筐白萝卜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ （2）与标准质量相比，20筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ （3）若白萝卜每千克售价20元，出售这20筐白萝卜可卖多少钱？ 【答案】（1）最重的一筐比最轻的一筐重6千克 （2）与标准质量相比，20筐白萝卜总计超过4.5千克 （3）出售这20筐白萝卜可卖8090元 【分析】（1）根据正、负数的意义，用超出质量最大的减去最小的，然后根据有理数的减法运算进行计算即可； （2）用与标准质量的差值乘以对应的筐数，然后相加，根据有理数混合运算的方法计算，如果结果是正数，则超过，是负数，则不足； （3）先求出总质量，然后乘以单价即可． 【详解】（1）解：根据表格可知，最轻的是差3.5，最重的是超出2.5， ∴（千克）， ∴最重的一筐比最轻的一筐重6千克； （2）解： （千克）； ∵， ∴与标准质量相比，20筐萝卜总计超过4.5千克； （3）解：20筐白萝卜为：（千克）， （元）， ∴出售这20筐白萝卜可卖8090元． 学科网（北京）股份有限公司 $