第25章一元二次方程章末复习 练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 九年级一元二次方程章末复习同步练，以基础练为主，覆盖概念、解法、判别式、根与系数关系、应用五大考点，构建“概念理解-运算技能-实际应用”的巩固路径，培养抽象能力、运算能力和模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练|概念辨析、解法应用、判别式运用、根与系数关系、实际问题建模|概念题（如方程一般式系数判断）夯实抽象能力；计算题（不同解法解方程）提升运算能力；应用题（增长率、面积问题）强化模型意识，衔接日常教学与阶段测评需求|

2026-2027学年度九年级第25章一元二次方程章末复习 考点一：一元二次方程的概念 概念 只有 未知数，并且化简后未知数的最高次数是 的 方程叫作一元二次方程 一般形式 （其中a,b,c为常数，其中 是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项 方程的解 使一元二次方程左右两边相等的 的值叫作一元二次方程的解，也叫一元二次方程的 基础练 1.将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 2.已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 3.若关于的方程是一元二次方程，则________． 考点二：一元二次方程的解法 方法 适用的方程 步骤 直接开平方法 形如 同号）或的方程 两边开 转化为两个一元一次方程 配方法 易变形为的方程 ①变形：二次项系数化为 ；②移项： 移到方程另一 边；③配方：方程两边都加上 把左边配成完全平方式的形式；④解方程：若方程右边是 ，则可直接开平方解方程 公式法 满足的一元二次方程 ①方程为 ②确定a,b,c的值（注意符号）； ③求出 的值，并加以判定； ④代入求根公式 求解 因式分解法 易变形为的方程 ①化方程为 ②把左边分解因式为 ; ③将原方程化为两个 ; ④解两个一次方程得 的根 点睛→一元二次方程的解法口诀： 方程没有一次项，直接开方最理想. 如果缺少常数项，因式分解没商量. b,c同时不为零，因式分解或配方. 也可直接套公式，因题而异择良方. 基础练 解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 考点三：一元二次方程根的判别式 1．一元二次方程根的判别式： 叫作一元二次方程根的判别式.常把它记作tΔ= 2．对于一元二次方程 (1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根， 即 (2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根，即 (3Δ<0⇔方程 点睛→应用根的判别式时，若一元二次方程不是一般形式，要先化成一般形式.在求一元二次方程中字母系数的值时，注意二次项系数不为0这一隐含条件． 基础练 1.关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 考点四：一元二次方程根与系数的关系 1．一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两根分别为，则有 2．一元二次方程根的判别式： 叫作一元二次方程根的判别式.常把它记作tΔ= 3．对于一元二次方程 (1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根， 即 (2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根，即 (3Δ<0⇔方程 点睛→应用根的判别式时，若一元二次方程不是一般形式，要先化成一般形式.在求一元二次方程中字母系数的值时，注意二次项系数不为0这一隐含条件． 基础练 1设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 2.设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 3.设m，n是方程的两实数根，则______． 考点五：一元二次方程的应用 1．列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一次方程（组）解应用题的步骤相同，即：审、设、列.解、验、答. 常见题型 增长 （下降） 率问题 设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b.为增长后的量，则 当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有 利润 问题 ①利润＝售价一成本； ② ③总利润＝单件的利润x数量.在“每每”型问题中，单价每涨（降）a元，少卖（多卖）b件，每涨价x元，则少卖（多卖）的数量为件 面积 问题 矩形的长为a，宽为b，空白部分的宽为x a a 互赠礼物、 单循环赛、握手问题 ①x人互赠礼物共 许：②x人两两握手共握手（单循环海汰赛） 页 基础练 1.为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2.．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 3．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4.新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调查，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？ 一元二次方程章末复习 考点一：一元二次方程的概念 1．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 2.已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 3.若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 考点二：一元二次方程的解法 解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）变形后使用直接开平方法求解， （2）无法因式分解，使用求根公式法求解， （3）整理为一般形式后使用因式分解法求解． 【详解】（1）解：对于方程， 两边同时除以得， 开平方得， 解得，． （2）解：对于方程， 可得，，， ∴， ∴， 解得，． （3）解： ∴， 因式分解得， 可得或， 解得，． 考点三：一元二次方程根的判别式 基础练 1.关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判断根的情况． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，，，， ∴， ∵ ， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 2.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 【答案】且 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴．其中，，， 代入得：， 展开得， 化简得， 解得． 综上，k的取值范围为且． 考点四：一元二次方程根与系数的关系 基础练 1设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解，先确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算两根和与两根积，即可判断正确选项． 【详解】解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 2.设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得，， ． 3.设m，n是方程的两实数根，则______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系得到两根之和，整体代入计算即可得到结果，用到的都是初中一元二次方程的基础性质． 【详解】解 是方程的实数根， ， 整理得， ，是方程的两实数根， 由根与系数的关系得， ∴考点五：一元二次方程的应用 基础练 1.为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用增长率问题的基本关系，即初始投入乘以平均年增长率的年数次方等于最终投入，即可得到正确方程. 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为亿元，从2023年到2025年共经过年， ∴2024年研发投入为亿元， 2025年研发投入为亿元， 又∵2025年研发投入为亿元， ∴列方程得. 2.．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，所以中央矩形的面积封面的面积，依此列出方程即可． 【详解】解：设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央矩形的长与宽为，， 由题意得：． 3．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 根据流感传染模型，起始1人患病，每轮传染中每人传染x人，两轮后总患病人数为，据此列方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染x人，根据题意得， ∵ 起始患病人数为1， 第一轮后患病人数为：， 第二轮后患病人数为：， 又∵ 两轮后总患病人数为49， ∴ ， 故选：B． 4.新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调查，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？ 【答案】每件童装应降价10元或20元 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出销量与每件童装的利润是解题关键．根据题意表示出降价元后的销量以及每件童装的利润，由平均每天销售这种童装盈利1200元，进而得出答案． 【详解】解：设每件童装应降价x元， 可列方程为：， 解得：或20， 故要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价10元或20元． 29 学科网（北京）股份有限公司 $