2.2.2有理数的除法 导学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦有理数的除法法则及混合运算，从小学除法与乘法的逆运算关系切入，通过问题探究引导学生自主发现规律，搭建新旧知识联系的学习支架。 以问题探究和实例分析为主线，结合变式训练与达标检测，融入公司盈亏、优惠方案等生活实际问题，培养学生运算能力与应用意识，助力学生理解数学与现实世界的联系，提升解决实际问题的能力。

姓名: 学科: 日期: 2.2.2有理数的除法 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年7月2日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.经历问题探究，理解与掌握有理数的除法法则，并能运用其求解相关的实际问题（数学运算·重点） 2.经历实例分析，牢固掌握有理数的乘除混合运算法则，并能运用其求解相关的实际问题.（数学运算·重难点） 3.经历实例分析，牢固掌握有理数的加减乘除混合运算法则，并能运用其求解相关的实际问题.（数学运算·重难点） 【学习过程】 1、 有理数的除法 （1） 问题探究 在小学，我们学习除法时，知道除法是乘法的逆运算，在把除法推广到有理数范围内时，为使除法运算具有一致性，规定有理数的除法与乘法之间仍然具有上述关系. 怎样计算 ?从中你能发现什么规律？ 探究： 根据除法是乘法的逆运算， 计算，就是要求一个数，使它与相乘得. 因为 所以 另一方面，我们有 于是据等式基本事实可知 ③式表明，一个数除以可以转化为乘以来进行，即一个数除以，等于乘的倒数. （2） 有理数的除法法则 一般地，对于有理数的除法，有如下法则： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. 这个法则也可以表示成 【注1】有理数的除法运算应该注意如下两个变化： （1）一变：除号变为乘号； （2）二变：除数变成它的倒数. 【注2】据有理数的除法法则可知： （1）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商. （2）0除以任何一个不等于0的数，都得0. （3） 实例运用 例1.计算 （1）； （2）. 解： （1） 解法一：原式； 解法二：原式. （2） 原式 例2.化简 （1）； （2）. 解： （1） 原式 （2） 原式 （4） 变式训练 变式1．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除，即可计算出结果． 【详解】解：． 变式2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)5 (3) (4) (5)0 (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 2、 有理数的乘除混合运算 （1） 有理数的乘除混合运算法则 因为有理数的除法可以转化为乘法，所以可以利用与乘法有关的运算律（交换律、结合律、分配律）简化运算. 乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果. （2） 实例运用 例3.计算 （1）； （2）. 解： （1）原式 （2）原式 （3） 变式训练 变式3．计算： 【答案】5 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，解题关键是先将带分数化为假分数，把除法转化为乘法，再通过约分简化计算，同时注意符号的运算规则. 【详解】解：原式 . 3、 有理数的加减乘除混合运算 （1） 有理数的加减乘除混合运算法则 与小学所学的四则混合运算法则一样，有理数的加减乘除混合运算法则为 1. 有括号的，先算小括号里面的运算，再算中括号里面的运算，最后算大括号里面的运算； 2. 无括号的，按照“先乘除，后加减”的顺序进行. （2） 实例运用 例4. 计算： (1）； (2）. 解： （1） 原式 （2） 原式 例5.某公司去年1月—3月平均每月亏损1.5万元，4月—6月平均每月盈利32万元，7月—10月平均每月盈利21.7万元，11月—12月平均每月亏损2.3万元. 这个公司去年总的盈亏情况如何？ 解：记盈利额为正数，亏损额为负数.于是可列下式 答：这个公司去年全年盈利173.7万元. （3） 变式训练 变式4．计算： 【答案】 【详解】解： 变式5.某便利店一周每日营业额以 500 元为标准，超出记正、不足记负： 周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 周六： 周日： (1)求该便利店这一周平均每天营业额多少元； (2)每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，求这周总盈利多少元． 【答案】(1)元 (2)元 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，列式计算即可． 【详解】（1）解： （元）， 答：该便利店这一周平均每天营业额为元； （2）解： （元）， 答：这周总盈利元． 4、 达标检测 1．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用数轴确定a、b的取值范围，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，，，， ∴选项A、B、C说法错误；选项D说法正确． 2．若，则□内的数字是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知一个因数与积，求另一个因数，用除法计算即可． 【详解】解：设内的数字为， ∵， ∴， 因此内的数字为． 3．快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】先假设500只玻璃杯都没有损坏时应得的运费，进而求得损坏的玻璃杯数量． 【详解】解：2角元，8角元， 假设500只玻璃杯都没有损坏，此时应得运费：（元）， （元）， 每损坏一只玻璃杯，少得的费用为运费损失0.2元加上赔偿的0.8元，即：（元）， 损坏的玻璃杯数量：（只）， 故快递公司损坏13只玻璃杯． 4．若，则内的数字是________． 【答案】 【详解】解：根据乘除互为逆运算可得，内的数字是． 5．2026年美加墨世界杯共有48支参赛球队，第一阶段为小组循环赛，每4支球队分为一个小组，小组内任意两队之间各赛1场；第一阶段结束后32支球队晋级第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛（每场比赛淘汰1支球队）决出冠军，半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛．根据以上赛制，本届世界杯全程一共要进行______场比赛． 【答案】104 【分析】全程比赛分两阶段计算，第一阶段小组循环赛按单循环场次计算，第二阶段淘汰赛按淘汰球队数加额外三四名决赛场次算，最后求和． 【详解】解：第一阶段：总共48支球队，每4支一组， 组数为：（组）， 每组单循环比赛的场次：（场）， ∴第一阶段比赛的总场次为：（场）． 第二阶段：∵晋级球队32支，采用单场淘汰赛决出冠军， ∴决出冠军需要淘汰的球队数量为：（支）， ∴淘汰赛场次为31场， 又∵半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛， ∴第二阶段比赛的总场次为：（场）． 全程总场次为：（场）． 6．计算： __________． 【答案】 【详解】解： ． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 8．计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则，是解题的关键．有理数乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 11．计算： 【答案】 （或） 【分析】先根据有理数的混合运算法则计算括号内的，再根据有理数的乘除法法则计算． 【详解】解：原式 ． 12．计算：. 【答案】0 【详解】解： ． 13．计算： (1) (2) 【答案】(1)26 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．哈尔滨红肠是全国驰名的哈尔滨特产．某品牌哈尔滨红肠计划在国庆节期间开展一系列优惠活动，其中，针对一款原价48元/盒的哈尔滨红肠推出了两种优惠方案（两种方案只能选择一种）．方案一：每盒按九折销售．方案二：每买5盒，送1盒． (1)李阿姨需要买4盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案一，李阿姨节约多少钱？ (2)王阿姨需要买8盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案二，相当于每盒单价多少元？ (3)刘阿姨有一张满888元减168元的优惠券，这张优惠券不可与上述方案同享．刘阿姨需要买20盒哈尔滨红肠，怎样买最划算？写出判断过程． 【答案】(1)李阿姨节约19.2元 (2)相当于每盒单价42元 (3)使用满888元减168元优惠券购买最划算 【分析】（1）分别计算出原价和按照方案一的价格，然后作差求解即可； （2）首先求出王阿姨只需要花费7盒的钱，然后计算出总价，再除以8即可求解； （3）分别求出三种方案的花费，然后判断即可． 【详解】（1）解：（元） （元） 节约钱数为（元） 答：李阿姨节约19.2元． （2）解：∵方案二每买5盒，送1盒，王阿姨需要买8盒， ∴可参与1次“买5送1”活动得到6盒（支付5盒的钱），再另购2盒，共需支付盒的钱， ∴（元） ∴（元） 答：相当于每盒单价42元． （3）解：①方案一总价：（元） ②方案二：可参与3次“买5送1”活动得到18盒（支付15盒的钱），再另购2盒，共需支付盒的钱， （元）； ③优惠券方案：（元）， ，可减168元． （元） ∵， ∴使用满888元减168元优惠券最划算． 答：使用满888元减168元优惠券购买最划算． 15．如图是一块长为30米，宽为15米的长方形空地，政府准备在该空地上铺草坪并修建一条宽为2米的小路（小路宽度处处相同），若铺草坪平均每平方米需要花费100元，则铺设该草坪一共需要花费多少元？ 【答案】42000元 【分析】先算出草坪的面积，然后再利用“铺草坪平均每平方米需要花费100元”列式计算即可． 【详解】解：草坪的面积为：（平方米）， ∴铺设该草坪一共需要花费（元）． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 2.2.2有理数的除法 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年7月2日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.经历问题探究，理解与掌握有理数的除法法则，并能运用其求解相关的实际问题（数学运算·重点） 2.经历实例分析，牢固掌握有理数的乘除混合运算法则，并能运用其求解相关的实际问题.（数学运算·重难点） 3.经历实例分析，牢固掌握有理数的加减乘除混合运算法则，并能运用其求解相关的实际问题.（数学运算·重难点） 【学习过程】 1、 有理数的除法 （1） 问题探究 在小学，我们学习除法时，知道除法是乘法的逆运算，在把除法推广到有理数范围内时，为使除法运算具有一致性，规定有理数的除法与乘法之间仍然具有上述关系. 怎样计算 ?从中你能发现什么规律？ 探究： 根据除法是乘法的逆运算， 计算，就是要求一个数，使它与相乘得 . 因为 所以 另一方面，我们有 于是据等式基本事实可知 ③式表明，一个数除以可以转化为乘以 来进行，即一个数除以，等于乘的倒数 . （2） 有理数的除法法则 一般地，对于有理数的除法，有如下法则： 除以一个 的数，等于乘这个数的 . 这个法则也可以表示成 【注1】有理数的除法运算应该注意如下两个变化： （1）一变：除号变为 ； （2）二变：除数变成它的 . 【注2】据有理数的除法法则可知： （1）两数相除，同号得 ，异号得 ，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的 . （2）0除以任何一个不等于0的数，都得 . （3） 实例运用 例1.计算 （1）； （2）. 例2.化简 （1）； （2）. （4） 变式训练 变式1．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 变式2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2、 有理数的乘除混合运算 （1） 有理数的乘除混合运算法则 因为有理数的除法可以转化为 ，所以可以利用与乘法有关的运算律（ 律、结合律、 律）简化运算. 乘除混合运算往往先将除法转化为 ，然后确定积的 ，最后求出结果. （2） 实例运用 例3.计算 （1）； （2）. （3） 变式训练 变式3．计算： 3、 有理数的加减乘除混合运算 （1） 有理数的加减乘除混合运算法则 与小学所学的四则混合运算法则一样，有理数的加减乘除混合运算法则为 1. 有括号的，先算 里面的运算，再算 里面的运算，最后算 里面的运算； 2. 无括号的，按照“先 ，后 ”的顺序进行. （2） 实例运用 例4. 计算： (1）； (2）. 例5.某公司去年1月—3月平均每月亏损1.5万元，4月—6月平均每月盈利32万元，7月—10月平均每月盈利21.7万元，11月—12月平均每月亏损2.3万元. 这个公司去年总的盈亏情况如何？ 解：记盈利额为 ，亏损额为 .于是可列下式 答：这个公司去年全年盈利 万元. （3） 变式训练 变式4．计算： 变式5.某便利店一周每日营业额以 500 元为标准，超出记正、不足记负： 周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 周六： 周日： (1)求该便利店这一周平均每天营业额多少元； (2)每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，求这周总盈利多少元． 4、 达标检测 1．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若，则□内的数字是（     ） A． B． C． D． 3．快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 4．若，则内的数字是________． 5．2026年美加墨世界杯共有48支参赛球队，第一阶段为小组循环赛，每4支球队分为一个小组，小组内任意两队之间各赛1场；第一阶段结束后32支球队晋级第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛（每场比赛淘汰1支球队）决出冠军，半决赛落败的两支球队还要额外进行一场三四名决赛．根据以上赛制，本届世界杯全程一共要进行______场比赛． 6．计算： __________． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．计算： (1) (2) 9．计算： (1) (2) (3) (4) 10．计算：； 11．计算： 12．计算：. 13．计算： (1) (2) 14．哈尔滨红肠是全国驰名的哈尔滨特产．某品牌哈尔滨红肠计划在国庆节期间开展一系列优惠活动，其中，针对一款原价48元/盒的哈尔滨红肠推出了两种优惠方案（两种方案只能选择一种）．方案一：每盒按九折销售．方案二：每买5盒，送1盒． (1)李阿姨需要买4盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案一，李阿姨节约多少钱？ (2)王阿姨需要买8盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案二，相当于每盒单价多少元？ (3)刘阿姨有一张满888元减168元的优惠券，这张优惠券不可与上述方案同享．刘阿姨需要买20盒哈尔滨红肠，怎样买最划算？写出判断过程． 15．如图是一块长为30米，宽为15米的长方形空地，政府准备在该空地上铺草坪并修建一条宽为2米的小路（小路宽度处处相同），若铺草坪平均每平方米需要花费100元，则铺设该草坪一共需要花费多少元？ - 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